2019年天津市高考文科数学导数压轴题剖析

∴要证 ，只需证 ，
而 为 的零点，∴ ，即只需证 ，
下面证明 成立：
即 成立，从而 ．
【反思】参变量分离的好处是后续处理的函数不再含有参数（对本题而言还有一个直接好处就是不需要“隐零点”），从而更容易把握函数的变化趋势及图象特征，更容易找准放缩方向，缺点是参变量分离后的函数出现了间断点，，在使用零点存在定理时需要多一处放缩，但是这种间断点放缩往往比较容易．当然我们也可以取两种方法的长处来优化分析思路和解题过程，即解题过程不参变量分离，分析放缩方向时参变量分离，因为无论是否分离，放缩的结果都一样，只是函数形式不同而已！聪明的你可以自行尝试一下！
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，所以 在 内有唯零点，
又 在 内有唯一零点1，从而， 在 内恰有两个零点．
（ii）由题意， 即 ，从而 ，
即 ，
因为当 时， ，又 ，故 ，
两边取对数，得 ，于是 ，
整理得 ．
2019年天津市高考文科数学导数压轴题剖析
（20）设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点；
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 ．
【解析】（Ⅱ）（i）因为 ，所以 为函数 的一个零点，
当 时，函数 的零点等价于函数 的零点，
，
令 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增，
【官方标答】
（Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且 ，
因此当a≤0时， ，从而 ，所以 在 内单调递增．
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
．
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 ，
当 时， ，所以 在 内单调递增；
当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点．
当 时， ， 单调递减，
∴ ，即 ，
∴ 在 和 上单调递减，
一方面，
当 时， ，
∴函数 在 上无零点，
另一方面，
当 时，
取 ，∵ ，∴ ，
则 ，
又 时， ，
取 ，则 ，
∴ 在 上必有一个零点，
综上所述，函数 恰好有两个零点．
（ii） ，
∵ 为 的极值点，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，
又由（i）知 ，函数 在 Hale Waihona Puke Baidu 上单调递减，