反比例函数综合复习讲义

反比例函数

知识整理

1、反比例函数的概念 一般地，函数x

k

y =

（k 是常数,k ≠0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零

实数。

２、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0,函数y ≠0，所以，它的图像与ｘ轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 ３、反比例函数的性质

当k>０时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内,随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x

k

y =

中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值,从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图,过反比例函数)0(≠=

k x

k

y 图像上任一点Ｐ作ｘ轴、ｙ轴的垂线PM,ＰN,则所得的矩形PMON 的面积Ｓ=P Ｍ•PN=xy x y =•。

k S k xy x

k

y ==∴=

,, 。

考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10

y x

=

，当110 【举一反三】

１、已知y 是ｘ的反比例函数，当ｘ>0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式

2、已知一次函数ｙ1=kx +b （k ＜O ）与反比例函数ｙ2=

x

m

(ｍ≠O )的图象相交于A 、B 两点,其横坐标分别是-１和3,当y 1＞ｙ2时，实数x 的取值范围是（ )

Ａ．ｘ＜-l 或O ＜x <３ B.一1

3、函数y =ｍx +n 与mx

n

y =

,其中ｍ≠0，n ≠０,那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ )

A B C D

考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征

【例２】（2０１5自贡)若点（1x ，1y ），（2x ，2y ),（3x ,3y ),都是反比例函数x

y 1

-=图象上的点,并且1230y y y <<<,则下列各式中正确的是( )

A.123x x x << Ｂ.132x x x << C ．213x x x << Ｄ．231x x x << 【举一反三】

１、若点Ａ(1,y １)和点B （２,y ２)在反比例函数1

y x

=

图象上，则y 1与y ２的大小关系是: y １ ｙ2(填“＞”、“<”或“=”).

2、如图，过点C （1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－ｘ＋６于A 、Ｂ两

点,若反比例函数k

y x

=（x ＞０）的图像与△ＡBC 有公共点,则ｋ的取值范围是（ ）

A .2≤k ≤9

B . ２≤k ≤８ Ｃ. 2≤ｋ≤5 D ． 5≤k ≤８

3、如图，P 是函数x

y 21=(ｘ>0）的图象上的一点，直线1+-=x y 分别交x 轴、

ｙ轴于点A 、B ,过点Ｐ分别作P Ｍ⊥ｘ轴于点M ,交ＡＢ于点E ，作PN ⊥y 轴于点N ，交A Ｂ于点F ，则ＡF ·BE 的值为 。

考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例3】已知函数1

y x

=

的图象在第一象限的一支曲线上有一点Ａ（a ，c ），点B(b,c+1）在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax ２

＋bx ＋ｃ = 0的两根x 1，ｘ2判断正确的是【 】 ﻩA.x 1 ＋ x 2 >１，x 1·x 2 ＞ 0 B ．x 1 ＋ ｘ２ < 0,x 1·x 2 ＞ ０ C ．0 < x 1 ＋ x 2 < １，x 1·x 2 > 0ﻩD.x 1 + x 2与x １·x 2 的符号都不确定

y

x

A

B

C O

【举一反三】

1、(2０15·湖南常德）已知A(1

，3)是反比例函数图象上的一点,直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式。

2、如图，若双曲线

x

k

y=与边长为５的等边△AOＢ的边ＯA,AB分别相交于C，Ｄ两点,且OC=3B Ｄ，则实数ｋ的值为 .

３、如图,直线6

y x

=-交ｘ轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数

4

(0)

y x

x

=>图象上位于直线下方的一点，过点P作ｘ轴的垂线,垂足为点M,交AB于点Ｅ,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AＢ于点F。则AF BE

⋅=( )

A.8 B．6 C.4 Ｄ.62

第3题图第４题图第5题图

４、如上图中,正比例函数x

y3

=的图象与反比例函数)0

(>

=k

x

k

y的图象交于点B，若k

取１，2，３，…,20，对应的Rｔ△ＡOB的面积分别为

1

S，

2

S,…，

20

S，则

1

S+

2

S

＋…+

20

S= ；

5、两个反比例函数

k

y

x

=和

1

y

x

=在第一象限内的图象如图所示，点P在

k

y

x

=的图象上，PＣ⊥ｘ轴于点Ｃ,交

1

y

x

=的图象于点A,PD⊥y轴于点Ｄ，交

1

y

x

=的图象于点B,当点Ｐ在

k

y

x

=的图象上运动时,以下结论:

①△ODB与△OＣＡ的面积相等; ②四边形PＡOB的面积不会发生变化；