江苏省木渎高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷
江苏省苏州市木渎实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析
江苏省苏州市木渎实验中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆E：，c为椭圆的半焦距，如果不成等比数列，则椭圆E（）A．一定是“黄金椭圆” B．一定不是“黄金椭圆”C．可能是“黄金椭圆” D．可能不是“黄金椭圆”参考答案：B略2. 已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线，在平面内一定存在一条直线，使得直线与直线（ )A．平行B．相交C．异面D．垂直参考答案：D【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为当直线垂直于平面时，直线与平面内任一条直线垂直，直线不垂直于平面时，作在平面内的射影，在平面内一定存在一条直线，使得直线的射影与直线垂直所以，故答案为：D3. 设，则此函数在区间和内分别（）A. 单调递增，单调递减B. 单调递减，单调递增C. 单调递增，单调递增D. 单调递减，单调递减参考答案：B【分析】对函数求导，判断导函数在区间和内的符号，即可确定函数的单调性。
【详解】，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；故答案选B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，注意导数符号与原函数的单调区间之间的关系，以及函数的定义域，属于基础题。
4. 过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）A、4B、8C、12D、16参考答案：D5. 在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6参考答案：C略6. 一个直角三角形的两条直角边长为满足不等式，则这个直角三角形的斜边长为（）A．5 B． C．6 D．参考答案：B解析：原不等式化为，而，所以．于是，斜边长为．7. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. B. 5 C. D.参考答案：D双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.8. 函数的定义域为( )A. B. C. D.参考答案：C9. 抛物线的焦点到准线的距离为( )A. B. C.8 D.2参考答案：D10. 设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是（***）A．B．-6 C．D．-3参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设,是纯虚数,其中是虚数单位,则.参考答案：-2试题分析：由题意，考点：纯虚数的概念，复数相等的条件12. 在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=__________．参考答案：试题分析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴∴内切球半径考点：类比推理13. 已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为▲．参考答案：14. 已知关于的不等式，它的解集是[1，3 ]，则实数的值是参考答案：-215. 设，且，则的最小值是▲．参考答案：3略16. 某地区有荒山2200亩,从2009年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植树100亩,以后每年比上一年多植树50亩.如图,某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活),则程序框图中A处应填上____________.参考答案：略17. 函数f（x）=﹣x﹣cosx在[0，]上的最大值为________．参考答案：-1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【解答】解：f′（x）=﹣+sinx，∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，]，∴f′（x）＜0，f（x）在[0，]递减，故f（x）max=f（0）=﹣1，故答案为：﹣1．【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调性，求出函数的最大值即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年高二数学上学期期中考试试卷
2020-2021学年度期中考试高二数学试题(满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(0,m)，c⃗=(2,4)且(a⃗−b⃗⃗)⊥c⃗，则实数m的值为A.4B.3C.2D.12.已知∆ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若asin A =13，则b+C−asin B+sin C−sin A等于A.14B.4 C. 13D.33.设常数a∈R，若(x2+ax )5的二项式展开式中x7项的系数为−15，则a=A. -2B.2C.-3D.34.圆x2−4x+2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有A.1条B.2条C.3条D.4条5.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有A.240种B.144种C.72种D.24种6.已知数列{a n}满足a1=10，a2=12，S n+1−2S n+S n−1n =2(n≥2)，则a nn的最小值为A.163B.2√10−1 C.112D. 2147.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为A.118B.54C.34D.18.已知O，F分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的中心和右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点(A，B异于原点O)，若|AB|=√3b，则双曲线C的离心率e为A.2B.√2C.2√33D.√3二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列结论中，所有正确的结论是 A.若a c2>b c2，则ac 2>bc 2B.若实数a ，b ，m >0，则b+ma+m>baC.当x ∈(0,π)时，sin x +1sin x ≥2 D.若实数a ，b >0，a+b=1，则1a +4b ≥9 10.下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是 A. (n+1)A nm =A n+1m+1B.mC nm=nC n−1m−1C.C nm=A n m n!D.1n−mA n m+1=A n m11.已知a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是 A.1+√52B.−1+√52C.1+√32D.−1+√5212.已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为P ，且∠PF 1F 2的面积为b 2.双曲线C 2和椭圆C 1焦点相同，且双曲线C 2的离心率为e 2，M 是椭圆C 1与双曲线C 2的一个公共点，若∠F 1MF 2=π3，则下列说法正确的是A.e2e 1=√3 B.e 1e 2=34C.e 12+e 22=2D.e 12−e 22=32三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足约束条件{2x +y −2≤0x −y −1≥0y +1≥0，则z =x +y 的最大值为14.在∆ABC 中，BC =√2，且cos 2C −cos 2A −sin 2B =−√2sin B sin C ，则∆ABC 外接圆的面积为15.某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有 种.16.如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截面曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）:在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为1和3，球心距离|O 1O 2|=8，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F (E ，F 是截面椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(8分）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+n )S n =0(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =4a n ⋅a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n 。
2020-2021学年苏教版高二数学(理)上学期期中考试模拟试题及答案解析
（新课标）最新苏教版高中数学高二年级上学期期中考试试卷（理科）考试范围：选修2-1；选修2-2，选修2-3排列组合 考试时间：120分钟；一、填空题（共10题每题5分，满分50分） 1、“2x <”是“2320x x -+<”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为232012x x x -+<⇔<<,因为122x x <<⇒<且2x <⇒12x <<,所以“2x <”是“2320x x -+<”成立的必要不充分条件,故选B.2、有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C【解析】 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)． 3、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（） A.23,p p B.12,p p C.,p p 24 D.,p p 34【答案】C 【解析】i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212， 所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.4、5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是( ) A ．－20 B ．－5C ．5 D ．20【答案】A【解析】 由题意可得通项公式rr rr y x C T )2()21(551-=-+，令r ＝3，则C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－2)3＝－20.5、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 由类比推理可知，选项C 正确．6、在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【答案】D【解析】作出各点，求出对应面积即可.7、点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） 31 31+ 51+ 51【答案】A.【解析】由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=o， 又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=o ，2160PF F ∠=o ，∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==. 8、若点P 是函数23()ln 2f x x x =-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最小距离为 （ ）5C.32D.10【答案】D【解析】法一：设P（x，23ln2x x-），点P到直线220x y--=的距离d=23|2ln2|x x x-+-=23|2ln2|x x x-+-+，设()g x=232ln22x x x-+-+，()g x'=123xx-+-=(31)(1)x xx+-，当0＜x＜1时，()g x'＜0，当x＞1时，()g x'＞0，∴()g x在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以min[()]g x=(1)g=32，∴mind，故选D.法二：函数上与直线距离最短的点即为与直线平行的切线与函数图像相切的切点，设切点为),(yx，则2)(='xf，得1=x，从而切点为)23,1(，又点到直线的距离公式得结论为D.9、在各项均不为0的数列{na}中，若1a=1，2a=13，21212n n n n n na a a a a a++++=+）（*∈Nn,则2015a=（）A.14027B.14028C.14029D.14031【答案】C【解析】∵数列{na}的各项均不为0，故将21212n n n n n na a a a a a++++=+两边同除以12n n na a a++得，12211n n na a a++=+，∴数列{1na}是首项为1，公差为2的等差数列，∴20151a=4029，∴2015a=14029，故选C.10、已知'()f x是定义在R上的函数()f x的导函数，且)5()(xfxf-=,5()'()02x f x-<若1212,5x x x x<+<，则下列结论中正确的是( )A．12()()f x f x<B．12()()0f x f x+>C ．12()()0f x f x +<D ．12()()f x f x > 【答案】D【解析】由题意知函数)(x f 图像关于25=x 对称，且在),25(+∞为增函数，在)25,(-∞为减函数，又1212,5x x x x <+<，则251<x ，25221<+x x ，结合图像可知答案D二、填空题（共5题每题5分，满分25）11、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是．【答案】2214y x -= 【解析】由渐近线2y x =±，知双曲线方程可设为：λ=-422y x ，将点代人得1=λ12、若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2. 13、()2-2|sin |x x dx ππ+=⎰=________.【答案】2【解析】由题可得,()222222sin sin x x dx xdx x dxππππππ---+=+⎰⎰⎰2002sin xdx π=+⎰()2cos cos 022π⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦,故填2.14、已知z ∈C ，且|z ﹣2﹣2i|=1，i 为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是.【答案】3【解析】设yi x z +=（R y x ∈,)，满足|z ﹣2﹣2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心，以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C1，C2连线的长为4与1的差，即为3.15、已知任意一个正整数的三次幂可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7911++，则我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若3n的一个“数因子”为2015，则n=【答案】45【解析】由图可知，3n可表示为n个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有(1) 123...2n nn+++++=个，因为2015210081=⨯-，故2015是第1008个奇数.而444599010082⨯=<；4546103510082⨯=>，所以344的最大“数因子”是第990个奇数，345的最大“数因子”是第1035个奇数，故第1008个奇数——2015应是345的一个“数因子”.三、解答题（共6题每满分75）16．（本小题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2x xf x x xx x⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩（x∈R），（1）求函数()f x的最小值；（2）已知m∈R，p：关于x的不等式2()22f x m m≥+-对任意x∈R恒成立；q：函数2(1)xy m=-是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解：（1）min 1(2)1()3(2)()=f(-2)=12151()2x x f x x x f x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩作出图像，可知 （4分）（2）22:+2-21-31:-1>1p m m m q m m m ≤⇒≤≤⇒ （8分）∵0-3m 11p q p q p q m m ≤≤⎧⎪∴≤≤⎨≤≤⎪⎩1或为真，且为假若真假时，则解得（10分）0>1<-32<-3m m p q m m m m ⎧⎪⎨⎪⎩或若假真时，则解得或故实数m的取值范围是(-,-3))∞⋃⋃∞ （12分）17．(本小题满分12分) 设()n n n f n-⎪⎭⎫⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 【解析】解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f 3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n4分 证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 11)111(+<++=++<k k kk k k 10分CA∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 12分 18.(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面ABC ,点A 在平面1A BC 中的投影为线段1A B 上的点D . （1）求证：BC ⊥1A B（2）点P 为AC 上一点,若AP PC =,2AD AB BC ==,求二面角C B A P --1的平面角的余弦值【解析】（1）证明:1AA ⊥Q 平面ABC 且BC ⊆平面ABC .1AA BC ∴⊥且三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱 2分AD Q ⊥平面1A BC 且BC ⊆平面1A BC∴AD BC ⊥3分又 1AA ⊆Q 平面1A AB ,AD ⊆平面1A AB ,1A A AD A =I , ∴BC ⊥平面1A AB ,1BC A B ⊥Q 5分（2）由（1）可得BC ⊥平面1A AB ,AB ⊆平面1A AB ,从而BC AB⊥,如图,以点B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -7分在Rt ABD ∆中,AD =2AB =,0sin 60AD ABDABD AB ∠==∠=, 在直三棱柱111ABC A B C -中,01tan60AA AB ==8分 则()()()(10,0,0,0,2,0,1,1,0,B A P A ,()1,1,0BP =u u u r ,(10,2,BA =u u u r ,()2,0,0BC =u u u r,设平面1PA B 的一个法向量为()1,,n x y z =u r,则有11100200x y n BP y n BA ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪=⎪⎩⎩u r u u u rg u r u u ur g ,可得(13,n -u r. 9分设面1CA B 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ,则22100n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u rg uu r u u u rg 020x y =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩,即(20,n =-u u r, 10分则121212cos ,n n n n n n <>==u r u u ru r u u r g u r u u r 所以二面角1P A B C --平面角的余弦值为7. 12分 19.(本小题满分13分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：[)[]321640,10,3025401600,30,50x x y x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。
江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷题库(共9套)
江苏省2020—2021学年高二数学上学期期中考试卷（一）（考试时间120分钟满分160分）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．数列{n+2n}中的第4项是．2．抛物线x2=4y的准线方程为．3．若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n+1＞a n，求实数k的取值范围．17．某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题21．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案一.填空题1．解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．2．解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．3．解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．4．解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．5．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．6．解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．7．解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：58．解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．9．解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．10．解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．11．解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时， +≥2，故≥4；当x•y＜0时， +≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]12．解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．13．解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．14．解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．二.解答题15．解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．16．解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n+1＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，整理得：k＞﹣2n﹣1，又∵对于n∈N*，都有a n+1＞a n，∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．17．解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时， +（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．18．解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．19．解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．20．（1）证明：由，得，…所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…二.高二数学试题21．解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．22．解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．23．解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．24．解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③25．解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．26．解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．江苏省高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．函数f（x）=+的定义域为．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x ﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f （x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=•﹣，=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}满足=pn+r（p，r为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若p=，a1=2，求数列{a n}的通项公式；（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．参考答案一、填空题：1．答案为：{0，1}2．答案为：（2，3）．3．答案是：±1．4．答案为：．5．答案为：5．6．答案为：2ln2．7．答案为：．8．答案为：0．9．答案为：2．10．答案为a＜﹣1．11．答案为：．12．答案为：13．答案为：12．14．答案为（，1）．二、解答题15．解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），∴f（x）=•﹣=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，…4分∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分（2）因为f（B）=0，即sin（2B﹣）=1，∵B∈（0，π），∴2B﹣∈（﹣，），∴2B﹣=，解得B=；…10分又有c=2，a=3，在△ABC中，由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，即b=．…14分．16．证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又∵N分别为线段AC1的中点．∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点， (2)分∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC，…4分又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C…6分（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，∴AD⊥平面BB1C1C，…10分又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BC，…12分又由（1）知，MN∥BC，∴MN⊥AD…14分17．解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．18．解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，所以D=2，F=﹣1，由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，代入解得E=0，所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；…6分（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，不妨设A（，0），B（，0），设直线PA的方程：y=k（x++1），因以MN为直径的圆经过线段AB上点，所以直线PB的方程：，设M（2，k（3+）），N（2，），所以MN为直径的圆方程为，化简得，，由P点任意性得：，解得x=，因为，所以x=，即过线段AB上一定点（，0）…16分．19．解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即．所以c的取值范围是…（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…令，则h'（x）=2（x2+2x﹣3）e2x=2（x+3）（x﹣1）e2x，令h'（x）=0，解得x=﹣3或x=1，列表得：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣0+h（x）增极大值减极小值增由表可知当x=﹣3时，h（x）取得极大值；…当x=1时，h（x）取得极小值．又当x＜﹣3时，，所以此时h（x）＞0，故结合图象得c的取值范围是…20．（1）证明：由p=1，r=0，得S n=na n，∴S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），两式相减，得a n﹣a n﹣1=0（n≥2），∴{a n}是等差数列．（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，则S n=a n，a n﹣1，两式相减，=，∴a n=•…=•…•2=n（n+1），化简得a n=n2+n（n≥2），又a1=2适合a n=n2+n（n≥2），∴a n=n2+n．（3）解：由（2）知r=1﹣p，∴S n=（pn+1﹣p）a n，得S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），两式相减，得p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），易知p≠0，∴=．①当p=时，得=，∴===…==，满足a2016=2016a1，pr=．②当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），又a n＞0，∴p（n﹣1）a n＜pna n﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；综上所述，p=r=，∴pr=．江苏省高二数学上学期期中考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题，共110分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B 两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C 分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．参考答案一、填空题：1．答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．答案为：2+e．3．答案为：充分不必要．4．答案为：5.55．答案为：（0，﹣）．6．答案为：1．7．答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．答案为：2，y=．9．答案为：3．10．答案为：0≤a≤1．二、解答题11．解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．江苏省高二数学上学期期中考试卷（四）（文科）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设命题P：∃x∈R，x2＞1，则¬P为．2．函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为．3．函数y=xe x的极小值为．4．已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．5．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=．6．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．7．已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．8．若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．9．若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则m=．10．若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为．11．已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．12．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为．13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④f（）＞．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．17．已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．20．设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．参考答案一、填空题1．答案为：∀x∈R，x2≤1；2．答案为：4．3．答案为：．4．答案为：2．5．答案为：．6．答案为：必要不充分．7．答案为：x2﹣y2=1．8．答案为： +=1．9．答案为：1或2．10．答案为：1．11．答案为：（0，]．12．答案为：4π．13．答案为：．14．答案为：①③．二、解答题15．解：（I）由命题p为真命题，a≤x2min，a≤1；（II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题，p为假命题时，由（I）a＞1；q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1，综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．16．解：（I）定义域为（0，+∞）…得，令f'（x）=0，x=2x0＜x＜2x＞2f'（x）﹣+所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）…（II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2…又f（1）=，…因为所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2，…17．解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．19．解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为： +=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，所以，所以g（x）是偶函数…（II）因为当x＞0时xf'（x）﹣f（x）＜0，所以，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数…（III）由（I）f（﹣1）=0，g（﹣1）=g（1）=0，…x＞0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（1），由（II）所以0＜x＜1，…x＜0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（﹣1），由（I）（II）g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以x＜﹣1．…综上不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）…江苏省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（五）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．直线的倾斜角为．2．空间两条直线a，b都平行于平面α，那么直线a，b的位置关系是．3．过圆x2+y2=4上一点P（1，﹣）的切线方程为．4．如果方程x2+y2+x+y+k=0表示一个圆，则k的取值范围是．5．已知直线l：mx﹣y=4，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为．6．已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是5cm，则这个正四棱柱的侧面积为．7．已知圆C：x2+y2=r2与直线3x﹣4y+10=0相切，则圆C的半径r=．8．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为．9．若直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（﹣3，2）两点的线段AB相交，则实数a的取值范围是．10．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的序号是（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．若关于x的方程：有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围：．13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．14．一只蚂蚁从棱长为1的正方体的表面上某一点P处出发，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f（P），那么d的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．16．已知直线m：2x﹣y﹣3=0，n：x+y﹣3=0．（Ⅰ）求过两直线m，n交点且与直线x+3y﹣1=0平行的直线方程；（Ⅱ）直线l过两直线m，n交点且与x，y正半轴交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l的方程．17．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C；（3）求点D到平面D1AC的距离．19．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．20．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），O（0，0），D（t，0）（t＞0）三点，M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B（1，0）且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P，Q两点．（1）若t=PQ=6，求直线l2的方程；（2）若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．参考答案一、填空题1．解：将直线方程化为斜截式得，，故斜率为，∴，故答案为2．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ACBD∥平面A1C1B1D1①记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的相交直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b相交；②记平面ABCD为α，若直线a、b为平面A1C1B1D1内的平行直线，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b平行；③设E、F分别为棱AA1、BB1的中点，直线a与直线B1C1重合，直线b与EF重合，若平面ABCD为α，则直线a、b都平行于平面α，此时直线a、b异面．故答案为：平行、相交或异面3．解：设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y+=k（x﹣1）即kx﹣y﹣k﹣=0由圆与直线相切可得d=r，即=2化简得3k2﹣2k+1=0解得k=，。
2020-2021苏州市高二数学上期中一模试题(含答案)
2020-2021苏州市高二数学上期中一模试题(含答案)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．492．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则A．270,75x s=<B．270,75x s=>C．270,75x s><D．270,75x s<>3．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C CC+的是 ( )A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X=1)D．P(X=2)4．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( ) A．11347250C CCB．20347250C CCC．1233250C CC+D．1120347347250C C C CC+5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 6．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．497．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．610．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1512．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n二、填空题13．下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.14．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．x，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数15．已知一组数据分别是,10,2,5,2,4,2列，则数据x的所有可能值为__________．16．执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0,1，则输出的S=____________．17．某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．18．如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。
江苏省2021年高二上学期期中数学试卷(I)卷(精编)
江苏省2021年高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）三棱锥中，分别是的中点，则四边形是（）A . 菱形B . 矩形C . 梯形D . 正方形2. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 若不等式≥3的解集为（）A . [﹣1，0）B . [﹣1，+∞）C . （﹣∞，﹣1]D . （﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）3. （2分）设整数. 若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数n的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分） (2016高二上·黄陵期中) 下列说法错误的是（）A . 多面体至少有四个面B . 长方体、正方体都是棱柱C . 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D . 三棱柱的侧面为三角形5. （2分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A . PM⊥△AEF所在平面B . AM⊥△PEF所在平面C . PF⊥△AEF所在平面D . AP⊥△PEF所在平面6. （2分） (2018高二上·沈阳月考) 若，，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·聊城模拟) 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 2πB .C .D .8. （2分）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A .B . 1C .D .9. （2分） (2019高三上·株洲月考) 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A， ,，，则m，n所成角的正弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分）(2018·凯里模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·丰城期中) 关于x方程| |= 的解集为（）A . {0}B . {x|x≤0，或x＞1}C . {x|0≤x＜1}D . （﹣∞，1）∪（1，+∞）二、填空题 (共7题；共7分)13. （1分） (2020高一下·天津期中) 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比为________.14. （1分） (2018高一上·上海期中) 如关于x的不等式对任意恒成立，则a 的取值范围为________．15. （1分）已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．16. （1分）下列结论不正确的是________（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.17. （1分） (2017高二上·河北期末) 已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为________．18. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为72，则这个球的表面积为________19. （1分） (2016高三上·烟台期中) 设函数f（x）= 若f（a）＞a，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共40分)20. （10分） (2019高二上·衡阳月考) 已知关于的不等式（1）当时,解此不等式（2）若对 ,此不等式恒成立,求实数的取值范围21. （10分） (2019高一下·上杭月考) 已知长方体 .（1）若，求异面直线和所成角的大小；（2）若三个相邻侧面的对角线长分别为1，，，求外接球的表面积.22. （5分）(2017·盐城模拟) 已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明： + + ≥3．23. （10分） (2019高二下·温州月考) 在正方体中，AB=3，E在上且．（1）若F是AB的中点，求异面直线与AC所成角的大小；（2）求三棱锥的体积．24. （5分） (2016高一上·南京期中) 函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共7题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、三、解答题 (共5题；共40分)20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、。
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
江苏省苏州市2020-2021学年第一学期期中教学质量调研测试高二数学试题
苏州市2020-2021学年第一学期期中教学质量调研测试高二数学一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知a>b,c>d>0,则( ) 11.A abB.a-c> b-d .a b C c d4.4d d D c c 2.关于x 的不等式102x x的解集为()A.(-∞,-1]∪(2,+∞)B.[-1,2)C.(-∞,-1]U[2,+∞)D.[-1,2]3.设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 公差d=1,且6210S S ,则34a a ()A.2B.3C.4D.54.若不等式210ax bx的解集为{|12},x x则a+b 的值为( )1.4A B.01.2C D.15.已知等比数列{}n a 中,2346781,64a a a a a a ,则5a 的值为()A.±2B.-2C.2D.46.已知在数列{}n a 中,112,,1nn na a a n 则2020a 的值为(1.2020A 1.2019B 1.1010C 1.1009D 7.已知a>0,b>0,a+b=3,则411y ab的最小值为()9.8A 9.4B 9.2C D.98.已知数列{}n b 满足1212(),2n nb n 若数列{}n b 是单调递减数列,则实数λ的取值范围是()10.(1,)3A 110.(,)23B C.(-1,1) 1.(,1)2D二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,都有多个选项是正确的,全部选对得5分,选对但不全的得3分,选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上. 9.下列说法正确的有()A.“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件B.“11ab”是“a<b”的既不充分又不必要条件 C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D.“a>b>0”是“(,2)nn a b nN n”的充要条件10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则()8.0Aa B.当且仅当n= 7时,n S 取得最大值49.C S SD.满足0nS 的n 的最大值为1211.已知a,b 均为正实数,且a+b=1,则( ) 22.Aa b 的最小值为121.B abab的最小值为2.C b 的最大值为 11.D ab的最大值为4 12. 对于数列{},n a 定义:*1(),n nnb a n N a 称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”下列叙述正确的有()A.若数列{}n a 单调递增,则数列{}n b 单调递增B.若数列{}n b 是常数列,数列{}n a 不是常数列,则数列{}n a 是周期数列C.若11(),2nna 则数列{}nb 没有最小值 D.若11()2,nna 则数列{}nb 有最大值 三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上. 13.命题“2,20xR x xm”的否定是____.14.在等比数列{}n a 中,已知3810,a a 则357a a 的值为____.15. 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+ 3y 的最小值为_____.16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史.上第一道数列题,其前10项依次是0, 2,4, 8,12, 18, 24, 32, 40, 50, 则此数列第19项的值为____.此数列的通项公式na ______. (本题第一空2分,第二空3分)四､解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在①f(x+1)-f(x)=2ax,②f (x)的对称轴为12x ,③f(1)=2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并回答下面问题.已知二次函数2()1,f x ax bx若____________,且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立,试求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12 分)已知数列{}n a 是公比q> 1的等比数列,若12314,a a a 且21a 是13,a a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2log ,n n b a 数列11{}n n b b 的前n 项和为,n T 若12n m T 对*n N 恒成立,求满足条件的自然数m 的最小值.19. ( 本小题满分12分) 已知数列{}n a 中,12,a 且满足1*122()n nna a n N .(1)求证:数列{}2n na是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:对于数列122}{,n n n b b b nb a 的充要条件是1(1)2.n nnb n20. (本小题满分12 分) 已知函数21(),21x xa f x a R(1)当a=1时,求不等式f (x)> 3的解集; (2)若不等式|(2)()|1f x f x 对任意x ∈[1,2]恒成立,求实数a 的取值范围.21. ( 本小题满分12 分)如图,某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长),现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为△ABC,A 到河两岸距离AE,AD 相等,B,C 分别在两岸上,AB ⊥AC 便游客观赏,拟围绕△ABC 区域在睡眠搭建景观桥,桥的总长度(即△ABC 的周长)为l.设EC x 百米.(1) 试用x 表示线段BC 的长度;(2)求l 关于x 的函数解析式f(x),并求f (x)的最小值.22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列,公差为d,前n 项和为.n S (1)若10,2a d,求100S 的值;(2)若11,a {}n a 中恰有6项在区间1(,8)2内,求d 的取值范围;(3)若121,3,a S ,集合*{|},n Aa nN 问能否在集合A 中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{},n b ,使得此新数列{}n b 满足从第二项开始,每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能,请举例说明;若不能,请说明理由. (注:数2aba b叫作数a 和数b 的调和平均数).。
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题纸上交。
2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。
3、 作答时必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
1. 命题“∀0x ∈R ，02x>0”的否定是 ▲ .2. 经过点()2,1P 且与直线0943=++y x 垂直的直线方程是 ▲ .3. 已知正四棱柱的底面边长为2cm ，高为1cm ，则正四棱柱的侧面积是 ▲ 2cm .4. 圆心是（-1，0）且过原点的圆的方程是 ▲ .5. 已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个）6. 设直线x y =与圆C ：0222=-+ay y x 相交于A ，B 两点，若32=AB ，则圆C 的半径为 ▲ .7. 已知圆柱M 的底面半径为3，高为2，圆锥N 的底面直径和高相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ . 8. 已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.②若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥， ③若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ，④若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）9. 圆221:4450C x y x y ++--=与圆222:8470C x y x y +-++=的公切线有 ▲ 条. 10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ .11. 已知命题12:≤-x p ，命题0)4)((:≤+--a x a x q ，若q p 是成立的充分非必要 条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .12. 关于x 的方程222+=-kx x x 有两个不同的实数根，则k 的范围为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线)2(+=x k y 上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围为 ▲ .14. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a －4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：(本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设命题p ：032,2>--∈a a R a ；命题q ：不等式x 2＋ax ＋1>0∀x ∈R 恒成立，若p 且q为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,, 的中点.已知 AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0),AB 边所在直线的方程为,063=--y x 点()1,1-T 在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在的直线方程及A 的坐标. （2）求矩形ABCD 外接圆方程.18.(本小题满分16分)在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线⊥l 平面ABC ，求证：l //平面PBC ．19. (本小题满分16分)已知圆O :122=+y x 和A (4，2)(1)过点A 向圆O 引切线l ,求切线l 的方程.(2)设P 为圆A ：9)2-()4-(22=+y x 上的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B.试探究：平面内是否存在一定点C,使得PCPB为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)已知圆M 的方程为062222=---+y x y x ，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切.(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E ，F 两点，圆N 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DEDF •的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A ，B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行?并说明理由.xx 第一学期期中测试高二数学试题参考答案一、填空 1、02,00≤∈∃x R x 2、0234=+-y x 3、8 4、()1122=++y x5、充分不必要6、67、 68、①④9、3 10、21 11、[]5,312、⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43,1 13、[]1,1-14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---222,222 二、解答 15.解：由题知 q p ,一真一假。
江苏省木渎高级中学2020-2021学年度第一学期第一次自主调研高二数学
江苏省木渎高级中学2020--2021学年度第一学期第一次自主调研高二（数学）试卷一．单选题（共8小题，每小题5分）1．命题:1p x ∃>，2log 0x >，则命题p 的否定为( ) A ．1x ∀>，2log 0x > B ．1x ∃>，2log 0xC ．1x ∃，2log 0xD ．1x ∀>，2log 0x2．“w π=”是“tan y wx =最小正周期为1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．等差数列{}n a 中，若510a =，105a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．1-C ．5D ．5-4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( ) A ．180里B ．170里C ．160里D ．150里5．已知等比数列{}n a 中，246816a a a a ⋅⋅⋅=，则37a a ⋅等于( ) A ．4±B ．4C ．8D ．8±6．已知a 4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，则k 的值为( ) A ．1009B ．1010C ．1011D ．10128．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为( ) A ．40B ．20C ．10D ．5二．多选题（共4小题，每小题5分，漏选得3分，错选不得分） 9.若0b a <<列结论正确的是( ) A ．22a b <B ．2ab b >C ．11()()22b a <D ．2a bb a+> 10．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列{}n a ，则下列说法正确的是（ ） A ．第4项是57B ．该数列共有135项C ．{}n a 的前10项和为639D ．154n a n =-11．在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为012．已知数列{}n a 满足111a =-，且13(213)(211)n n n a n a +-=-，则下列结论正确的是( ) A ．数列{}213na n -是等比数列 B ． 数列{}n a 的78a a = C ．数列{}n a 的前8项为负数D ．数列{}n a 最大项的值为1729三．填空题（共4小题，每小题5分，第15题第1空2分，第2空3分）13．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n N +∈，11a =，22a =，则5a = ． 14．“三个数a 、b 、c成等比数列”是“b ”的 条件． （选填：“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）15．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则公差d = ；数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前50项和50S = ．16．不等式1(1)(1)52n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，其余各题12分） 17．已知关于x 的不等式2230()ax x a R --<∈． （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，求a 的值．18．设集合2{|230}A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=． （1）求u lgx lgy =+的最大值； （2）若不等式21014m m x y++恒成立，求实数m 的取值范围．20．随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为21()2的正方形，构成2阶新型天线；⋯按上述规则进行下去．记n a 为n 阶新型天线所有正方形个数，n b 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出1a ，2a ，3a 和1b ，2b ，3b ； （2）求n a 与n b ．21．已知数列{}n a ，满足34a =，112(1)(1)n n n n n a a a n ++=+-+-，*n N ∈． （1）求1a 的值；（2）求证：数列211{}2n a -+是等比数列；（3）求数列{}n a 的前2n 项和．22.若数列{}n a 满足1483n n a S n +=++，且13a =，令2n n b a =+，*n N ∈． （1）求证数列{}n b 为等比数列并求n a ； （2）求证：11223111115()6020512n n a a a --⋅++⋯+<．江苏省木渎高级中学2020-2021学年度第一学期自主调研Ⅰ高二（数学）试卷 答案一．选择题（共10小题）1．命题:1p x ∃>，2log 0x >，则p 非为( ) A ．1x ∀>，2log 0x > B ．1x ∃>，2log 0xC ．1x ∃，2log 0xD ．1x ∀>，2log 0x【解答】故选：D ．2．“w π=”是“tan y wx =最小正周期为1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【解答】故选：A ．3．等差数列{}n a 中，若510a =，105a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．1-C ．5D ．5-【解答】解：因为等差数列{}n a 中，510a =，105a =，所以数列{}n a 的公差1051105a a d -==--．故选：B ．4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( ) A ．180里B ．170里C ．160里D ．150里【解答】解：设该人第n 天走n a 里路，则{}n a 是公比为12的等比数列，由题意得1661(1)2315112a S -==-， 解得1160a =． 故选：C ．5．已知等比数列{}n a 中，246816a a a a ⋅⋅⋅=，则37a a ⋅等于( ) A ．4±B ．4C ．8D ．8±【解答】故选：B ．6．已知a 4b =，c =a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【解答】解：222816,8a b c =+==+>，且8>，222b c a ∴>>，b c a ∴>>．故选：D ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，则k 的值为( ) A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012【解答】解：由20200S >，20210S <可得12020101010110a a a a +=+>，12011101120a a a +=<， 10110a ∴<，10100a >，且，10101011||a a >，对任意正整数n ，都有||||n k a a ，故1011k =． 故选：C ．8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为( ) A ．40B ．20C ．10D ．5【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若325a a -=，则225a q a -=，即2(1)5a q -=，变形可得251a q =-， 2224225598(8)(8)[(1)2(2)9]5[(1)2]5(2(2)5840111a a a q q q q q q q q q +=+=⨯+=⨯-+-+=⨯-++⨯=⨯=---， 当且仅当13q -=时等号成立，即428a a +的最小值为40； 故选：A ．二．多选题（共4小题）9.若0b a <<列结论正确的是( ) A ．22a b <B ．2ab b >C ．11()()22b a <D ．2a bb a+> 【解答】解：A ．0b a <<，0b a ∴->->，22b a ∴>，正确；B ．0b a <<，2ab b ∴<，不正确；C ．1012<<，b a <，∴11()()22b a >，因此C 不正确；D ．0b a <<，∴0a b >，0ba>，∴2a b b a +>=，正确．故选：AD ．10．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列{}n a ，则下列说法正确的是（ ） A ．第4项是57B ．该数列共有135项C ．{}n a 的前10项和为639D ．154n a n =-【解答】解：设所求数列为{}n a ，该数列为 11、26、41、56,，所以，数列{}n a 为等差数列，且首项为111a =，公差为261115d =-=， 所以，1(1)1115(1)154n a a n d n n =+-=+-=- 解不等式22021n a ，即21542021n - 解得21355n ， 则满足21355n 的正整数n 的个数为 135， 因此，该数列共有135 项． 故选：BD ．11．在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 【解答】解：对于A ，k 不可能为0正确；对于B ，1n a =时，{}n a 为等差数列，但不是等差比数列；对于C ，若等比数列11n n a a q -=，则2110n n n na a k q a a +++-==≠-，所以{}n a 为等差比数列；对于D ，数列0，1，0，1，0，1，⋯，0，1．是等差比数列，且有无数项为0，故选：ACD ．12．已知数列{}n a 满足111a =-，且13(213)(211)n n n a n a +-=-，则下列结论正确的是( ) A ．数列{}213na n -是等比数列 B ． 数列{}n a 的78a a = C ．数列{}n a 的前7项为负数D ．数列{}n a 最大项的值为1729【解答】解：13(213)(211)n n n a n a +-=-，∴112113213n n a a n n +=⨯--， 又1111211311a -==⨯--，∴数列{}213n a n -是首项为1，公比为13的等比数列，∴11()2133n n a n -=-，12133n n n a --∴=． ∴当6n 时，0n a <；当7n 时，0n a >．又112112134(7)333n n n n nn n n a a +-----=-=， ∴当6n 时，1n n a a +>；当7n =时，1n n a a +=；当8n 时，1n n a a +<．781()729n max a a a ∴===． 故选：ABD ．三．填空题（共4小题）13．已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n N +∈，11a =，22a =，则5a = 2- ． 【解答】解：21n n n a a a ++=-， 321n n n a a a +++∴=-，两式相加整理得：3n n a a +=-， 又22a =，522a a ∴=-=-．故答案为：2-．14．“三个数a 、b 、c成等比数列”是“b ”的 既不充分又不必要 条件． 【解答】解：当0b a ==时，b =a ，x ，b 成等比数列成立，故不必要； 当a ，b ，c 成等比数列且0a <，0b <，0c <时，得不到b = 故答案为：既不充分也不必要15．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则公差d = 2 ；数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前50项和50S = ．【解答】解：由题设可得：2152a a a =，即214(1)d d +=+，解得0d =或2，0d ≠，2d ∴=．又12(1)21n a n n =+-=-，∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 5011111111150()(1)21335991012101101S ∴=-+-+⋯+-=-=． 16．不等式1(1)(1)52n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 1954a -< ．【解答】解：当n 是奇数时，由题设1(1)(1)52n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，得对于任意正整数n 恒成立152a n-<+于任意正整数n 恒成立，解得5a -，即5a -当n 是偶数时，152a n<-对于任意正整数n 恒成立，故119544a <-=实数a 的取值范围是1954a -< 故答案为1954a -<四．解答题（共6小题）17．已知关于x 的不等式2230()ax x a R --<∈． （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，求a 的值．【解答】解：（1）1a =时，不等式2230ax x --<即为2230x x --<，它等价于(1)(3)0x x +-<，则13x -<<． 1a ∴=时，原不等式的解集为{|13}x x -<<（2）不等式式2230ax x --<的解集为{|13}x x -<<， 0a ∴>，且1x =-，3x =是关于x 的方程2230ax x --=的根． ∴121202233a x x a x x a ⎧⎪>⎪⎪+==⎨⎪⎪=-=-⎪⎩，1a ∴=．18．设集合2{|230}A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-． 3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，(1,1)B ∴=-． (3,1)AB ∴=-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．(1,1)B a a ∴=---． p 是q 成立的必要条件，∴1311a a ---⎧⎨-⎩， 解得：02a ．∴实数a 的取值范围是[0，2]．19．已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=． （1）求u lgx lgy =+的最大值； （2）若不等式21014m m x y++恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）因为0x >，0y >，由基本不等式，得25210x y xy +． 又因为2520x y+=，所以20，10xy ， 当且仅当，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立．此时xy 的最大值为10．所以1101u lgx lgy lgxy g =+==．所以当5x =，2y =时，u lgx lgy =+的最大值为1； （2）因为0x >，0y >， 所以10110125150215029()(25)(252)2020204x y y x y x x y x y x y x y ++=+=+++=， 当且仅当，即时，等号成立． 所以101x y +的最小值为94． 不等式21014m m x y ++恒成立，只要2944m m +，解得9122m-． 所以m 的取值范围是91[,]22-．20．随着无线通信技术的飞速发展，一种新型的天线应运而生．新型天线结构如图所示：以边长为1的正方形的4个顶点为顶点，向外作4个边长为12的正方形，构成1阶新型天线；以1阶新型天线的4个小正方形的12个外部顶点为顶点，向外作12个边长为21()2的正方形，构成2阶新型天线；⋯按上述规则进行下去．记n a 为n 阶新型天线所有正方形个数，n b 为n 阶新型天线所有正方形周长之和．（1）写出1a ，2a ，3a 和1b ，2b ，3b ； （2）求n a 与n b ．【解答】解：（1）由题设可得：1145a =+=， 2144317a =++⨯=，2314434353a =++⨯+⨯=， 11144(4)122b =⨯+⨯⨯=，2211144(4)43[4()]2422b =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，2233111144(4)43[4()]43[4()]42222b =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；（2）由题意知：1214(13)14434343123113n n n n a --=++⨯+⨯+⋯+⨯=+=⨯--，22311111144(4)43[4()]43[4()]43[4()]2222n n n b -=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⋯+⨯⨯⨯0121333348()8()8()8()2222n -=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯31()248312n-=+⨯- 316()122n =⨯-．21．已知数列{}n a ，满足34a =，112(1)(1)n n n n n a a a n ++=+-+-，*n N ∈． （1）求1a 的值；（2）求证：数列211{}2n a -+是等比数列；（3）求数列{}n a 的前2n 项和．【解答】解：（Ⅰ）当2n =时，32222a a a =-+，解得22a =． 当1n =时，21121a a a =+-，解得11a =． 证明：（Ⅱ）由于112(1)(1)n n n n n a a a n ++=+-+-， 当2n k =时，2122k k a a k +=+①， 当21n k =-时，2213(21)k k a a k -=--②， 把②代入①得到212131k k a a +-=+，所以212121212121111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +-----++++===+++（常数）． 所以数列211{}2n a -+是以32为首项，3为公比的等比数列；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：12113322n n a --+=⨯， 所以213122n n a -=-，代入②得：2313(21)2n n a n -=⨯--．则22123(21)n n n a a n -+=⨯-+．所以1221234212()()()332n n n n S a a a a a a n n +-=++++⋯++=---．则1221223522n n n n S S a n +-=-=--．所以：()()2223223343211244n n n n n n S n n n ++⎧---⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为偶数为奇数．22.若数列{}n a 满足1483n n a S n +=++，且13a =，令2n n b a =+，*n N ∈． （1）求证数列{}n b 为等比数列并求n a ； （2）求证：11223111115()6020512n n a a a --⋅++⋯+<． 【解答】解：（1）证明：1483n n a S n +=++，①，148(1)3n n a S n -=+-+②①-②得：158n n a a +=+，*(2,)n n N ∈即：*125(2)(2,)n n a a n n N ++=+∈即：*15(2,)n n b b n n N +=∈． 当1n =时，13a =，223a =，15b ∴=，225b =，215b b ∴=∴*15()n n b b n N +=∈，而10b ≠，故0n b ≠，∴数列{}n b 为等比数列， ∴5n n b =，∴52n n a =-（2）证明：11(52)352(51)n n n ----=-， 当*n N ∈，12(51)0n --，1(52)35n n -∴-⋅当*n N ∈时，0111211(1())11111151535(1())13535351251215n n n na a a --++⋯+++⋯⋯+==-<⋅⋅⋅-． 0525n n <-<，∴11525n n>- 当1n =时，01112311()360205a ==-⋅当2n 时，且*n N ∈，11231211(1())111111112311255()1355536020515n n n n a a a ---++⋯+>+++⋯⋯+=+=-⋅-，故：得证22．已知数列{}n a 满足：11a =，1(1)21n n n a na n ++-=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；【解答】解：（1）设n n c na =， 所以1(1)21n n n a na n ++-=+， 整理得121n n c c n +-=+， 故121n n c c n --=-，⋯，211c c -=，所有的式子相加得：13521n c c n -=++⋯+-， 则：2(121)135212n n n c n n +-=+++⋯+-==． 故2n na n =，解得n a n =． 证明：（2）由于n a n =， 所以(1)2n n n S +=， 所以222211112()(1)2(1)n n n b n n n n +==>>>-++． 所以：123222222211111111(2)(1)(1)2223(1)2(1)2(1)n n n b b b b n n n n ++++⋯+>-+-+⋯+-=-=+++．。
江苏省苏州市2020版高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
江苏省苏州市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .2. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知F1 ， F2分别是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2| |≤| |，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1， ]B . （1，2]C . [ ，+∞）D . [2，+∞）3. （2分） (2016高二上·陕西期中) 已知向量，，且与互相垂直，则k=（）A .B .C .D .4. （2分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A . x2﹣y2=1B . ﹣y2=1C . x2﹣=1D . ﹣=15. （2分）已知p：函数f（x）=x2+mx+1有两个零点，q：∀x∈R，4x2+4（m-2）x+1＞0．若p∧¬q为真，则实数m的取值范围为（）．A . （2，3）B . （-∞，1]∪（2，+∞）C . （-∞，-2）∪[3，+∞）D . （-∞，-2）∪（1，2]6. （2分） (2015高二上·安徽期末) 已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE 的三等分点，且，则等于（）A . + +B . + +C . + +D . + +7. （2分） (2018高二上·合肥期末) 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，其中B在线段AC之间，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分）△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=90°，△ABC所在平面α外一点P到点A、B、C的距离都是13，则P到平面α的距离为（）A . 7B . 9C . 12D . 139. （2分）如图，在中，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，则以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为，则的值为（）A . 1B .C . 2D .10. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1为底面的中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正切值是（）A . 1B .C .D . 211. （2分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A . 4B .C .D . 812. （2分） (2016高二上·莆田期中) 已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ 时，点Q的横坐标的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣3]B . [1，+∞）C . [﹣3，1]D . （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是________．14. （1分） (2016高二上·黄陵开学考) 抛物线y2=6x的准线方程为________．15. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 已知F1 ， F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是________．16. （1分）(2020·杨浦期末) 己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2017高二上·安阳开学考) P（x0 ， y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．18. （15分） (2017高三上·伊宁开学考) 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：（1）试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）（2）求异面直线B1D1与C1D所成的角；（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．19. （15分） (2018高一上·北京期中) 已知二次函数满足，．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围20. （15分）(2013·广东理) 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21. （5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．22. （10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为；（2）焦点在坐标轴上，且经过和两点．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、第11 页共12 页21-1、22-1、22-2、第12 页共12 页。
江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.不等式的22150x x --≤解集是A ，函数()ln 24xy =-的定义域是B ，则A B =（ ）A.(]2,3B.[]2,5C.()2,5D.(]2,52.若a ，b ，c 是实数，则“a b >”是“ln ln c a c b >”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要的条件3.已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A.15B.30C.3D.644.已知()440,0a b ab a b +=>>，则4a b +的最小值等于（ ） A.6B.8C.4D.55.已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，b n =2an 且b 1+b 3=17，b 2+b 4=68，则S 10=( )A. 90B. 100C. 110D. 1206.不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A.–11a ≤≤B.–11a ≤<C.–11a <<D.11a -<≤7.若ABC ∆的三边互不相等且边长成等差数列，则它的最小边与最大边比值的取值范围是（ ） A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭8.在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+11a =，11b =.设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A.202024-B.202124-C.202224-D.202324-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9.已知集合}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合； （2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 10.设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围. 11.在①1，n a ，n S 成等差数列；②递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根；这二个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足__________，且14b a =，223b a a =-，是否存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？（n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）12.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.13.已知关于x 的方程()2320,,,0ax bx c a b c R a ++=∈≠，其中0a b c ++=，且()320a b c c ++>.（1）求证：关于x 的方程2320ax bx c ++=有两个不等的实根；（2）若21ba-<<-，且1x ，2x 是方程2320ax bx c ++=的两个实根，求12x x -的取值范围.14.已知数列{}n a 中113a =，()134nn n a a n N a *+=∈+. (1)求证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； (2)已知：数列{}n b ，满足()412n nn nn b a -=①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②记集合()()()122,22n n n n M nT n N λ*⎧⎫++⎪⎪=-≥∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭若集合M 中含有5个元素，求实数λ的取值范围.三、填空题15.当2x >时，函数()2421x f x x =-的最小值等于__________.16.已知数列{}n a 满足11a =，()*12141n n a a n N n+=+∈-，则10a =__________.17.若关于x 的不等式2321x ax a -≤-+≤-有唯一解，则实数a 的值等于__________. 18.数列{}n a 中，()*1132,22n n a a n n N -=--≥∈，且1a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()34n S n λ⋅+≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为__________.四、新添加的题型20ax a +>对x R ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A.01a <<B.01a ≤≤C.102a <<D.0a ≥20.一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A.500n S <B.500n S ≤C.n S 的最小值为7003D.n S 的最大值为40021.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A.13n n S -=B.{}n S 为等比数列C.123n n a -=⋅D.21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 22.已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的值可能是（ ） A.23B.1C.34D.54参考答案1.D【解析】1.先由一元二次不等式求得集合A ，由对数函数的定义域求得集合B ，再利用集合的交集运算求得答案.由22150x x --≤得()()350x x +-≤，解得35x -≤≤，所以[]3,5A =-， 由240x ->解得2x >，所以()2,B =+∞，所以(]2,5A B =.故选：D. 2.B【解析】2.根据必要不充分定义进行判断可得答案. 当0c时ln ln c a c b =，ln ln c a c b >不成立，当ln ln c a c b >时，得()ln ln 0c a b ->，所以ln ln 0a b ->即a b >. 故选：B. 3.A【解析】3.设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 4.C【解析】4.利用基本不等式即可求解.由基本不等式可得：24442a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，即()()214404a b a b +-+≥， 所以()()144404a b a b ++-≥⎡⎤⎣⎦， 解得44a b +≥或40a b +≤（舍），当且仅当444a b a b ab =⎧⎨+=⎩即212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，所以4a b +的最小值等于4， 故选：C5.A【解析】5.分析：{b n }是等比数列，因此把两已知等式相除可化简. 详解：设{a n }公差为d ，b 2+b 4b 1+b 3=2a 2+2a 42a 1+2a 3=2a 1+d +2a 3+d 2a 1+2a 3=2d =6817=4，∴d =2，b 1+b 3=2a 1+2a 3=2a 1+2a 1+2d =17，2a 1=1，a 1=0，∴S 10=10a 1+10×92d =10×92×2=90，故选A. 6.D【解析】6.求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤， 故选：D ． 7.B【解析】7.设三角形的三边长度为： (),,0b m b b m b m -+>>， 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,2bb m b b m b m m-+>+⇒>>， ()()0b m b m b b -++>⇒>恒成立， ()2b b m b m b m ++>-⇒>-恒成立，最小边与最大边的比值： 12111b b m m b b b m m m--==-+++， 12,3b b m m b m ->∴>+，很明显1b m b m-<+， 据此可得：最小边与最大边比值的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.本题选择B 选项. 8.C【解析】8.根据题中条件，先得出()112n n n n a b a b +++=+，求出n n a b +；再得出112n n n n a b a b ++=，求出n n ab ，进而可得出nc ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 因为1n n n a a b+=+1n n n b a b +=+ 所以()112n n n n a b a b +++=+，()()222112n n n n n nn na b a b a b a b ++=+-+=，则数列{}n n a b +和{}n n a b 都是以2为公比的等比数列，又11a =，11b =，因此2n n n a b +=；12n n n a b -=，所以111222nn n n n n n n n n a bc a b a b +⎛⎫+=+=⋅=⎪⎝⎭，因此()22020202220202122412S-==--.故选：C.9.（1）{2,3}；（2）{3}．【解析】9.（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ； （2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值． 由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-， 则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意， 又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈， 因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}． 10.（1）(8,0]-（2）2m >【解析】10.（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，①当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；②当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<， 综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立， 只需22mx mx m x -+>恒成立， 只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 只需221xm x x >-+，令222211111x y x x x x x x===-+-++-，则只需max m y >即可因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立；因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.11.任选①②，结论都是：不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．【解析】11.选①，由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 是系数，求得其通项公式后，可得12,b b ，公差为21d b b =-，从而得n T ，n T 根据的表达式知3n ≥时，0n T <，结合n a 表达式可得结论．选②，由方程的根，及数列的性质得出24,a a ，从而可得n a ，求出12,b b ，得公差d 后可得n T ，在2n ≥时，0n T <，结合n a 可得结论．若选①，∵1，n a ，n S 成等差数列，∴21n n a S =+， 即21n n S a =-，显然11121a S a ==-，11a =，2n ≥时，11(21)(21)n n n n n a S S a a --=-=---，化简得12n n a a -=，∴{}n a 是等比数列，公比为2，∴12n na ，∴148b a ==，223242b a a =-=-=-，{}n b 是等差数列，则2110d b b =-=-，21(1)(1)8(10)51322n n n n n T nb d n n n --=+=+⨯-=-+， 18T =，26T =，36T =-，3n ≥时都有0n T <，而120n n a -=>，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项．若选②，∵递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，∴241,9a a ==，则2429a q a ==，3q =，2223n n n a a q --==， 149b a ==，223132b a a =-=-=-，2111d b b =-=-，1(1)1(1)(11)232n n n n n T nb d n --=+=⨯+⨯-2113526n n =-+， 易知19T =，2n ≥时，0n T <，而0n a >，∴不存在()320,k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项． 12.（1）0175x <≤；（2）11【解析】12.（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）.由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.13.（1）证明见解析；（2）233⎫⎪⎣⎭.【解析】13.（1）将c a b =--代入方程2320ax bx c ++=的判别式计算即可证明；（2）由题知12122,33b cx x x x a a+=-=，代入12||x x -=21ba-<<-转化为二次函数的最值求解. （1）由0a b c ++=得c a b =--， 对于方程2320ax bx c ++=，0a ≠，所以()2222221412412121241202b ac b a a b a ab b a b b ⎛⎫∆=-=++=++=++> ⎪⎝⎭，所以方程2320ax bx c ++=有两个不等的实根； （2）由题知12122,33b cx x x x a a+=-=，12||x x ∴-21ba-<<-，由二次函数()22444431933923f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增可得12||x x -∈1223x x ⎫-∈⎪∴⎪⎣⎭. 14.(1) 证明见解析，141n na =- (2)①()1222n n T n =--+②15211632λ≥>【解析】14.(1)计算得到： 111114(1)34n nn n a a a a +=+=++得证. (2) ①计算{}n b 的通项公式为2n nnb =，利用错位相减法得到n T . ②将n T 代入集合M ，化简并分离参数得()12nn n λ+≥，确定数列的单调性，根据集合M 中含有5个元素得到答案.(1) 111114(1)34n nn n a a a a +=+=++， 11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，其中首项1114a +=，公比为4q =.所以114n n a +=，141n n a =-. (2)①数列{}n b 的通项公式为2n nnb =231123122222n n n n nT --=+++⋅⋅⋅++ ① 234111*********n n n n nT +-=+++⋅⋅⋅++ ② ①-②23411111112222222n n n n T +=++++⋅⋅⋅+- 化简后得()1222n n T n =--+.②将n T 代入得()()()1212()222n n n n n λ+++≥化简并分离参数得()12nn n λ+≥， 设()12n n n n c +=，则()()11122n n n n c ++++=()()()()()11121121222n n n n n n n n n n c c ++++-+++--== 易知12341n n c c c c c c +<=>>⋅⋅⋅>>由于M 中含有5个元素，所以实数λ要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.1212c ==，530153216c ==，642216432c == 综上所述15211632λ≥>. 15.4【解析】15.把函数式变形，配成积为定值，然后用基本不等式求得最小值． ∵12x >，∴210x ，241()212242121x f x x x x ==-++≥=--，当且仅当12121x x -=-，即1x =时等号成立． 故答案为：4． 16.2819【解析】16.利用已知条件得11112212+1n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⎝--⎭，运用累加法可求得10a .依题意数列{}n a 满足11a =，()*12141n n a a n N n +=+∈-， 所以()()211111141212+12212+1n n a n n a n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭=，所以2111123a a ⎛⎫=- ⎝-⎪⎭，32111235a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ，10911121719a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以1101111111191+++12335171921919a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-， 所以10199281191919a a =+=+=. 故答案为：2819.【解析】17.由函数观点理解，要使2321x ax a -≤-+≤-有唯一解，即22y x ax a =-+与1y =-有唯一交点，则对应0∆=，联立求解即可不妨设2123,1,2y y y x ax a =-=-=-+，要使2321x ax a -≤-+≤-有唯一解，画出图形，如图：当22y x ax a =-+与1y =-有唯一交点时，原不等式有唯一解，即2210x ax a -++=有两相同实数根，故()2441=0a a ∆=-+，解得12a =±18.23【解析】18.由已知变形为111(1)2n n a a -+=-+，可得数列{}1n a +是等比数列，首项为2，公比为12-，运用等比数列通项公式可求得112()21n n a -=⨯--，再运用求和公式求得n S ，代入，利用不等式的恒成立思想和数列的最值可求得答案.由()*1132,22n n a a n n N -=--≥∈为变形为111(1)2n n a a -+=-+，又11 2.a += 所以数列{}1n a +是等比数列，首项为2，公比为12-，所以1112()2n n a -+=⨯-，可得112()21n n a -=⨯--，所以121()4121()1321()2n n n S n n ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎣⎦=-=---⎢⎥⎣⎦--，则3()4n S n λ⋅+≤，所以4131()432n n n λ⎧⎫⎡⎤⋅---+≤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，解得111()2n λ≤--，当n 为奇数时，111()2nλ≤--恒成立，等价于111+()2nλ≤恒成立，而min 11111()122n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦，所以23λ≤， 当n 为偶数时，111()2nλ≤--恒成立，等价于111()2nλ≤-恒成立，而11>11101()2n =--，所以1λ≤， 综上得23λ≤，所以实数λ的最大值为23， 故答案为：23. 19.BD【解析】19.由不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立，求得01a <<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.由题意，关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立， 则2440a a ∆=-<,解得01a <<，对于选项A 中，“01a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立”的充要条件；对于选项B 中，“01a ≤≤”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立”的必要不充分条件；对于选项C 中，“102a <<”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立”的充分不必要条件；对于选项D 中，“0a ≥”是“关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立”必要不充分条件. 故选：BD. 20.AC【解析】20.由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 21.ABD【解析】21.根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 22.BCD【解析】22.1,0,0x y y x +=>≠,有10y x =->则1x <且0x ≠,分01x <<和0x <打开||x ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.由1,0,0x y y x +=>≠，得10y x =->，则1x <且0x ≠. 当01x <<时,121x x y ++=122242x x x xx x x x+-+=+--=1215+44244x x x x -+≥-.当且仅当2=42x x x x --即23x = 时取等号. 当0x <时,121x x y ++=122242x x x xx x x x--+-+=+----=1213+44244x x x x ---+≥---.当且仅当2=42x x x x ----即2x =- 时取等号.综上，13214x x y +≥+.故选：BCD.。
2021年高二数学上学期期中试题(中校区)苏教版
2021年高二数学上学期期中试题（中校区）苏教版试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.命题“”的否定是 ▲ .2.双曲线的渐近线方程为 ▲ .3.若点位于直线的两侧，则的取值范围为 ▲ .4.命题“若，则”及该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ▲ .5.已知不等式的解集是，则 ▲ .6.曲线在点处的切线方程为 ▲ .7.如果，，那么是的 ▲ . (在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)8.函数的单调递增区间是 ▲ .9.若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则抛物线方程为 ▲ .10.若函数，则不等式的解集为 ▲ .11.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 ▲ .12.已知直线恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ▲ .13.设满足约束条件： 且的最小值为，则 ▲ .14.已知2222)9114()(),(y x y x y x f -+-++-=，则的最大值为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)已知，.（1）若，命题“或”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．(本小题满分14分)已知椭圆过点，离心率，为椭圆上的一点，为抛物线上一点，且为线段的中点.（1）求椭圆的方程；（2）求直线的方程.18. (本小题满分15分)今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个自驾游车队。
该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），若车队匀速通过该隧道，设车队的速度为m/s ，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为．（1）将表示为的函数；（2）求该车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度．19. (本小题满分16分)设为正实数，.（1）试比较的大小；（2）若，试证明：以为三边长一定能构成三角形；（3）若对任意的正实数，不等式恒成立，试求的取值范围.20. (本小题满分16分)设直线与椭圆相交于两点.（1）若，求的范围；（2）若，且椭圆上存在一点其横坐标为，求点的纵坐标；（3）若，且，求椭圆方程.高二期中数学答案一、填空题(14*5分)二、解答题。
江苏省2020学年高二数学上学期期中试题(含解析) (2)
高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个正确选项.）1.顶点在原点，焦点是()0,2F 的抛物线方程（ ） A. 28y x = B. 28x y = C. 218y x =D. 218x y =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求得答案． 【详解】由题意设抛物线的方程为22x py=()0p >，因焦点坐标为()0,2F ，则22p=， 4p ∴=，∴抛物线的方程为28x y =.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，由焦点位置确定方程类型以及p 的值是关键，属于基础题．2.圆锥的母线为2、底面半径为1，则此圆锥的体积．．是（ ） 3π 3πC. 2πD.23π 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的母线以及底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】由圆锥的母线为2，底面半径为1，得圆锥的高22213h =-=， 所以此圆锥的体积211313333V S h ππ=⋅=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查圆锥的体积公式，求出圆锥的高是关键，属于基础题.3.如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于A. ADB. FAC. AFD. EF 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算的法则计算． 【详解】BC -BD ＝DC ，11()22BC BD DC DF -==， ∴AD +12（BC -BD ）AD DF AF =+=． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础． 4.已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a= A. –4 B. –2 C. 4 D. 2【答案】D 【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D. 【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点，则EF 和1BC 所成的角是（ ）A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线1BC 平移和直线EF 相交，找到异面直线EF 与1BC 所成的角，解三角形即可求得结果．【详解】如图，取11A D 的中点G ，连接EG ，FG ，在正方体1111ABCD A B C D -中，设正方体边长为2， 易证GEF ∠（或补角）为异面直线EF 与1BC 所成的角， 在GEF ∆中，2EF =2EG =，6FG =由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-，即120GEF ︒∠=， 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法，属于基础题．6.将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，则折后的直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值（ ）A.12B.3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，即可得到答案.【详解】将等腰直角三角形ABC 沿底边上的高线AD 折成60︒的二面角，如图所示：在等腰直角三角形ABC 中，AD BC ⊥，易知直线BC 与平面ABD 所成角为DBC ∠，又BD DC =，60BDC ︒∠=， 所以DBC ∆为正三角形，故60DBC ︒∠=， 所以直线BC 与平面ABD 3故选：D.【点睛】本题考查学生的翻折问题，立体几何的空间想象能力，属于基础题.7.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明. 8.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A. 1B. 1或2-C. 1或12D.12【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点位置，再依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系，列出方程，即可求出．【详解】由双曲线2212x y a -=知，0a >，焦点在x 轴上，所以依据椭圆与双曲线中,,a b c 的关系可得，242a a -=+，解得1a =，故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质应用．9.如图，在四面体ABCD 中，已知,AB AC BD AC ⊥⊥那么D 在面ABC 内的射影H 必在（ ）A. 直线AB 上B. 直线BC 上C. 直线AC 上D. ABC ∆内部【答案】A 【解析】由,,AB AC BD AC ⊥⊥可得AC ABD ⊥平面，即平面ABC 内的射影H 必在平面ABC 与平面ABD 的交线AB 上，故选A10.已知圆C 的方程为22220x x y ay ++-=，其中a 为常数，过圆C 内一点()1,2的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为20x y -=，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】将圆C ：22220x x y ay ++-=化为()()22211x y a a ++-=+，圆心坐标为()1,C a -，半径21r a =+由题意可得，过圆心与点()1,2的直线与直线20x y -=垂直时，ACB ∠最小， 此时21112a -=---，即3a =. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦B. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦ C. ()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ D. ()()()22f x f x f x <<⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出2x x <，从而得出()()()21f xf x f <<，从而得出选项．【详解】∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由于112x <<，故2x x <，所以()()()210f x f x f <<=， 而()20f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()22f xf x f x <<，故选D.【点睛】本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.12.过双曲线M ：()22210y x b b-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且32OB OA OC =+，则双曲线的离心率是（ ） 10 55 10【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，得渐近线方程为y bx =或y bx =-，设过左顶点的直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立解得B ，C 的横坐标关于b 的式子，由32OB OA OC =+得B 为AC 的三等分点，利用向量坐标运算建立关于b 的方程并解之可得2b =，由此算出5c =即可得到双曲线的离心率.【详解】由题可知()1,0A -，所以直线l 的方程为1y x =+，因双曲线M 的方程为()22210y x b b-=>，则两条渐近线方程为y bx =或y bx =-，由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得1,11b C b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因32OB OA OC =+，又()1,0OA =-，1,11b OB b b ⎛⎫=-⎪++⎝⎭，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭∴311b bb b =+-，解得2b =， 在双曲线中，225c a b =+= 所以双曲线的离心率5ce a==故选：B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A 的直线相交于B ，C 两点且B 为AC 的三等分点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．二、填空题13.曲线xy e =在点()0,1处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.【答案】12【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在0x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【详解】依题意得e xy '=，因此曲线xy e =在点()0,1处的切线的斜率01k e ==，所以相应的切线方程为1y x =+，当0x =时，1y =；当0y =时，1x =-； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为111122S =⨯⨯-=. 故答案为：12. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知(),P x y 是椭圆C ：2214x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则a 的取值范围是______. 【答案】)17,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】根据椭圆方程表示出椭圆的参数方程，即设()2cos ,sin P θθ，代入不等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出a 的取值范围. 【详解】根据题意设()2cos ,sin P θθ，即2cos x θ=，sin y θ=，代入不等式得：()124cos sin 170tan 4x y a a a θθθϕϕ⎛⎫-+=-+=++≥= ⎪⎝⎭恒成立， 即()17a θϕ-≤+恒成立，又()1cos 1θϕ-≤+≤，17a -≤-，即17a ≥，故a 的取值范围为)17,⎡+∞⎣. 故答案为：)17,⎡+∞⎣.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，解题的关键是利用参数正确设点，属于基础题. 15.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱．．．．称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的底2的等腰三角形，面积最大的侧面是正方形，则该“堑堵”的外接球．．．的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】由题意可知该直三棱柱是底面为直角三角形，又面积最大的侧面是正方形，则直三棱柱的高为2，进而可得外接球的半径2R =，即可得表面积.2的等腰直角三角形，又最大侧面为正方形，则该直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的外接球的半径22112R =+=248S R ππ==. 故答案为：8π.【点睛】本题考查了空间几何体的外接球的表面积的计算问题，属于基础题.16.设()()2222,44m n n D m e n m n R ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭，则D 的最小值为______.21 【解析】 【分析】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即1D +的最小值是点()0,1F 到()ln f x x =上的点的距离的最小值.【详解】设()222ln 4n S x n x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（其中mx e =，则ln m x =），其几何意义为两点(),ln x x ，2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离的平方，令()ln f x x =，()24x g x =，由ln y x =的导数为1y x'=，11k x ∴=，点2,4n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线24x y =上，又2x y '=，22x k ∴=令()ln f x x =，()24x g x =，则()()()()221212211D x x f x g x g x +=-+-+⎡⎤⎣⎦，而()21g x +是抛物线24x y =上的点到准线1y =-的距离，即抛物线24x y =上的点到焦点()0,1F 的距离，从而1D +可以看作抛物线上的点()()22,x g x 到焦点距离和到()ln f x x =上的点的距离的和，即AF AB +，如图所示：由两点之间线段最短，得1D+的最小值是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，则1D+就最小，即D最小，设()00,lnB x x，则000ln111xx x-⋅=--，即200ln10x x+-=，解得1x=，即()10B,∴点()0,1F到()10B,的距离就是点()0,1F到()lnf x x=上的点的距离的最小值，故1D+的最小值为2，即D的最小值为21-.故答案为：21-.【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，//AF DE，DE AD⊥.（1）求证：AD CE⊥；（2）求证：平面//ABF平面DCE.【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意可得DE AD ⊥，AD DC ⊥，从而AD ⊥平面DCE ，由此即可得证AD CE ⊥； （2）由题意可得//AB DC ，进而可得//AB 平面CDE ，又//AF DE ，即可得//AF 平面CDE ，由此即可得证平面//ABF 平面DCE .【详解】证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AD CD ⊥， 又∵DE AD ⊥，且CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴AD ⊥平面CDE ，又∵CE ⊂平面CDE ，∴AD CE ⊥.（2）∵矩形ABCD ，∴//AB CD ，又CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，∴//AB 平面CDE .又∵//AF DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE .∴//AF 平面CDE ，又ABAF A =，,AB AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面CDE .【点睛】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.已知圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，圆心C 在直线2y x =-上. （1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线210x y -+=上，过P 点作圆C 的两条切线，分别与圆切于M 、N 两点，求四边形PMCN 周长的最小值.【答案】(1) ()()22122x y -+=+ (2) 2322【解析】 【分析】（1）由题意设(),2C a a -，半径为()0r r >，则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=，由题意圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，得到关于a ，r 的方程解得即可； （2）由题意得：四边形PMCN 周长2c PM PN r =++，其中22PM PN PC =-，利用点到直线的距离即可求得答案.【详解】（1）因为圆心C 在直线2y x =-上，所以可设(),2C a a -，半径为()0r r >， 则圆C 的方程为()()2222x a y a r -++=；又圆C 经过点()2,1A -，且与直线1x y +=相切，所以()()2222122111a a ra ar⎧-+-+=⎪⎨--=⎪+⎩，解得12ar=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆C的方程为()()22122x y-+=+. （2）由题意：四边形PMCN周长2c PM PN r=++，其中22PM PN PC==-，即PC取最小值时，此时周长最小，又因P在直线210x y-+=上，即圆心C到直线210x y-+=的距离时，PC∴的最小值为22221512PC++==+，所以周长252222322c≥-+=+，故四边形PMCN周长的最小值为2322+.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，属于中档题.19.2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.（注：343V R=π球，V Sh=柱，其中R为球半径，S为圆柱底面积，h为圆柱的高）（1）求胶囊中药物体积y关于x的函数关系式；（2）如何设计AD与AB的长度，使得y最大？【答案】(1) 2322253y x xπππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，250,xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2) AD为10032π-毫米，AB为255032ππ--毫米【解析】【分析】（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积y 关于x 的函数关系式； （2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案. 【详解】解：（1）由2250AB x π+=得25AB x π=-，0AB >，所以250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以药物体积()322321422525233y x x x x x ππππππ⎛⎫=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭，250,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）求导得2222350'x y x x πππ=-+，令'0y =，得5032x π=-或0x =（舍），当500,32x π⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y >，y 在区间500,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增， 当5025,32x ππ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，'0y <，y 在区间5025,32ππ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调减， 所以当5032x π=-时，y 有最大值，此时100232AD x π==-，255032AB ππ-=-，答：当AD 为10032π-毫米，AB 为255032ππ--毫米时，药物的体积有最大值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的数据应用，考查计算能力，属于基础题． 20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11AAC C ；（2）若11CC CB =，2CA CB ==，3AB =，平面11CC B B ⊥平面ABC ，求二面角1B NC M--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 74【解析】 【分析】（1）利用已知条件证四边形AMNP 为平行四边形即可得//MN 平面11AAC C ；（2）利用几何关系作出二面角1B NC M--的平面角，利用解三角形即可得到答案. 【详解】证明：（1）取11A C的中点，连接AP，NP，∵11C N NB=，11C P PA=，∴11//NP A B，1112NP A B =.在三棱柱111ABC A B C-中，∵11//A B AB，11A B AB=. ∴//NP AB，且12NP AB=.∵M为AB的中点，∴12AM AB=.∴NP AM=，且//NP AM.∴四边形AMNP为平行四边形.∴//MN AP，∵AP⊂平面11AAC C，MN⊄平面11AAC C，∴//MN平面11AAC C. 其他方法：（2）∵11CC CB=，N是11B C中点，∴11CN B C⊥.又∵三棱柱，∴11//BC B C，∴CN BC⊥，又∵平面11CC B B⊥平面ABC，平面11CC B B平面ABC BC=，CN⊂平面11CC B B，∴CN⊥平面ABC，又,CB CA⊂平面ABC，∴CN CB⊥，CN CA⊥，BCM∠为二面角1B NC M--的平面角，如图：在三角形CAB 中，2CA CB ==，3AB =，∴中线7CM =22273227cos 4722BCM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭∴∠==⨯⨯，故二面角1B NC M --的余弦值为74. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21.已知函数()()21ln 2f x x a b x =+-，,a b ∈R . （1）当0a =，2b =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =-，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围. 【答案】(1) 1ln2-. (2) 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当0a =，2b =时，求出函数的导数，通过函数()f x 在区间(2上单调递减；在)2,+∞上单调递增，求得最小值；（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，得到1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，从而12x x a +=-，121x x ⋅=，推出()21f x x 的表达式，记()()1ln 12x g x x x x=+>，利用函数的导数求得单调性，即可得到答案. 【详解】（1）当0a =，2b =时，()212ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2'220x x x x f x x-=-=>，∴当()0,2x ∈时，()'0f x <；当()2,x ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增，∴()()min 21ln 2f x f==-.（2）当1b =-时，()2'11x ax x a x f x x+++=+=，∴1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，∴12x x a +=-，121=x x ， ∵12x x <且1>0x ，20x >，∴21>x ，221a x x =--， ∴()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，令()()1ln 12x g x x x x =+>，则()2'1ln 102x xg x =-++>，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()112g x g >=，即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.22.如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】 【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值； （2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px =-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，>0∆且121224y y pmy y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+， 联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN 的距离2241d m --=+2121MN m y y =+-，()21222163322AMNm S MN d y y m∆-=⋅⋅=-=+26t m =-，213364166416AMN t S t t t t∆==++++13281642≤=⨯+8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值.（2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．1、在最软入的时候，你会想起谁。
2021年高二数学上学期期中试题 苏教版
2021年高二数学上学期期中试题苏教版（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．抛物线的焦点坐标为▲ ．2．经过点（－2，3），且与直线垂直的直线方程为____▲_______．3．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．4.已知无论取任何实数，直线必经过一定点，则该定点坐标为▲．5.设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_____▲______．6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是▲ cm.7. 如果规定：，则叫做关于相等关系具有传递性，那么空间三直线关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______.8.双曲线的一条渐近线方程为，则▲ .9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为,则它到右准线的距离为▲ .10．设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的等价条件是与内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号▲ （写出所有真命题的序号）．11.椭圆,为椭圆的两个焦点且到直线的距离之和为，则离心率= ▲ .12.若点在曲线上，则的最小值为▲ .13.已知过点作直线与圆：交于两点，且为线段的中点,则的取值范围为▲ .14．已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则▲ .16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱中，已知平面， 且． (1)求证：;(2)在棱BC 上取一点E ，使得∥平面，求的值．18. （本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为．观测点,同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？AD1C1A1B1BCD P A BC DE(第16题图)19. （本小题满分16分）（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆,设斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为，证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.20. （本小题满分16分）在直角坐标平面中，的两个顶点为，平面内两点同时满足：为的重心；到三点的距离相等；直线的倾斜角为.（1）求证：顶点在定椭圆上，并求椭圆的方程；（2）设都在曲线上，点，直线都过点并且相互垂直，求四边形的面积的最大值和最小值.高二数学期中试卷答题纸 xx.11一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：_ 姓名_____________内……………不……………要……………答……………题………………16．解：17．解：18．解：19.解：AD CABBCDPAB C DE (第16题图)请将20题做在反面高二数学期中试卷参考答案 xx.111. ；2. ；3. ；4. ；5. 0 ；6. 4；7. 平行；8.；9. 3 ； 10. （1）（2）； 11. ；12. 2；13. ；14. 15.解：由，得或；当m =4时，l 1：6x +7y -5=0，l 2：6x +7y =5,即l 1与l 2重合，故舍去。
2021-2022学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若（1，k ）是直线x −√3y +2=0的一个方向向量，则k 的值为（ ）A ．−√3B ．−√33C ．√33D ．√32．在等比数列{a n }中，a 3＝1，a 7＝3，则a 15的值为（ ）A ．9B ．27C ．81D ．2433．已知直线l 1：ax +2y ＝0与直线l 2：（a +1）x ﹣y +2＝0垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．−23C ．1D ．1或﹣24．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭．欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．205．过点P （a ，6）引圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣2y +1＝0的切线，切点为A ，则P A 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n +a n +1＝2n ，则S 20的值为（ ）A ．100B ．200C ．400D ．8007．已知A ，B ，C （ABC ≠0）成等差数列，直线Ax +By +C ＝0与圆x 2+y 2+2tx +ty ﹣6＝0的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随着t 的变化而变化8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n +1，数列{b n }的通项公式为b n =n 2．若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{c n }，则625是数列{c n }中的第（ ）A ．14项B ．15项C ．16项D ．17项二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则（ ）A ．S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列B ．S 33，S 66，S 99成等差数列C ．S 9＝2S 6﹣S 3D ．S 9＝3（S 6﹣S 3）10．已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0（ ）A ．两圆的圆心距为2√5B ．两圆的公切线有3条C ．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x ﹣2y +4＝0D ．两圆相交，且公共弦的长度为4√511．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若2a 5+a 4＝a 3，且存在两项a m ，a n ，使得4√a m a n =a 1，则（ ）A ．a n +1＝2a nB ．S n ＝2a 1﹣a nC ．mn ＝5D ．m +n ＝612．已知AB 为圆O ：x 2+y 2＝49的弦，且点M （4，3）为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2+BC 2＝66，则（ ）A ．点C 构成的图象是一条直线B ．点C 构成的图象是一个圆C ．OC 的最小值为2D ．OC 的最小值为3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13．类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“﹣”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n﹣k+a n+k＝2a n（n＞k），借助类比，在等出数列{b n}中有．14．已知点M（1，3），N（5，﹣2），若x轴上存在一点P，使|PM﹣PN|最大，则点P的坐标为．15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）……，则第5个图形的边长为；第n个图形的周长为．16．如图，已知圆C1：x2+（y﹣s）2＝s2（s＞0）内切于圆C2：x2+（y﹣t）2＝t2（t＞0），直线l：y＝kx （k＞0）分别交圆C1，C2于A，B两点（A，B在第一象限内），过点A作x轴的平行线交圆C2于M，N 两点，若点A既是线段OB的中点，又是线段MN的三等分点，那么k的值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知三角形的顶点A（4，1），B（﹣6，3），C（3，0）．（1）求AC边上的高BH所在的直线方程；（2）求AB边上的中线CD所在的直线方程．18．（12分）已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且{b n}的各项均为正数，若a1＝b1＝1，a2﹣b2＝1，a3+b3＝9．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．19．（12分）已知圆M 经过A(2，−√3)，B(2，√3)，C （﹣1，0）．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点P （3，2），点Q 是圆M 上的一个动点，求MQ →⋅PQ →的最小值．20．（12分）在①S n＝2a n﹣1，②a1＝1，S n+1＝2S n+1，③a1＝1，S n＝a n+1﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足____．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使得这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8x +12＝0，直线l 是过原点O 的一条动直线，且l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）若A ，B 恰好将圆C 分成长度之比为1：2的两段圆弧，求l 的斜率；（2）记AB 的中点为M ，在l 绕着原点O 旋转的过程中，点M 在平面内形成一段曲线E ，求E 的长度．22．（12分）有一种被称为汉诺塔（Hanoi ）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A 、B 、C ），在A 杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）．游戏的目标：把A 杆上的金盘全部移到C 杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A 、B 、C 任一杆上．记n 个金盘从A 杆移动到C 杆需要的最少移动次数为a n ．（1）求a 2，a 3，并直接写出a n 与a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)的关系式；（2）求证：a 1+1a 1a 2+a 2+1a 2a 3+⋅⋅⋅+a n +1a n a n+1＜1．2021-2022学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．若（1，k ）是直线x −√3y +2=0的一个方向向量，则k 的值为（ ）A ．−√3B ．−√33C ．√33D ．√3解：∵（1，k ）是直线x −√3y +2=0的一个方向向量，∴k 1=−√3，解得k =√33， 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，a 3＝1，a 7＝3，则a 15的值为（ ）A ．9B ．27C ．81D ．243解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 3•q 4，得q 4＝3，所以a 15＝a 3q 12＝a 3（q 4）3＝33＝27．故选：B ．3．已知直线l 1：ax +2y ＝0与直线l 2：（a +1）x ﹣y +2＝0垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．−23C ．1D ．1或﹣2解：∵直线l 1：ax +2y ＝0与直线l 2：（a +1）x ﹣y +2＝0垂直，∴a （a +1）﹣2＝0，即a 2+a ﹣2＝0，解得a ＝1或﹣2，故选：D ．4．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭．欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．20解：设大夫、不更、簪褭、上造、公士所出钱数成等差数列{a n }，其公差为d ，前n 项和为S n ，由题意可得{a 5=a 1+4d =28S 5=5a 1+10d =100，解得{a 1=12d =4，则a 2＝a 1+d ＝12+4＝16， 所以不更出的钱数为16钱．故选：B．5．过点P（a，6）引圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0的切线，切点为A，则P A的最小值为（）A．4B．5C．6D．7解：圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0的圆心（3，1），半径为3，点P（a，6）的轨迹为y＝6，过点P（a，6）引圆C：x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0的切线，切点为A，则P A的最小值的平方就是圆的圆心到直线y＝6的距离的平方与半径的平方差，可得：P A的最小值：√(6−1)2−32=4，故选：A．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n+a n+1＝2n，则S20的值为（）A．100B．200C．400D．800解：数列{a n}的前n项和为S n，若a n+a n+1＝2n，则S20＝a1+a2+a3+a4+•+a19+a20＝2×1+2×3+2×5+•+2×19＝2（1+3+5+•+19）＝2×1+192×10=200．故选：B．7．已知A，B，C（ABC≠0）成等差数列，直线Ax+By+C＝0与圆x2+y2+2tx+ty﹣6＝0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随着t的变化而变化解：若A，B，C公差为d，则Ax+（A+d）y+（A+2d）＝A（x+y+1）+d（y+2）＝0，∴直线恒过定点（1，﹣2），将代入圆中，可得5+2t﹣2t﹣6＝﹣1＜0，∴（1，﹣2）在圆x2+y2+2tx+ty﹣6＝0内，故直线与圆相交．故选：A．8．已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n+1，数列{b n}的通项公式为b n=n2．若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{c n}，则625是数列{c n}中的第（）A．14项B．15项C．16项D．17项解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝3n+1，数列{b n}的通项公式为b n=n2，若将数列{a n}，{b n}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{c n}，令a n＝b m，即3n+1＝m2，1．若m＝3k，则b m＝9k2∉{a n}．2．若m ＝3k +1，则b m ＝（3k +1）2＝9k 2+6k +1＝3（3k 2+2k ）+1∈{a n }． 3．若m ＝3k +2，则b m ＝（3k +2）2＝9k 2+12k +4＝3（3k 2+4k +1）+1∈{a n }． 故当m ＝3k +1和m ＝3k +2，k ∈Z 时，项b m 才能在{a n }中出现，即为公共项．所以，公共项为b 2，b 4，b 5，b 7，b 8，b 10，b 11，b 13，b 14，b 16，b 17，b 19，b 20，b 22，b 23，b 25，•， 令m 2＝625，求得m ＝25，即b 25＝625， 显然625是数列{c n }中的第16项， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则（ ） A ．S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列B ．S 33，S 66，S 99成等差数列C ．S 9＝2S 6﹣S 3D ．S 9＝3（S 6﹣S 3）解：因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设等差数列的公差为d ，则S 9＝9a 1+36d ，S 6＝6a 1+15d ，S 3＝3a 1+3d ， 则S 3＝3a 1+3d ，S 6﹣S 3＝3a 1+12d ，S 9﹣S 6＝3a 1+21d ， 所以2（3a 1+12d ）＝（3a 1+3d ）+（3a 1+21d ）， 则S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等差数列，故选项A 正确； 因为S 9＝9a 1+36d ，S 6＝6a 1+15d ，S 3＝3a 1+3d ， 则S 33=a 1+d ，S 66=a 1+52d ，S 99=a 1+4d ，所以2(a 1+52d)=(a 1+d)+(a 1+4d)， 则S 33，S 66，S 99成等差数列，故选项B 正确；因为S 9＝9a 1+36d ，S 6＝6a 1+15d ，S 3＝3a 1+3d ， 所以2S 6﹣S 3＝2（6a 1+15d ）﹣（3a 1+3d ）＝9a 1+27d ， 则S 9≠2S 6﹣S 3，故选项C 错误；因为S 9＝9a 1+36d ，S 6＝6a 1+15d ，S 3＝3a 1+3d ，所以3（S 6﹣S 3）＝3[（6a 1+15d ）﹣（3a 1+3d ）]＝9a 1+36d ＝S 9，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0与圆C 2：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0（ ） A ．两圆的圆心距为2√5 B ．两圆的公切线有3条C ．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为x ﹣2y +4＝0D ．两圆相交，且公共弦的长度为4√5解：由圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0，得（x +1）2+（y +1）2＝10， 由圆C 2：x 2+y 2﹣2x +10y ﹣24＝0，得（x ﹣1）2+（y +5）2＝50， 可得C 1（﹣1，﹣1），r 1=√10，C 2（1，﹣5），r 2=5√2．两圆的圆心距为|C 1C 2|=√(−1−1)2+(−1+5)2=2√5，故A 正确； ∵5√2−√10＜|C 1C 2|＜√10+5√2，∴两圆相交， 公切线有2条，故B 错误；两圆方程作差，可得x ﹣2y +4＝0，即公共弦所在的直线方程为x ﹣2y +4＝0，故C 正确； 圆心C 1（﹣1，﹣1）到直线x ﹣2y +4＝0的距离d =√5=√5，r 1=√10， 则公共弦的长度为2√10−5=2√5，故D 错误． 故选：AC ．11．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若2a 5+a 4＝a 3，且存在两项a m ，a n ，使得4√a m a n =a 1，则（ ） A ．a n +1＝2a nB ．S n ＝2a 1﹣a nC ．mn ＝5D ．m +n ＝6解：等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ， 由各项均为正数的等比数列{a n }满足2a 5+a 4＝a 3， 可得2a 3q 2+a 3q ＝a 3，∴2q 2+q ﹣1＝0，∴公比q =12，∴a n +1=12a n ，故A 错误．∴S n =a 1⋅[1−(12)n]1−12=2a 1•[1−(12)n ]＝2a 1﹣a 1•(12)n−1=2a 1﹣a n ，故B 成立．∵4√a m a n =a 1，∴16a m •a n ＝a 12，即a m •a n =116•a 12， 又 a m •a n =a 12•（12）m +n ﹣2=116•a 12，∴（12）m +n ﹣2=116=(12)4，∴m +n ﹣2＝4，即m +n ＝6，（m ∈N *，n ∈N *），故D 正确．再根据m +n ＝6，m 、n 为正整数，故mn ＝5不一定成立，如m ＝2，n ＝4时，故C 错误， 故选：BD ．12．已知AB 为圆O ：x 2+y 2＝49的弦，且点M （4，3）为AB 的中点，点C 为平面内一动点，若AC 2+BC 2＝66，则（ ）A ．点C 构成的图象是一条直线B ．点C 构成的图象是一个圆C ．OC 的最小值为2D ．OC 的最小值为3 解：如图，∵M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ，∵|OA |＝r ＝7，|OM |=√32+42=5，∴|MA |=√72−52=2√6． 又AC 2+BC 2＝66，∴AC →2+BC →2=66， 可得(AM →+MC →)2+(BM →+MC →)2=66，∵AM →=−BM →，∴(AM →+MC →)2+(MC →−AM →)2=66， 可得2AM →2+2MC →2=66，则MC →2=9，|MC |＝3． ∴点C 构成的图象是一个圆，故A 错误，B 正确；又|OM |＝5，∴当O 、M 、C 共线，且C 在OM 之间时，OC 有最小值为5﹣3＝2． 故C 正确，D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.13．类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“﹣”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n﹣k+a n+k＝2a n（n＞k），借助类比，在等出数列{b n}中有b n−k b n+k=b n2(n＞k)．解：由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n﹣k+a n+k改写为b n﹣k b n+k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b n2，∴等比数列{b n}中有b n−k b n+k=b n2(n＞k)．故答案为：b n−k b n+k=b n2(n＞k)14．已知点M（1，3），N（5，﹣2），若x轴上存在一点P，使|PM﹣PN|最大，则点P的坐标为（13，0）．解：作M（1，3）关于x轴对称点M′（1，﹣3），作直线M′N交x轴于点P，则点P即为所求，设直线M′N的解析式为y＝kx+b将M′（1，﹣3），N（5，﹣2）代入{−3=k+b−2=5k+b，解得k=14，b=−134，所以此函数的解析式为y=14x−134，当y＝0时，x＝13所以P点坐标（13，0）．故答案为：（13，0）15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2）．如此继续下去，得图（3）……，则第5个图形的边长为181；第n个图形的周长为4n−13n−2．解：根据题意，第一个图形有3条边，边长为1，第二个图形有3×4条边，边长为1×1 3，第三个图形有3×42条边，边长为1×1 32，……第n 个图形中有3×4n﹣1条边，每条边的边长为13n−1，则第5个图形的边长为135−1=134=181，第n 个图形的周长为（3×4n ﹣1）×13n−1=4n−13n−2；故答案为：181，4n−13n−2．16．如图，已知圆C 1：x 2+（y ﹣s ）2＝s 2（s ＞0）内切于圆C 2：x 2+（y ﹣t ）2＝t 2（t ＞0），直线l ：y ＝kx （k ＞0）分别交圆C 1，C 2于A ，B 两点（A ，B 在第一象限内），过点A 作x 轴的平行线交圆C 2于M ，N 两点，若点A 既是线段OB 的中点，又是线段MN 的三等分点，那么k 的值为 √7 ．解：由{y =kxx 2+(y −s)2=s 2，解得A （2ks 1+k 2，2k 2s 1+k 2），由{y =kxx 2+(y −t)2=t 2，解得B （2kt 1+k 2，2k 2t 1+k 2）， 因为点A 是线段OB 的中点，所以2•2ks1+k 2=2kt 1+k 2，即有t ＝2s ，s ，t ＞0，由{y =2k 2s1+k 2=k 2t1+k 2x 2+(y −t)2=t 2，解得x M =−√t 2−(t 1+k 2)2，x N =√t 2−(t 1+k 2)2， 因为A 为线段MN 的三等分点，所以|MA |＝2|AN |，即有kt1+k 2+√t 2−(t 1+k 2)2=2（√t 2−(t 1+k2)2−kt 1+k2）， 即3kt 1+k 2=√t 2−(t1+k 2)2，两边平方化为9k 2t 2＝t 2（1+k 2）2﹣t 2，即有k 4＝7k 2，由于k ＞0， 解得k =√7． 故答案为：√7．四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知三角形的顶点A （4，1），B （﹣6，3），C （3，0）． （1）求AC 边上的高BH 所在的直线方程； （2）求AB 边上的中线CD 所在的直线方程． 解：（1）∵A （4，1），C （3，0），∴k AC =0−13−4=1， ∵BH 为AC 边上的高，∴k AC ⋅k BH ＝﹣1，得k BH ＝﹣1，又BH 过点B （﹣6，3），∴BH 所在直线的方程为y ﹣3＝﹣1×（x ﹣（﹣6））， 即x +y +3＝0；（2）∵A （4，1），B （﹣6，3），∴AB 的中点(4+(−6)2，1+32)，即D （﹣1，2）， 又C （3，0），∴k CD =2−0−1−3=−12， 又∵直线CD 过点C （3，0），∴CD 所在直线的方程为y −0=−12×(x −3)， 即x +2y ﹣3＝0．18．（12分）已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且{b n }的各项均为正数，若a 1＝b 1＝1，a 2﹣b 2＝1，a 3+b 3＝9．（1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．解：（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， ∵数列{b n }的各项均为正数，∴q ＞0， 由a 2﹣b 2＝1，a 3+b 3＝9， 可得{1+d −q =11+2d +q 2=9，解得{d =2q =2，∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N *， b n ＝1•2n ﹣1＝2n ﹣1，n ∈N *．（2）由（1）得，c n =a n ⋅b n =(2n −1)⋅2n−1， 则S n =1×1+3×2+5×22++（2n ﹣1）×2n ﹣1，2S n =1×2+3×22+5×23++（2n ﹣1）×2n ，两式相减，可得−S n =1×1+2×2+2×22+•+2×2n ﹣1﹣（2n ﹣1）×2n＝2+22+23+•+2n ﹣（2n ﹣1）×2n ﹣1=2(1−2n)1−2−(2n −1)×2n −1＝﹣（2n ﹣3）×2n ﹣3， ∴S n =(2n −3)×2n +3．19．（12分）已知圆M 经过A(2，−√3)，B(2，√3)，C （﹣1，0）． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点P （3，2），点Q 是圆M 上的一个动点，求MQ →⋅PQ →的最小值． 解：（1）设圆M 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（r ＞0）， 由于圆经过A(2，−√3)，B(2，√3)，C （﹣1，0），所以有{(2−a)2+(−√3−b)2=r 2，(2−a)2+(√3−b)2=r 2，(−1−a)2+(0−b)2=r 2，，解得{a =1，b =0，r =2，所以圆M 的标准方程为（x ﹣1）2+y 2＝4．（2）由（1）知M （1，0），设Q （1+2cos θ，2sin θ），θ∈R ， MQ →=(2cosθ，2sinθ)，PQ →=(2cosθ−2，2sinθ−2)，所以MQ →⋅PQ →=（2cos θ）（2cos θ﹣2）+（2sin θ）（2sin θ﹣2）＝4﹣4（cos θ+sin θ）=4−4√2sin(θ+π4)≥4−4√2．当θ=π4时，MQ →⋅PQ →取得最小值为4−4√2．所以MQ →⋅PQ →的最小值为4−4√2．20．（12分）在①S n ＝2a n ﹣1，②a 1＝1，S n +1＝2S n +1，③a 1＝1，S n ＝a n +1﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足____． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n +1之间插入n 个数，使得这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列，在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 解：（1）如选①：由于S n ＝2a n ﹣1，当n ≥2时，有S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1， 两式作差得a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1，又n ＝1时，有S 1＝a 1＝2a 1﹣1，所以a 1＝1≠0，所以a n ﹣1≠0， 所以a n a n−1=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1． 如选②：由于S n +1＝2S n +1，当n ≥2时，有S n ＝2S n ﹣1+1， 两式作差得a n +1＝2a n （n ≥2），又n ＝1时，有a 1＝1且S 2＝a 1+a 2＝1+a 2＝2S 1+1＝2a 1+1＝3，所以a 2＝2，有a 2＝2a 1， 所以a n +1＝2a n （n ≥1），且a 1＝1≠0， 所以a n+1a n=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1． 如选③：由于S n ＝a n +1﹣1，当n ≥2时，有S n ﹣1＝a n ﹣1， 两式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2），又n ＝1时，有a 1＝1且S 1＝a 1＝1＝a 2﹣1，所以a 2＝2，有a 2＝2a 1， 所以a n +1＝2a n （n ≥1），且a 1＝1≠0， 所以a n+1a n=2，即数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．（2）由（1）可知a n =2n−1，a n+1=2n ． 因为a n +1＝a n +（n +2﹣1）d n ，所以d n =a n+1−a n n+1=2n−1n+1．假设在数列{d n }中存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列，则d k2=d m d p ，即(2k−1k+1)2=2m−1m+1⋅2p−1p+1，化简得22k (k+1)2=2m+p (m+1)(p+1)（*），因为m ，k ，p 成等差数列，所以m +p ＝2k ，从而（*）可以化简为k 2＝mp ． 联立{m +p =2k ，k 2=mp ，可得k ＝m ＝p ，这与题设矛盾．所以在数列{d n }中不存在三项d m ，d k ，d p （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列．21．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8x +12＝0，直线l 是过原点O 的一条动直线，且l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）若A ，B 恰好将圆C 分成长度之比为1：2的两段圆弧，求l 的斜率；（2）记AB 的中点为M ，在l 绕着原点O 旋转的过程中，点M 在平面内形成一段曲线E ，求E 的长度． 解：（1）设直线l 的斜率为k ，则l ：kx ﹣y ＝0，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4以点C （4，0）为圆心，2为半径，因为A ，B 将圆C 分成长度之比为1：2的两段圆弧，所以∠ACB =2π3， 又因为半径r ＝2，所以圆心C 到弦AB 的距离为l （记圆心C 到弦AB 的距离为d ）， 所以d =|k×4−0|√k +1=1，即16k 2＝k 2+1，所以k =±√1515．（2）由于M 为AB 中点，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点， 由垂径定理可知AB ⊥CM ，即OM ⊥CM ，所以点M 在以OC 为直径的圆上，设OC 的中点为T ，则T （2，0），所以TC ＝2， 所以点M 在以T （2，0）为圆心，2为半径的圆T 上，所以，曲线E 为圆T 在圆C 内部的部分圆弧，记圆T 与圆C 的交点为P ，Q ， 易得PC ＝PT ＝TC ＝2，所以∠PTC =π3，所以∠PTQ =2π3， 所以PCQ ̂=2×2π3=4π3，即曲线E 的长度为4π3． 22．（12分）有一种被称为汉诺塔（Hanoi ）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A 、B 、C ），在A 杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）．游戏的目标：把A 杆上的金盘全部移到C 杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A 、B 、C 任一杆上．记n 个金盘从A 杆移动到C 杆需要的最少移动次数为a n ．（1）求a 2，a 3，并直接写出a n 与a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)的关系式； （2）求证：a 1+1a 1a 2+a 2+1a 2a 3+⋅⋅⋅+a n +1a n a n+1＜1．（1）解：当n ＝1时，金盘从A 杆移到C 杆需要的最少移动次数为1次，即a 1＝1；当n ＝2时，将第一层（自上而下）金盘从A 杆移到B 杆需要的最少次数为1次，将第二层（自上而下）金盘从A 杆移到C 杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B 杆上的金盘从B 杆移到C 杆需要的最少次数为1次，所以a 2＝3；当n ＝3时，将第一层、第二层（自上而下）金盘从A 杆移到B 杆需要的最少次数为a 2＝3次，将第三层（自上而下）金盘从A杆移到C杆需要的最少次数为1次，再将已移动到B杆上的金盘从B杆移到C杆需要的最少次数为a2＝3次，所以a3＝2a2+1＝2×3+1＝7；依此类推：a n=2a n−1+1(n≥2，n∈N∗)（2）证明：记S n=a1+1a1a2+a2+1a2a3+⋅⋅⋅+a n+1a n a n+1，由（1）知a n=2a n−1+1(n≥2，n∈N∗)即a n+1=2(a n−1+1)(n≥2，n∈N∗)，由于a1+1＝1+1＝2，所以a n−1+1≠0(n≥2，n∈N∗)，所以a n+1a n−1+1=2(n≥2，n∈N∗)．即数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1=2×2n−1=2n，即a n=2n−1，所以a n+1a n a n+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=(2n+1−1)−(2n−1)(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1所以S n=121−1−122−1+122−1−123−1+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1−1=121−1−12n+1−1=1−12n+1−1所以S n＜1．。
江苏省木渎高级中学2020-2021学年第一学期三校12月联合调研试卷高二数学
江苏省木渎高级中学2020-2021学年第一学期三校12月联合调研试卷高二数学一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）(A)12x =-(B)18x =-(C)12y =-(D)18y =-2．已知椭圆C 的焦点1F ，2F 在x 轴上，过点1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若2ABF 周长为8，则椭圆C 的标准方程可能为（ ） (A)2211615x y +=(B)22187x y +=(C)22143x y +=(D)22134x y +=3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且236a a e =(e=2.71828…为自然对数的底数)，则81ln k k a ==∑（ ）(A)8(B)10 (C)12 (D)144．下列不等式中，与201xx ->-同解的是（ ） (A)(2)(1)0x x --≥ (B)102x x -≥- (C)(2)(1)11x x π--⎫ ⎪⎝⎭>⎛(D)log (1)0x π-≤5．标准对数远视力表(部分如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）(A)4510a (B)91010a (C)4510a -(D)91010a -6．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p ，q 一真一假，则实数m 的取值范围是（ ） (A)(1,2)(3,)+∞ (B)(1,2][3,)+∞ (C)(1,2)[3,)+∞ (D)(1,2](3,)+∞7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点F 分成5∶3的两段，则此双曲线的离心率为（ ）(B)43(D)28．实数a ，b 满足二次函数2()f x x ax b =++，2()g x x bx a =++都有两个不同实根，并且它们的积()()f x g x ⋅恰有三个不同实根，则下列说法正确的有（ ） (A)()()f x g x ⋅的三个不同实根之和与a ，b 相关(B)()()f x g x ⋅的三个不同实根之和等于12(C)()()f x g x +的两个实根之和与a ，b 相关(D)()()f x g x +的两个实根之和等于12二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 9．已知曲线22:0C Ax By Dx Ey F ++++=，下列说法正确的是（ ） (A)若A=B=1，则C 是圆(B)若A=B=0，220D E +>，则C 是直线 (C)若A ≠0，B=0，则C 是抛物线(D)若AB<0，D=E=0，0F ≠，则C 是双曲线10．在数列{}n a 中，*n ∈N ，若211n n n n a a k a a +++-=-(k 为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是（ ） (A)k 不可能为0(B)等差数列一定是“等差比数列” (C)等比数列一定是“等差比数列”(D)“等差比数列”中可以有无数项为011．已知双曲线222sin (,)42x y k k θθπ-=≠∈Z ，则不因θ改变而变化的是（ ）(A)焦距 (B)离心率 (C)顶点坐标 (D)渐近线方程12．若不等式2210843kx y xy +≥对于x ∀，(0,)y ∈+∞恒成立的必要不充分条件是[,)k m ∈+∞，则正整数m 可以为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 三．填空题：13．命题“[1,)x ∀∈+∞，2sin 2x x +≥”的否定为________． 14．设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，前n 项和是n S，若数列也是公差为d 的等差数列，则数列{}n a 的通项公式为n a =________．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右端点为A ，O 为坐标原点，若在椭圆上存在一点P 使得OP ⊥PA ，则此椭圆离心率的取值范围是________．16．如图，将边长为1的正方形纸片沿经过其中心(即对角线的交点)的直线对折，那么对折后的纸片所能覆盖的最大面积(即图中阴影部分面积)为________．四．解答题：请解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．赵老师上课时在黑板上写出了三个集合：10x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}2340B x x x =--≤，12log 1C x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，然后叫小明、小红、小强三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是他们三人的描述： 小明：此数为小于6的正整数；小红：“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； 小强：“x A ∈”是“x C ∈”的必要不充分条件．若赵老师说三位同学说的都对，你能确定“□”中的数吗?请说明理由．18．已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}()*0,n n b b n ≠∈N 满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n ac b =．(1)求数列{}n c 的通项公式；(2)若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ．19．已知某工厂要设计一个部件(如图阴影部分所示)，要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成．设矩形的两边长分别为AD=y ，CD=x(单位：cm ²)，要求y >，部件的面2．(1)求y 关于x 的函数解析式，并求出定义域；(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．20．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ． (1)若直线l 经过点F ，且4AB =，求直线l 的方程； (2)设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =-． ①证明：直线l 过定点； ②求MA MB ⋅的最小值．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 在函数21122y x x =+的图象上． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且212n n b a n=+，求n T 的取值范围． (3)设114(1)2n a n n n c λ+-=+-⋅⋅，(λ为非零整数，*n ∈N )，是否存在确定的λ值，使得对任意*n ∈N ，有1n n c c +>恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动， 若PAB 面积的最大值为，椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆222:(2)(02)E x y r r +-=<<的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D(异于点B)，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．三校联合调研测试卷数学参考答案与评分标准一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．C 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A 8．D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．BD 10．BC 11．BD 12．AB三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．13．2000[1,),sin 2x x x ∃∈+∞+< 14．944n - 15．2⎫⎪⎪⎝⎭16．2四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.18. (12分)(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以112n nn na ab b ++-=，即c n ＋1－c n ＝2， 所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和 S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n， 将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.19（12分）（1）2213sin 6032S xy x xy =+︒==243x y x ==.y x >x >，解得x <故(2y x =<<.（2）如图所示：作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，连接OC .故1326OE x x =⨯=，故222222222264312x x x R OC CF OF y x y xy ⎛⎫⎛⎫==+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221313134836666x x =++≥=+， 当221313483x x=，即2x =时等号成立.故当2x =.20(12分)（1）设直线l 与C 的交点()11,A x y ，()22,B x y ．点F 为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭． 因为直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为12x my =+，代入抛物线得2210y my --=， ∴()21212||12224AB x x m y y m =++=++=+=， 解得1m =±．直线l 的方程为12x y =±+， 即2210x y --=，或2210x y +-=．（2）①设直线l 的方程为x my t =+， 代入抛物线方程化简得2220y my t，∴121222y y m y y t+=⎧⎨=-⎩．∵111y k x =，222y k x =，1212122212121242214y y y y k k t y y x x y y t -⋅=====-⇒=，所以直线l 过定点（1,0） ②直线l 的方程为1x my =+．解121x x my ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得13,22M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．又∵121222y y my y +=⎧⎨=-⎩，∴21212221x x m x x ⎧+=+⎨=⎩．∴1113,22MA x y m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2213,22MB x y m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴121211332222MA MB x x y y m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21212121211332422x x x x y y y y m m ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭2291313254444m m =++≥=， ∴当且仅当2294m m =，即2m =±时，取等号，∴当m =时，MA MB ⋅的最小值为254．21(12分)【详解】解：（1）∵点(),n n S 在函数()21122f x x x =+的图象上，∵21122n S n n =+.① 当2n ≥时，()()21111122n S n n -=-+-，② ①-②得n a n =.当1n =时，111a S ==，符合上式. ∴()n a n n *=∈N.（2）由（1）得()2211111122222n n b a n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪++++⎝⎭，∴12111n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111123242n n ⎛⎫=-+++⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. ∵n *∈N ，∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，∴3111342124n T n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭，∴()()11013n n T T n n +-=>++，∴数列{}n T 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =. ∴13n T ≥，∴1334n T ≤<.（3）∵n a n =，∴()11412n n n n c λ-+=+-⋅⋅，假设存在确定的λ值，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>恒成立，即10n n c c +->，对任意n *∈N 恒成立，即()()11214412120n n n n n n -+++-+-⋅λ⋅--⋅λ⋅>，对任意n *∈N 恒成立，即：()1112n n ---⋅λ<，对任意n *∈N 恒成立.①当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<， ②当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-， 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-.综上所述：存在1λ=-，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>. 22. （1）由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，PAB S △最大，此时122PABS ab ab =⨯==△222122ab c a a a b c ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪-=⎩，b 1c =， ∴椭圆O 的标准方程为22143x y +=．（2）设过点()2,0B 与圆E 相切的直线方程为()2y k x =-，即20kx y k --=， ∵直线与圆E ：()2222x y r +-=相切，∴d r ==，即得()2224840r k k r -++-=．设两切线的斜率分别为1k ，()212k k k ≠，则121k k =，设()11,C x y ，()22,D x y ，由()()12222221112341616120143y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∴211211612234k x k -=+，即211218634k x k -=+，∴11211234k y k -=+；同理：22212222186863443k k x k k --==++，212222112123443k k y k k --==++；∴()112221111222211112211121243348686414334CD k k y y k k k K x x k k k k k ----++===---+-++，∴直线CD 的方程为()21112221111286343441k k k y x k k k ⎛⎫-+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭． 整理得()()()()111222111714412141k k k y x x k k k =-=-+++，∴直线CD 恒过定点()14,0．。