中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型

模型三垂直全等模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.

结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

图①图②

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

图③图④

D

E

A

B

C

例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.

A

D

证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，

∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.

∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.

∴∠BAE ＝∠CED .

在△ABE 和△ECD 中，

B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△ECD .

∴AB ＝EC ，BE ＝CD .

∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.

例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E

D

A

解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，

∴∠E ＝∠ADC ＝90°.

∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.

∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，

∴∠EBC ＝∠DCA .

在△CEB 和△ADC 中，

E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△CEB ≌△ADC .

∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .

∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .

例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. x y

图①B

A (0,3)

C (-2,0)

O

解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .

∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.

由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，

∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.

∴∠DBC ＝∠ACO .

在△BCD 和△CAO 中，

BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△BCD ≌△CAO .

∴CD ＝OA ，BD ＝OC .

∵OA ＝3，OC ＝2.

∴CD ＝3，BD ＝2.

∴OD ＝5.

∴B （－5，2）.

（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .

在△ACD 和△CBO 中，

ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACD ≌△CBO .

∴CD ＝OB ，AD ＝CO .

∵B （－1，0），C （0，3）

∴OB ＝1，OC ＝3.

∴AD ＝3，OD ＝2.

∴OD ＝5.

∴A （3，2）

.

跟踪练习 1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .

证明：

（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.

在△ABE 和△BCF 中，

AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△BCF .

∴AE ＝BF .

（2）∵△ABE ≌△BCF .

∴∠BAE ＝∠CBF .

∵∠ABE ＝90°，

∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.

∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.

∴∠BGE ＝90°，

∴AE ⊥BF .

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.

解答：∵a 、b 、c 都是正方形，

∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.

∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，

∴∠BAC ＝∠DCE .

在△ABC 和△CBE 中，

ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ACB ≌△CDE .

∴AB ＝CE ，BC ＝DE .

在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE

即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.

3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP

（1）求证：EF ＝CF －BE ；

（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

P

解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，

∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.

∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，

∵∠BAC ＝90°，

∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，

∴∠BAE ＝∠ACF .

在△ABE 和△CAF 中，

AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .

∴AE ＝CF ，BE ＝AF .

∵EF ＝AE －AF ，

∴EF ＝CF －BE .

（2）如图，EF ＝BE ＋CF .

理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .