大学数学向量及运算 (1)

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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
k
O Ai
x
M r jB
y N
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
沿三个坐标轴方向的分向量,
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四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax ,ay ,az ), b (bx ,by ,bz ), 为实数，则
a b (ax bx , ay by , az bz )
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
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2. 向量的减法 三角不等式
a
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
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说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yOz 面
O xOy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
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在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
x1
2
x2
,
B
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x, y, z ), 作 OM r, 则有 r OM ONP ONQM OR
2. 向量的坐标表示
以在空i ,间j ,直k 分角别坐标表系示下x,,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z C
OM ON NM OA OB OC r x i y j z k 记 (x, y , z )
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x,0, z)
r
O
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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z
O x
坐标面 :
坐标轴 :
y
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解: 2×① －3×② , 得
x 2a 3b (7,1,10)
代入②得 y 1 (3 x b) (11, 2,16) 2
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例3. 已知两点 在AB所在直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA MB OB OM
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时,
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
bz az
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
5x3y a
①
3x2y b
②
其中a （2，1，2）, b （1，1， 2）.
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
1 a
a. 因此 a a ea
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± , a , b 同向时取正号
反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a. 再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0 故 0, 即 .
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“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0
a , b 同向
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则:
abc ab b
ab b
a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(b
a
)
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则