图论意义下的Laplace定理

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3 Laplace 定理的新证明
在本节中, 我们从公式( 2) 的行列式定义出发, 给出了 Laplace 定理的一个图论方法证明. 为了叙述方便, 我们使用下列记号和术语 . 设 A = ( aij ) 为一个 n 阶矩阵 , 1 & i 1 < i 2 < . . . . . . < i k & n 和. 1 & j 1 < j 2 < . . . . . . < j k & n. 设{ i∋1 , i∋2 , . . . . . . i∋n- k } = { 1, 2, . . . . . . , n} - { i 1 , i 2 , . . . . . . ik } , 1 & i∋1 < i∋2 < . . . . . . < j ∋nk
C 2 : v 1 ∃ v 2 ∃ v 1 , v 3 ∃ v 3 , ∀ ∀, v n ∃ v n 奇回路复盖 , W ( C 2 ) = - a 2 x n- 2 C 2 : v 1 ∃ v 2 ∃ v 3 ∃ v 1 , ∀∀, v n ∃ v n , 偶回路复盖 , W ( C 3 ) = a 3 x n∀∀ C n- 1 : v 1 ∃ v 2 ∃ ∀∀ ∃ v n- 1 ∃ v 1 , v n ∃ v n n 为奇数时 , 偶回路复盖, W ( C n- 1 ) = an- 1 x , n 为偶数时 , 奇回路复盖, w ( C n- 1 ) = a n- 1 x C n : v 1 ∃ v 2 ∃ ∀∀ ∃ v n ∃ v 1 n 为奇数时 , 奇回路复盖, w ( C n ) = - a n , n 为偶数时 , 偶回路复盖, w ( C n ) = a n . 从而 , det ( A ) = a 1 x n- 1 + a 2 x n- 2 + ∀∀ + a n- 1 x + a n .
收稿日期 : 2001- 03- 16 作者简介 : 许道云 ( 1959. 10) , 男 , 副教授 , 研究方向 : 计算复杂性 . * 贵州大学自然科学基金资助
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贵州大学学报 ( 自然科学版 )
第 18 卷
表示图. V = { v 1 , . . . . . . , v m } , E = { ( V i , Vj ) | a ij 1 例1 设A = 0 0 2 2 1 , 下图为 A 的表示图. 0} , f ( v i , v j ) = aij .
1 C ! CC( G)
(- 1) sing ( C ) W ( C ) =
i ∀ ∀ ∀ ∀
j < j < ......< j & n
1 2 k
(- 1) sig n( C∋) w ( C∋) (- 1 ) i 1+ . . . +
i j
k k
ik+ j 1+ . . . + j k
C∋ ! CC( G
& n, { j ∋1 , j ∋2 , . . . . . . j ∋n- k } = { 1, 2, . . . . . . ,
k
n} - { j 1 , j 2 , . . . . . . j k } , 1 & j ∋1 < j ∋2 < . . . . . . < j ∋n( 1) CC( G ) : G 中的所有回路复盖所成之集. ( 2) A i1 j1 ∀ ∀ ∀ ik ∀ jk
n n
第3期
许道云 : 图论意义下的 L aplace 定理
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例 3. 设 A 为如下 n 阶矩阵. a1 a2 a3 ∀ ∀ anan
1
- 1 x - 1 x - 1 ∀ ∀ ∀ ∀ x b - 1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图3
n- 1
表示图共有如下 n 个不同的回路复盖 : C 1 : v 1 ∃ v 1 , v 2 ∃ v 2 , ∀ ∀, v n ∃ v n 偶回路复盖 , w ( C 1 ) = a 1 x
1 2 k
det( A
n
i1 j1
∀ ∀
∀ ∀
ik jk
) (- 1) i 1+ . . . + ik + j 1+ . . . + j k ( 3)
det ( A
i∋1 j ∋1
∀ ∀
∀ ∀
i∋n- k j ∋n- k )
设 G 为 A 的表示图, 利用本文中引入的记号. 公式 ( 3) 可以表示为: det ( A ) =
2 Valiant 的行列式( 图论) 计算方法
本节介绍 Valiant 用图论方法如何计算一个矩阵的行列式. 我们需要如下图论知识作准 备. 设 G = ( V , E , f ) 为一个边上赋权的有向图, 其中 f 为赋权函数. ( 1) p 是 G 中的一条路径 , 定义 p 的权为该路径上边上所带的权之乘积 . 记为 w ( p ) . 本 文中的路径均指简单路径 ( 结点不重复出现) . ( 2) 一个回路的奇偶性取决于它的长度的奇偶性. ( 3) 回路复盖 : 设 C = ( C 1 , . . . . . . , C m ) 为 G 的一组回路, 对每个 C i , 记 Vi 出现在 C i 上的结点集合 . 如果 { V 1 , . . . . . . , V m } 形成 V 的一个划分 , 则称 C = ( C 1 , . . . . . . , C m ) 为 G 的一个回路复盖. C 的权定义为 w ( C) = w ( C 1 ) w ( C 2 ) . . . . W ( C m ) . ( 4) 回路复盖的奇 ( 偶) : 设 C = ( C 1 , . . . . . . , C m ) 为 G 的一个回路复盖. 若 C 中包含奇 ( 偶) 数个长度为偶数 的回路 . 则称 C 为奇 ( 偶) 回路复盖. 记 sign ( C) 为 C 中长度为偶数的回路个数 , lenyth ( C i ) 表示回路 C i 的长度. 设 A = ( aij ) 为一个 n 阶方阵. 如下构造的( 边带权 ) 有向图 G = ( V , E, f ) 称为 A 的
C ! CC ( G ) (-
1) sign ( C ) W ( C )
( 2)
其中 : G 为矩阵 A 的表示图, CC( G ) 为 G 中回路复盖集. 本文中使用的行列式定义是公式( 2) , 而不是公式 ( 1) . 例2 0 b a 0 b a 0 # a ∀ b ∀ 0 b a 0 b a 0
图2
设 A 为如下 n 阶矩阵 .
由 A 的表示图可知: 当 n 为奇数时 , 无回路复盖, 故 det ( A ) = 0. 当 n 为偶数时, 仅有一个 回路复盖 : v 1 ∃ v 2 ∃ v 1 , v 3 ∃ v 4 ∃ v 3 , . . . . . . . . . , v n- 1 ∃ v n ∃ v n- 1 . 由此回路复盖可以看出: 每个子回路均为偶回路, 而且共有 n / 2 个子回路 . 所以, det( A ) = (- 1 ) 2 ( ab) 2 .
摘
要
根据 Valiant 图 论方法给出的矩 阵行列式定义 . 证明了 图论意义 下的
Laplace 定理. 关键词 图论, 行列式, L aplace 定理 中图分类号 O234 文献标识码 A 文章编号 1000- 5269( 2001) 03- 0157- 08
1 引言
自从 Valiant 用图论方法研究行列式的计算以来, 线性代数中的几个著名定理和算法都 得到了相应处理 . 如 : 矩阵乘积的行列式计算、 M acMahon 主定理、 Cayley - H amilton 定理、 矩阵树定理、 特征多项式计算等[ 3, 4, 5] . 这一技术广泛应用于代数复杂性理论的研究 [ 2] . 我们 知道 : 矩阵运算和行列式计算是线性代数的基础 . 因而从直观上讲, 线性代数中涉及行列式 计算的结果, 应该用 Valiant 的图论方法得到解决. 本文介绍了这一技术, 并作了相应分析. 在行列式的图论方法定义下, 我们给出 L aplace 定理的一个新的证明.
为一个 n + m 阶矩阵. 它的表示图 G 中的结点集合为{ v 1 , v 2 , . . . . . . , v n , 0 B 1 , . . . . . . , v n+ m } . 显然, G 由两个连通分支 G A 和 G B 构成 . 其中 G A 的结点集合为 { v 1 ,
v 2 , . . . . . . , v n } , G B 的结点集合为{ v n+ 1 , v n+ 2 , . . . . . . , v n+ m } . 可见 : G A 对应于矩阵 A 的表 示图 , G B 对应于矩阵 B 的表示图 ( 因为 v n+ i 可以视为 u i ) . 而且 G 的任一个回路复盖 C 均由 G A 的一 个回 路复盖 C A 和 G B 的一 个回 路复 盖 C B 构 成. 显 然, sign ( C ) = sign( CA ) + sign ( CB ) . 由公式 ( 2) 中的定义, det = det( A ) det ( B ) . 证毕. 0 B 有趣的是 : 在线性代数中 , 通常是用 L aplace 定理来证明引理 1 中的结论. 而在新的行列 引理 2. 设 A = ( a ij ) 为一个 n 阶矩阵, 给定两个正整数 i , j ( 1 & i < j & n ) ) . B 为 A 的第 i 行和 j 行互换所得矩阵 . 则 det( A ) = - det ( B ) . ( 即两行互换 , 行列式改变符号. ) 证明 : 设 G A = ( V A , E A , f A ) 和 G B = ( V B , E B , f B ) 分别为 A 和 B 的表示图 , 其中 V A = { v 1 , v 2 , . . . . . . , v n } 而且 V B = { u 1 , u 2 , . . . . . . u n } . 我们注意到: 对 1 & k & n, 在 G A 中, f A ( v i , v k ) = ai k , f A ( v j , v k ) = a jk , 但是, 在 G B 中 , f B ( u i , uk ) = ajk , f B ( uj , u k ) = a ik . 对 1 & l, k & n 且 l i , j , f A ( v l , v k ) = alk = f B ( ul , u k ) .
& n.
: A 中第 i 1 , i 2 , . . . . . . i k 行和第 j 1 , j 2 , . . . . . . j k 列的交叉元素 i1 j1 ∀ ∀ ∀ ik .
构成的 k 阶矩阵. 其表示图记为 G A ( 3) A [ 0] i1 j1 ∀ ∀ ∀ ik
∀ jk
∀ jk
1 1
A
)
j
i∋ C( ! CC( G
A
1 1
∀ ∀
∀
i∋
(- 1) sign( C( ) W ( C()
)
( 4)
n- k n- k
j∋
∀ j∋
为证明公式( 3) , 我们需要如下引理 . 引理 1 det 证明 v n+ 设 A 为一个 n 阶矩阵, B 为一个 m 阶矩阵. 则 A 0 A 0 B 0 = det( A ) det( B ) .
第 18 卷 第 3 期 2001 年 8 月
贵州大学学报 ( 自然科学 版) Journal of Guizhou U niversity ( Natural Science)
Vol. 18 No. 3 Aug. 2001
图论意义下的 Laplace 定理
许道云
( 贵州大学计算机科学系 贵阳 550025)
图1
可以证明 : { 1, 2 , . . . . . . , n} 上的一个置换 置换个数的奇偶性.
显然, 一个循环置换对应于表示图中的一个回路 . 置换的分解构成 { 1 , 2, . . . . . . , n } 的 一个划分 . 从而 { 1, 2 , . . . . . . , n} 上一个置换的分解恰好对应于表示图中的一个回路复盖, 而且一个回路复盖的奇偶与该置换的奇偶相吻合 . 这就是 Valiant 用图论方法处理行列式计 算的主要思想. 根据上述分析, 我们不难得出行列式的图论计算公式: det ( A ) =
第 18 卷
i1 G A [ 0] j1
∀ ∀
∀
ik .
∀ jk
Laplace 定理 : 设 A = ( aij ) 为一个 n 阶矩阵 . 假定 1 & i 1 < i 2 < . . . . . . < ik & n 为任意 给定的一组数. 则 det ( A ) =
1 j < j < ... ...< j
1 3 0 线性代数中将一个 n 阶矩阵的行列式定义为: det ( A ) =
! S
(- 1 )
n
( )
1 ( 1)
2 ( 2)
∀∀
n ( n)
( 1)
其中: S n 为{ 1 , 2, . . . . . . , n } 上的置换群 . 若 为偶置换, 则 ( ) = 1, 否则 ( ) = 0. 我们注意到 : 一个置换可以分解为若干个互不相交的 循环置换的积( 或称复合 ) . 如 : 1 2 2 1 3 4 4 5 5 6 3 6 = ( 1 2) ( 3 4 5) ( 6) 的奇偶性取决于 被分解后长度为偶数的循环
: A 中保留第 i 1 , i 2 , . . . . . . ik 行和第 j 1 , j 2 , . . . . . . j k 列的交
叉元素. 保留 第 行 和第 列 的 交 叉 元素 . 其 余位 置 上 的 元 素全 置 为 0. 其表 示 图 记 为
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贵州大学学报 ( 自然科学版 )