第八章 图论原理
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第八章图论
有向图是一个有序二元组(V，A)，记为 D＝(V，A)，其中 V＝(v1，v2,…….vp)是 p 个点 的集合，A＝{a1，a2，……aq}是 q 条弧的集合，并且 ai 是一个有序二元组，记为 aij=(vi,vj)≠ (vj,vi)，vi,vj∈V，并称 aij 是以 vi 为始点，vj 为终点的弧， i, j 的顺序不能颠倒，图中弧的方 向用箭头标识。
27
Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
18
树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
24
矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
7
V6
1
4
1
2
9
V1
3
3
V4
10
V7 3
V9
7
V2
4
8
6
5
V5
2
V8
25
最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
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Dijkstra标号法原理
方法的每一步是去修改 T 标号，并且把某一个具有 T 标号的点改变 为具有 P 标号的点，从而使 D 中具有标号的顶点数为多一个.这样至多
树与最小树问题
某企业的组织机构如下所示
生产计划科
行政办公室技术科工 设艺 计组 组
供销科Βιβλιοθήκη 财务科厂长 行政科
车间铸 锻造 压车 车间 间
生产办公室
二车间 三车间 四车间
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树的概念和性质
树的定义
定义 无圈的连通图，称为树，记作 T=(V，ET)。
树的性质
v1
v3 7 v5
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矩阵法举例
例 8.2 下面是一个求最小树的问题。用矩阵法求解
V3
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V8
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最短路问题
最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两 点之间距离最短的一条路
最短路问题在实际中具有广泛的应用，如管道铺设、线路选择 等问题，还有些如设备更新、投资等问题也可以归结为求最短 路问题
离散数学第8章 图论及其应用
重要课题。
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第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
38
第八章 图论及其应用 例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。 满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应， 它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
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第八章 图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
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第八章 图论及其应用 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足： （1）有相同结点数目； （2）有相同边数； （3）度数相同的结点数目相同； （4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单 有效的方法来 判定图的同构， 至今仍是图论 中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫 边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
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第八章 图论及其应用
例 设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
2017/7/13
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图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
2017/7/13
24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
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有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
图论详细讲解
e1
e2
V1
e3
e4
V4 e5
e8 e6
V5
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V3 本书由天疯上传于世界工厂网-下载中心
2.树和最小支撑树
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。在剩下的图中，再取一个圈 （v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4 。再从圈 （v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个 支撑树，如图8.12所示。
v3
15
1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
19
1.图的基本概念与基本定理
定理8.1 所有顶点次数之和 等于所有边数的2倍。
定理8.2 在任一图中，奇 点的个数必为偶数。
1.图的基本概念与基本定理
图的连通性：
链： 由两两相邻的点及其相关联的 边构成的点边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ; v0 ，vn分别为链的起点和终点； 简单链：链中所含的边均不相同； 初等链：链中所含的点均不相同,也 称通路；
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9
1.图的基本概念与基本定理
北京 太原 石家庄
天津 塘沽 济南 青岛郑州 Nhomakorabea徐州 连云港
南京 上海
10
重庆
武汉
e2
V1
e3
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2.树和最小支撑树
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去 掉边e3 。在剩下的图中，再取一个圈 （v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4 。再从圈 （v3,v4 v5,v3）中去掉边e6 。再从圈 (v1,v2,v5,v4,v3,v1 ）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个 支撑树，如图8.12所示。
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1.图的基本概念与基本定理
图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
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1.图的基本概念与基本定理
定理8.1 所有顶点次数之和 等于所有边数的2倍。
定理8.2 在任一图中，奇 点的个数必为偶数。
1.图的基本概念与基本定理
图的连通性：
链： 由两两相邻的点及其相关联的 边构成的点边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ; v0 ，vn分别为链的起点和终点； 简单链：链中所含的边均不相同； 初等链：链中所含的点均不相同,也 称通路；
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1.图的基本概念与基本定理
北京 太原 石家庄
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重庆
武汉
离散数学 第八章 图论
C
A
B
D 图2
此图实际上是反 映了客观事物 之间的相互关系
10
离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到 了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河 的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中 的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、 羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将 这三样东西安全地带过河去？ 方法一：不对称状态空间法 将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意 几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的 状态共有十六种，其中 安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
7
离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成 功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧 拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将 四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在 两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼 斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点 的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。 欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中 的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每 个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边 进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
v3
1 2
v1
1 1 1
v4 v2
2 1
图论的基本概念性术语和一些特殊图： 图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称 为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无 向边。 22
A
B
D 图2
此图实际上是反 映了客观事物 之间的相互关系
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离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到 了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河 的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中 的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、 羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将 这三样东西安全地带过河去？ 方法一：不对称状态空间法 将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意 几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的 状态共有十六种，其中 安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
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离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成 功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧 拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将 四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在 两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼 斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点 的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。 欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中 的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每 个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边 进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
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图论的基本概念性术语和一些特殊图： 图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称 为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无 向边。 22
图论基本概念(new)
八. 完全图 定义:G是个简单图, 如果每对不同结点之间都有边相连 则称G是个无向完全图. 如果G有n个结点, 则记作Kn. o o K2 o K3 o o o o K4 o o o o o o K5 o
定理4 完全图Kn, 有边数 1 n (n 1) 2 证明: 因为Kn中每个结点都与其余n-1个结点关联, 即每 个结点的度均为n-1, 所以Kn的所有结点度数总和为 n(n-1), 设边数为|E|, 于是n(n-1)=2|E| 1 所以|E|= 2 n ( n 1)
二. 无向图结点v的度(degree): 1.定义:G是个无向图, v∈V(G), 结点v所关联边 数,称之为结点v的度. 记作 d(v).
ob ao 奇点：度为奇数的点。 偶点：度为偶数的点。 od co 2.无向图的结点度序列: 令G=<V,E>是无向图, V={v1,v2,v3,…,vn}, 则称: (d(v1), d(v2),d(v3), …,d(vn)) 为图G的结点度序 列.
4
(1)
(2)
(3)
(4)
练习:请画出K4的所有不同构的生成子图.
v1
o
e5
e2
e3 e6
o v2
o v3
如果图是个简单图, 则路可以只用结点序列表示. ao od 如右图中, 路:abcad
bo oc
2. 回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则 称此路是一个回路. o v0
e1 e4 e6 v1
例 设G是一个图，若δ≥2，则G含有圈。
证明：因为δ≥2，所以从任意一点u出发到另一 点v恒可以向前延伸，又由于G是有限图，所以延 伸到某一点后，再往下延伸时，必然要和已走过 的顶点重合，即G有圈。 例：设G是简单图，若G中每个点的度至少为3， 则G中必含带弦的圈（初级回路）． 例：在简单图中，证明：若n≥4且m≥2n-3,则G 中必含带弦的圈．
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
离散数学第8章图论剖析
例1 设 V ={v1，v2，v3，v4，v5},
E = {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v2,v4}, {v3, v4},{v3, v5}, {v4 , v5}
则 G=（V，E）是一个图。
2. 图的表示方法
(1) 图解表示法
例2 下图(a).(b)分别给出了例1中图G的图解表示。
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条
更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加法 运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算（参看第 2章2.4节，P34）
1．由A，计算 A(2) , A(3), …, A(n) ; 2．计算 C=A+A(2)+…+ A(n) ; C便是所要求的连接矩阵。
例4 根据例1图的邻接矩阵A，用布尔运算的方法，求 其连接矩阵。
则称H是G的分图。
注: （2）的言外之意是：H是G的最大连通子图。
例
解 （b）显然不是G的分图，因为（b）不连通；
（c）也不是G的分图； （d）是G的分图； （e）是G的分图。
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所 有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分 图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。 例10 下图中v4 ，v6均是割点；
1 0
离散数学第八章一些特殊的图知识点总结
图论部分 第八章、一些特殊的图 8.1 二部图 二部图：定义 设无向图 G=<V,E>, 若能将 V 划分成 V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得 G 中的每条边的两个端 点都一个属于 V1, 另一个属于 V2, 则称 G 为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称 V1 和 V2 为互补顶点子集. 完全二部图：又若 G 是简单图, 且 V1 中每个顶点都与 V2 中每个顶点相邻, 则称 G 为完全二部图, 记为 Kr,s, 其中 r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.
得证 m=k+1 时结论也成立. 证毕.
欧拉公式的推广
设 G 是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则
nm+r=p+1
证 设第 i 个连通分支有 ni 个顶点, mi 条边和 ri 个面.
对各连通分支用欧拉公式,
ni mi + ri = 2, 求和并注意 r = r1+…+rp+ p1, 即得
极大平面图: 定义 若 G 是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称 G 为极大平面图. 性质
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4 都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于 3 的极大平面图中不可能有割点和桥.
8.2 欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路.
欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
得证 m=k+1 时结论也成立. 证毕.
欧拉公式的推广
设 G 是有 p (p2) 个连通分支的平面图, 则
nm+r=p+1
证 设第 i 个连通分支有 ni 个顶点, mi 条边和 ri 个面.
对各连通分支用欧拉公式,
ni mi + ri = 2, 求和并注意 r = r1+…+rp+ p1, 即得
极大平面图: 定义 若 G 是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称 G 为极大平面图. 性质
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4 都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于 3 的极大平面图中不可能有割点和桥.
8.2 欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路.
欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
概率论-第十九讲--图的基本概念
8
简单图：无自回路的线图。
一、图的基本概念
多重图
多重图
线图
简单图
9
一、图的基本概念
定义2： 赋权图G一个三重组<V,E,g>或四重组<V,E,f,g>， V：一个非空的结点集合， E：边的集合， f：定义在V上的函数， g：定义在E上的函数。 3 e1 4 b 6 8 7 e2 5 c a 如左图所示： V={a,b,c}, e3 E={e1,e2,e3}, f(a)=3, f(b)=4, f(c)=5, g(e1)=6, g(e2)=7, g(e3)=8。
15
三、图的同构
例2: (a)
存在同构f: f(a)=1 或f(a)=1 f(d)=2 f(d)=6 f(b)=5 f(b)=5 f( f)=6 f(f )=4 f(c)=3 f(c)=3 f(e)=4 f(e)=2
(b)
不同构
两图同构的必要条件(不是充分条件) * 结点数相同； * 边数相同； * 度数相同的结点数相等。
1
图论的起源——Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
图 1 如果用结点代表陆地,用边代表桥,哥尼斯堡七桥问题 就等价在于图1(b)中找到这样一条路径,它经过每条边一次 且仅一次。
2
图论的应用 计算机科学与技术 运筹学 物理学 信息论 网络理论
3
8.1
一、图的基本概念
图的基本概念
定义1：一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉, V(G)：一个非空的结点(或叫顶点)集合; E(G)：边的集合;
ΦG ：从边集E到结点偶对集合上的函数。
4
一、图的基本概念
例1：图G为
则该图可表示为 G=〈V(G),E(G),ΦG〉： V(G)={a,b,c,d}； E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7}； ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d),ΦG(e4)=(b,c), ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)。 简记 G=<V,E>=<{a,b,c,d},{(a,b),(a,c),(b,d),(b,c),(d,c),(a,d),(b,b)}> 5
简单图：无自回路的线图。
一、图的基本概念
多重图
多重图
线图
简单图
9
一、图的基本概念
定义2： 赋权图G一个三重组<V,E,g>或四重组<V,E,f,g>， V：一个非空的结点集合， E：边的集合， f：定义在V上的函数， g：定义在E上的函数。 3 e1 4 b 6 8 7 e2 5 c a 如左图所示： V={a,b,c}, e3 E={e1,e2,e3}, f(a)=3, f(b)=4, f(c)=5, g(e1)=6, g(e2)=7, g(e3)=8。
15
三、图的同构
例2: (a)
存在同构f: f(a)=1 或f(a)=1 f(d)=2 f(d)=6 f(b)=5 f(b)=5 f( f)=6 f(f )=4 f(c)=3 f(c)=3 f(e)=4 f(e)=2
(b)
不同构
两图同构的必要条件(不是充分条件) * 结点数相同； * 边数相同； * 度数相同的结点数相等。
1
图论的起源——Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
图 1 如果用结点代表陆地,用边代表桥,哥尼斯堡七桥问题 就等价在于图1(b)中找到这样一条路径,它经过每条边一次 且仅一次。
2
图论的应用 计算机科学与技术 运筹学 物理学 信息论 网络理论
3
8.1
一、图的基本概念
图的基本概念
定义1：一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉, V(G)：一个非空的结点(或叫顶点)集合; E(G)：边的集合;
ΦG ：从边集E到结点偶对集合上的函数。
4
一、图的基本概念
例1：图G为
则该图可表示为 G=〈V(G),E(G),ΦG〉： V(G)={a,b,c,d}； E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7}； ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d),ΦG(e4)=(b,c), ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)。 简记 G=<V,E>=<{a,b,c,d},{(a,b),(a,c),(b,d),(b,c),(d,c),(a,d),(b,b)}> 5
第八章图论原理
第八章图论原理
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学.
• 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象.
• 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用.
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边
• 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi
• 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图
• 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图
• 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图
• 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2；
• 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路.
• 定义8.6
一个有向图, 如果忽略其边的方向后得到的无向 图是连通的, 则称此有向图为连通图; 否则, 称为 非连通图.
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学.
• 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象.
• 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用.
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边
• 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi
• 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图
• 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图
• 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图
• 解： 其资源分配图：
8.2.1 通路与回路
• 例8.4 用有向图刻画过程间的调用关系，来判断某过 程是否是递归的. 一个过程集合P={P1,P2,P3,P4,P5} 调用关系： P1调用P2； P2调用P4； P3调用P1； P4调用P5； P5调用P2；
• 某过程是递归的充分必要条件是包括此过程在内的结 点构成一个回路.
• 定义8.6
一个有向图, 如果忽略其边的方向后得到的无向 图是连通的, 则称此有向图为连通图; 否则, 称为 非连通图.
图论原理
点中的每一个均与其余n-1个结点邻接。
p1
kn
p2
完全图中m=？
p4
p3
m n(n 1) / 2
图的基本概念
6、补图：设有一图 G V , E ，对图 G' V , E ' ，如果 有 G V , E ' E 是完全图且 E E 。
'
p1
p2
p3 p5
第八章 图论原理
图论
欧拉
C
C
A
B
A
B
D
D
?
欧拉图
§8.1 图的基本概念
图的基本概念
欧拉
C
(B,C)
图G是由非空结点集合
V {v1 , v2 ,, vn }
A
B
以及边集合
E {l1, l2 ,, lm}
D
G=<V,E>
li (vi1 , vi 2 )
图的基本概念
例 1 有 4 个城市 v1 , v2 , v3 , v4 ，其中 v1 与 v2 间； v1 与 v4 间；
连通性 1 1
6
2
5
2
4 3
5
3
(a)
4
(b)
一个无向图G，如果它的任何两结点间均是可达
的，则称图G为连通图；否则，称为非连通图。
连通性
一个有向连通图G，
弱连通：如果忽略边的方向后其无向图是连通的
单向连通：如果其任何两点间至少存在一向是可达的
强连通：如果其任何两点间均是互相可达的
a
a
a
b
(a)
c
deg(E)=4
§8.4
p1
kn
p2
完全图中m=？
p4
p3
m n(n 1) / 2
图的基本概念
6、补图：设有一图 G V , E ，对图 G' V , E ' ，如果 有 G V , E ' E 是完全图且 E E 。
'
p1
p2
p3 p5
第八章 图论原理
图论
欧拉
C
C
A
B
A
B
D
D
?
欧拉图
§8.1 图的基本概念
图的基本概念
欧拉
C
(B,C)
图G是由非空结点集合
V {v1 , v2 ,, vn }
A
B
以及边集合
E {l1, l2 ,, lm}
D
G=<V,E>
li (vi1 , vi 2 )
图的基本概念
例 1 有 4 个城市 v1 , v2 , v3 , v4 ，其中 v1 与 v2 间； v1 与 v4 间；
连通性 1 1
6
2
5
2
4 3
5
3
(a)
4
(b)
一个无向图G，如果它的任何两结点间均是可达
的，则称图G为连通图；否则，称为非连通图。
连通性
一个有向连通图G，
弱连通：如果忽略边的方向后其无向图是连通的
单向连通：如果其任何两点间至少存在一向是可达的
强连通：如果其任何两点间均是互相可达的
a
a
a
b
(a)
c
deg(E)=4
§8.4
第八章 图论(第1-3节)
集合。
由点和弧所构成的图，称为有向图，记为 D = ( V, A )
，式中 V 是有向图的点集合G ； A 是有向图 G 的弧集
合。
第10页
无向图
有向图
第11页
5. 无向图中顶点数、边数的表示方式
顶点数：p(G)，简记为p。
边 数：q(G)，简记为q。
6. 有向图中顶点数、弧数的表示方式
顶点数：p(D)，简记为p。
边 数：q(D)，简记为q。
第12页
二、图的引申概念
1. 端点、始点、终点 无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称
顶点 u 和 v 是边 e 的端点，也称顶点 u 和 v 是
相邻的。 u e v
第13页
有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a = ( u, v )∈ A，称
第42页
3. 简单链和简单路
若链
v
i1
, e i , v i , e i ,..., v i
1 2 2
k 1
, ei
k 1
,vi
k
中，边
e i , e i ,..., e i
1 2
k 1
均不相同，则称之为简单链。
注：简单链中边无相同的，但可有相同的点。
第43页
若路
v
i1
, a i , v i , a i ,..., v i
第49页
v1
a4
v5
a5
a6 a1 a3
v4
v2
a2 v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是一个回路。
第50页
5. 初等圈和初等回路
若圈 v i1 , e i1 , v i 2 , e i 2 ,..., v i k 1 , e i k 1 , v i1
第八章 图论8.1
A
B C
G
F
E
A
H
D
B
D
C
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回到“七桥问题”
3 5 3
奇点的个数为4个，所以不能一笔画出。
3
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知道了一笔画的规律后，亲自体验一下，来看看下面图 形能否一笔画出
4个奇点
0个奇点
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例1 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这 些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公 路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城 市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间 修建高速公路，使得总成本最小？ 例2 中国邮递员问题（CPP－Chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设 计一条最短的投递路线（从邮局出发，经过投递区内每条街道 至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是我国管梅谷教授 1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
V
+ d ( ) d ( ) E
V
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§ 8.1 图的基本概念
4. 多重图、简单图和完全图
定义8.1.8（1）设u和v是无向图G＝(V, E)的 两个顶点。如果G中有两条或两条以上的边 分别以u和v为端点, 则称这些边是平行边。 （2）设u和v是有向图D＝(V, E)的 两个顶点。如果D中有两条或两条以上的边 分别以u和v为端点, 且它们的起点相同，终 点也相同，则称这些边是有向平行边，简 称平行边。
离散数学第八章(第1讲)
（2）无向图，有向图
a
d
每一条边都是无向边的图称无向图。
b
c
每一条边都是有向边的图称有向图。 a
d
b
c
例：将右图用二元组表示为： Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉 其中Ｖ＝｛a，b，c，d｝ Ｅ＝｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝ 则：Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉= 〈 ｛a，b，c，d｝ ， ｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝ 〉
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ(G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边 数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每 个结点的度数为1。 故上述定理成立。
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的 次数之和，应该如何建立该问题的图论模
a
h
b
c
g
d h
b
c
g
d
a
h
f （a）
f e
e
（b）
f （c）
（13）生成子图：如果G的子图包含G的所有结点，则称 该子图为G的生成子图。
如下图，（b）、（c）都是（a）的生成子图。
v1
v4
v1
v4
v1
v4
v2
v3
（a）
v2
v3
v2
（b）
08图论模型剖析
0 1 0 1 v1 1 0 1 1 v2 0 1 0 1 v3 1 1 1 0 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若（ vi，v j） E 若（ vi，v j） E
基 本 概 念
定义 在无向图 G=(V ,E, )中：
c
x
x1 j 1 v j V s.t. x ji 1 ，i 1 v j V x 0或1 ij
8.2
最短通路问题
8.2.1 问题的背景与提出
在各种网络的铺设、网络的输送、线路的安排等 问题中，经常涉及到确定一条最短路．如在输送网络 中，考虑最小运输路线、最省运输费用、最少运输时 间等，这些都是最短通路问题．最短通路问题有非常 广泛的背景和应用，它也是图论或组合优化中的一个 重要问题．1959年，E.W.Dijkstra给出了该问题的一个 解法．
1956年Kruskal给出了一种求最优树的算法，称为避 圈法，算法如下： 1. 选择边 e1 ，使得w(e1 ) 尽可能小； 2. 若已选边 e1 , e2, ...,ei ，则从边集
E \ {e1 , e2, ...,ei } 中选取 ei 1 ，使
（1） G[{e1 , e2 ,...,ei 1}] 为无圈图；
节点间的连线，表示 有关联 一般用 eij 表示
节点和边的集合 一般用 G(V,E) 表示 点集 V={v1,v2,…, vn} 边集E={eij }
图 (Graph)
所有边都没有方向的图称为无向图，如上图 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) 当所有边都有方向时，称为有向图，用G(V,A) 表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标 识 图中既有边又有弧，称为混合图
离散数学第8章图论
§8-1-1 图
定义8-1.1 一个图G定义为一个三元组<V，E， φ>，记作G=<V，E，φ>。其中： V是一个非空有限集合，其中元素v称为图G 的顶点或结点； E是和V没有公共元素的有限集合，E可以是 空集，其元素e称为图G的边； φ称为关联函数，是从E到V中的有序对或无 序对的映射。
由定义可知，图G中的每条边都与图中的无序或
图8-1（b）表示有向图G=<V，E，φ>，其中： V = { v1，v2，v3，v4 } E= { e1，e2，e3，e4 }
e1 v1 , v2
：
e2 v1 , v3 e3 v1 , v3 e4 v3 , v3
在图 G=<V ， E> 中，如果任何两结点间不多 于一条边(对于有向图中，任何两结点间不 多于一条同向弧)，并且任何结点无环，则 图 G 称为简单图；若两结点间多于一条边 (对于有向图中，两结点间多于一条同向弧) 图 G 称为多重图，并把联结两结点之间的 多条边或弧，称为平行边或平行弧，平行 边或弧的条数称为重数。
哈密顿问题
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一 个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界 著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通 过每个顶点刚好 一次的闭回路，即「绕行世界」。 用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的 图中找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密 顿问题。由於运筹学、计算机科学和编码理论中 的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广 泛的注意和研究。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦 敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了 世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学 家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880 年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分 别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色 定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指 出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似 容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的 难题（当n>2时，xn+yn=zn，n为奇素数，X，Y，Z 没有正整数解。）
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8.1.1 图
• 著名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格 尔河上有七座桥将河中的岛及岛与河岸联结起来， 如下图所示，A、B、C，D表示陆地。
• 问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每 一座桥正好一次，再回到起点。
8.1.1 图
• 欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽象分析 法将这个问题化为第一个图论问题：即把每一块 陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的 两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个 「图」。欧拉证明了这个问题没有解，并且推广 了这个问题，给出了对於一个给定的图可以某种 方式走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论 〔及拓扑学〕的创始人。
• 解: 图中的结点集为:V={v1,v2,v3,v4} 边集为E={l1,l2,l3} l1={v1,v2}, l2={v1,v4}, l3={v2,v3}, -------无序结点对 这个图可以用G=<V,E>表示
8.1.2 图的基本概念
• 例8.2 有4个程序p1,p2,p3,p4, 它们间有一些调用 关系：p1调用p2；p2能调用p3；p1能调用p4, 试将 此事实用图的方式表示.
• (a)(b)同构，(c)(d)同构
8.1.4 图中结点的次数
• 定义8.3
• 在有向图中, 以结点v为起点的边的条数称为v的 引出次数, 记以deg(v); 以v为终点的边的条数叫v 的引入次数, 记以deg(v); v的引入次数与引出次 数之和称为v的次数或全次数, 记为deg(v).
• 在无向图中, 结点v的次数或全次数是与v相关联 的边的条数, 也用deg(v)表示.
• 在计算机科学中，图论在形式语言、数据 结构、分布式系统、操作系统及数据库研 究中均有很重要的应用.
• 本篇结构
– 第八章 介绍图论一般原理 – 第九章 介绍一些常用的图如平面图、两步图
以及树等
第八章 图论原理
• 本章主要介绍图论的基本原理，包括图论 中的基本概念、基本方法以及图论的矩阵 计算等内容.
• 一个图与其补图是互补的 • 一个图的补图的补图还是自己
8.1.3 图的同构
• 定义8.2
设有图G=<V,E>与G’=<V’,E’>, 如果它们的结点 间存在一一对应关系, 而且这种对应关系也反映 在表示边的结点对中(如果是有向边, 则对应的结 点对还保持相同的顺序), 则称此两图是同构的.
8.1.3 图的同构
• 如果有V’⊂V, E⊂E’, 则称G’是G的真子图. • 如果有V’=V, E⊆E’, 则称G’是G的生成子图.
8.1.2 图的基本概念
• (n,m)图: 一个具有n个结点、m条边所组成的图
• 零图: 由一些孤立点组成的图, 即(n,0)图
• 平凡图: 由一个孤立结点组成的图, 即(1,0)图
8.1.2 图的基本概念
• 有序结点对所对应的边称为有向边，无序结点对 所对应的边称为无向边
• 有向图：图中的所有边均为有向边 • 无向图：图中的所有边均为无向边
8.1.2 图的基本概念
• 有向边lk={vi,vj}中, vi称为lk的起点, vj称为lk的终点 • 不管lk是有向还是无向, 均称lk与vi和vj相关联, 而vi
和vj称为邻接的. • 若干条边关联于同一个结点, 则这些边称为邻接
的.
8.1.2 图的基本概念
• 一条边若与两个相同的结点相关联, 则称为环, 即 lk={vi,vi}
• 不与任何结点相邻的结点称为孤立点
8.1.2 图的基本概念
• 图G=<V,E>与G’=<V’,E’>间如果有V’⊆V, E⊆E’, 则称G’是G的子图.
• 解： 图中的结点集为:V={p1,p2,p3,p4} 边集为E={c1,c2,c3} c1={p1,p2}, c2={p2,p3}, c3={p1,p4}, -----有序结点对 这个图可以用G=<V,E>表示
8.1.2 图的基本概念
• 一般，用带有箭头的边表示有序结点对，而用不 带箭头的边表示无序结点对.
图论
图论
• 图论是用图的方法研究客观世界的一门科 学.
• 用“结点”表示事物, 用“边”表示事物 之间联系, 而由结点与边所构成的图表示 所研究的客观对象.
• 图论研究图的逻辑结构与性质，是研究图 的抽象性质的一种数学.
图论
• 图论在语言学、逻辑学、物理学、化学、 电气工程、计算机网络、计算机科学及数 学的其他分支中有广泛应用.
• 任一图的所有结点的次数之和必为偶数, 且必为 图中边数的两倍, 因为每条边必与两个结点相关 联.
8.1.4 图中结点的次数
• 题(8.1) 设V={u,v,w,x,y}, 画出图G=<V,E>：
1) E = {(u,v),(u,x),(v,w),(v,y)(x,y)}
2) E = {(u,v),(v,w),(w,x),(w,y)(x,y)}
8.1.2 图的基本概念
• 定义 8.1
图G是由非空结点集合V={v1,v2,…,vn}以及边集合 E={l1,l2,…,lm}所组成, 其中每条边可用一个节点 对表示, 亦即
li = (vi1,vi2), i = 1,2,…,m 这样一个图G可用G = <V,E>表示
8.1.2 图的基本概念
• 例8.1 有4个城市: v1,v2,v3,v4, 其中v1与v2间; v1与 v4间; v2与v3间有直达长话线路相连, 将此试试用 图的方式表示
• 完全图: 一个(n,m)图G如果其n个结点(n≥2)中的 每一个均与其中n-1个结点邻接, 可记为Kn. m=n(n-1)/2
8.1.2 图的基本概念
8.1.2 图的基本概念
• 补图： 设有一图G=(V,E), 对图G’=(V,E’), 如果有 G=(V,EE')是完全图且E∩E’= Ø 则称G’是G的补图.
8.1.1 图
• 起源：
• 历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立 过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736 年的论着中，他所考虑的原始问题有很强的实际 背景。
Leonhard Euler ， (1707—1783)，瑞士数学 家、力学家、天文学家、 物理学家，图论的创始人， 变分法的奠基人，复变函 数论的先驱者，理论流体 力学的创始人。