网络电路的简化
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根据对称性与叠加原理，假若有一电流I从A点经网络流向无穷远的边缘处，则流经与A点相连的四段电阻丝中的电流均为 ；同样，若有电流I从无穷远的边缘处经网络再从B点流出，且流经与B点相连的四段电阻丝中的电流均为 ；将两者叠加后，等效于有一电流从A点流入，从B点流出，而连接A、B的电阻丝中的电流为 ，所以
,
由图可知
，
．
又 ，故
．
方法2从电流分流角度分析电路．
（1）由于对称性，立方体在A点的三边AB、AD、AE以及在G点的三边CG、FG、HG有相等的电流．
从对称性同样可得在BC与BF、EF与EH、DH与EH中也有相等的电流．设电流I从A点流入，G点流出，立方体各边的电流如图所示．
根据欧姆定律，A、G两点间的电势差为
则 ．
即A、B间的电阻为 ．
6．
【解析】
【详解】
解析对于从A端流入、B端流出的电流流动方式，这一网络并不具有直观的对称性．但若是根据电流的可叠加性，将电流I从A点流入、B点流出的方式，处理为电流I从A点流入、O点（网络中心）流出的方式与电流I从O点流入、B点流出的方式的叠加，那么后两种方式均具有对称性，于是便将原不对称的问题转化成对称性的问题．
网络电路的简化
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．22个相同的电阻R按如图甲所示方式连接，试求A、B两点间的等效电阻 ．
2．电阻丝无限网络如图甲所示，每一段电阻丝的电阻均为r，试求A、B两点间的等效电阻 ．
3．由7个阻值均为r的电阻组成的网络元如图甲所示，由这种网络元彼此连接形成的单向无限网络如图乙所示，试求图乙中P、Q两点之间的等效电阻 ．
图中各电阻的阻值均为r，所以A、G间的总电阻为
（2）设想电流从A流入、D流出，由于对称性，可知B和E等势，C和H等势．若用导线将B和E及C和H连接，对电路不会产生任何影响，这时的等效电路如图所示．
由此可见
，
故 ，又
，
故 ．
（3）若BF、CG、DH被短路，则B与F、C与G、D与H等电势．由于B点与D点具有轴对称，故B、D也等势（即B、F、D、H四点等势），则A与G之间的等效电路，如图所示．
为了解这个复杂电路，再将图丙等效成图丁所示电路，其中
对图丁，利用电流的分布，列出电压方程
，
，
解得 ，
所以
．
由 得 ．
解得
4．
【解析】
【详解】
解析先从对称性考虑，原来大三角形内的小三角形与AB中点的连接点可以断开，并不影响电路中各电阻中的电流，亦即不影响电路的电阻，则原来的电路可以用等效电路（如图乙所示）来代替．
这样 ，解得
和 （不合理，舍去）．
所以 ．
3．
【详解】
解析这种线型无限网络，一般总是要利用“无限重复”这一特征，即多一个或少一个网络元对网络是无影响的．
将单边无限网络画成图丙所示的等效电路，R表示从第二个网络单元开始后面的网络的等效电阻．如果这是一个简单电路，只要用
．
解出 就可以了，但麻烦的是，这是一个复杂的电路．
从电路图的结构看上去，内嵌的“内”三角形也是由无数层“格子”所构成的，这构成了自相似图形：“内”三角形与最“外”的三角形相比，“内”三角形每一层的边长是“外”三角形对应的边长的 ，因此有
而 ，简化后电路是由导体串联和并联组成的．
我们得到所求量 的方程
．
因 ，解上述方程，得到
．
5．
【详解】
解析这个问题看上去似乎很难求解，它涉及无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解．然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单．
．
因从A端流入（或G端流出）的电流强度为I，故等效电阻
2．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【详解】
解析设想有电流从A流入，B流出，由对称性可知，网络中背面那根无限长电阻丝中各点等势，故可删去这根电阻丝，这样可把立体网络等效为如图乙所示的平面网络．
又因网络相对A、B连线具有左右对称性，故可进行折叠，折叠后此网络可视为A、B端之间 的电阻与图丙所示的半无穷网络CD间的电阻的并联．因为是无穷网络，故有
6．电阻丝网络如图所示，每五小段电阻丝的电阻均为R，试B求A、B间的等效电阻 ．
7．如图所示为一个立方体ABCDEFGH，每边都用导体接入一个电阻值为r的电阻．试计算下列情况下各总电阻．
（1）A、G点间的等效电阻 ．
（2）A、D点间的等效电阻 ．
（3）如果B与F、C与G和D与H之间被短路时，A、G两点间的等效电阻 ．
4．如图甲所示为一金属框架，此框架是用同种均匀的细金属丝制作的，其单位长度的电阻为 ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．试求框架上A、B两点间电阻 ．
5．一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络中选取相邻的两个节点A、B，则这两节点之间的等效电阻是多少？
8．如图甲所示为以A、B为两端点的二端电容网络，求此电容网络A、B两端之间的等效电容 ．
参考答案
1．
【解析】
【详解】
解析由于各电阻阻值相等，且电路连接有一定对称性，可设想另有如图乙所示的电路，显然图中的1、2、3、4各点等电势，5、6、7、8各点等电势，同样9、10、11、12各点等电势．若用导线分别将2与3、9与10、11与12及6与7连接起来，对原电路不会产生任何影响，而所得图形与题图甲完全相同，所以从图乙求出的电阻就是题图甲的等效电阻．由此易得 ．
电流I从A点流入、O点流出的电流分布如图1所示．从A点流入的电流对称地分流，即得 ．
因对称性，BDE部分无电流．由电阻并联倍数关系，易得 ．
电流I从O点流入、B点流出的电流分布如图2所示．利用对称性，不难算得（过程从略）
， ．
图1和图2所示的两种对称性电流分布，叠加成如图3所示原网络的电流分布，则有
， ．
A、B间电压 ，
即得所求 ．
7．（1） （2） （3）
【详解】
解析1这类网络固然复杂，但是只要利用其对称性，求解并不困难．
从等电势角度分析简化电路．
（1）由于对称性，设端点A流入电流I，分流后最后在G点汇合流出，B、D、E三点为等势点，故可用导线连接而不会改变线路的电流．对C、H、F三点来说，情况也是这样，故可得等效电路如图所示．
,
由图可知
，
．
又 ，故
．
方法2从电流分流角度分析电路．
（1）由于对称性，立方体在A点的三边AB、AD、AE以及在G点的三边CG、FG、HG有相等的电流．
从对称性同样可得在BC与BF、EF与EH、DH与EH中也有相等的电流．设电流I从A点流入，G点流出，立方体各边的电流如图所示．
根据欧姆定律，A、G两点间的电势差为
则 ．
即A、B间的电阻为 ．
6．
【解析】
【详解】
解析对于从A端流入、B端流出的电流流动方式，这一网络并不具有直观的对称性．但若是根据电流的可叠加性，将电流I从A点流入、B点流出的方式，处理为电流I从A点流入、O点（网络中心）流出的方式与电流I从O点流入、B点流出的方式的叠加，那么后两种方式均具有对称性，于是便将原不对称的问题转化成对称性的问题．
网络电路的简化
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．22个相同的电阻R按如图甲所示方式连接，试求A、B两点间的等效电阻 ．
2．电阻丝无限网络如图甲所示，每一段电阻丝的电阻均为r，试求A、B两点间的等效电阻 ．
3．由7个阻值均为r的电阻组成的网络元如图甲所示，由这种网络元彼此连接形成的单向无限网络如图乙所示，试求图乙中P、Q两点之间的等效电阻 ．
图中各电阻的阻值均为r，所以A、G间的总电阻为
（2）设想电流从A流入、D流出，由于对称性，可知B和E等势，C和H等势．若用导线将B和E及C和H连接，对电路不会产生任何影响，这时的等效电路如图所示．
由此可见
，
故 ，又
，
故 ．
（3）若BF、CG、DH被短路，则B与F、C与G、D与H等电势．由于B点与D点具有轴对称，故B、D也等势（即B、F、D、H四点等势），则A与G之间的等效电路，如图所示．
为了解这个复杂电路，再将图丙等效成图丁所示电路，其中
对图丁，利用电流的分布，列出电压方程
，
，
解得 ，
所以
．
由 得 ．
解得
4．
【解析】
【详解】
解析先从对称性考虑，原来大三角形内的小三角形与AB中点的连接点可以断开，并不影响电路中各电阻中的电流，亦即不影响电路的电阻，则原来的电路可以用等效电路（如图乙所示）来代替．
这样 ，解得
和 （不合理，舍去）．
所以 ．
3．
【详解】
解析这种线型无限网络，一般总是要利用“无限重复”这一特征，即多一个或少一个网络元对网络是无影响的．
将单边无限网络画成图丙所示的等效电路，R表示从第二个网络单元开始后面的网络的等效电阻．如果这是一个简单电路，只要用
．
解出 就可以了，但麻烦的是，这是一个复杂的电路．
从电路图的结构看上去，内嵌的“内”三角形也是由无数层“格子”所构成的，这构成了自相似图形：“内”三角形与最“外”的三角形相比，“内”三角形每一层的边长是“外”三角形对应的边长的 ，因此有
而 ，简化后电路是由导体串联和并联组成的．
我们得到所求量 的方程
．
因 ，解上述方程，得到
．
5．
【详解】
解析这个问题看上去似乎很难求解，它涉及无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解．然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单．
．
因从A端流入（或G端流出）的电流强度为I，故等效电阻
2．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【详解】
解析设想有电流从A流入，B流出，由对称性可知，网络中背面那根无限长电阻丝中各点等势，故可删去这根电阻丝，这样可把立体网络等效为如图乙所示的平面网络．
又因网络相对A、B连线具有左右对称性，故可进行折叠，折叠后此网络可视为A、B端之间 的电阻与图丙所示的半无穷网络CD间的电阻的并联．因为是无穷网络，故有
6．电阻丝网络如图所示，每五小段电阻丝的电阻均为R，试B求A、B间的等效电阻 ．
7．如图所示为一个立方体ABCDEFGH，每边都用导体接入一个电阻值为r的电阻．试计算下列情况下各总电阻．
（1）A、G点间的等效电阻 ．
（2）A、D点间的等效电阻 ．
（3）如果B与F、C与G和D与H之间被短路时，A、G两点间的等效电阻 ．
4．如图甲所示为一金属框架，此框架是用同种均匀的细金属丝制作的，其单位长度的电阻为 ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．试求框架上A、B两点间电阻 ．
5．一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络中选取相邻的两个节点A、B，则这两节点之间的等效电阻是多少？
8．如图甲所示为以A、B为两端点的二端电容网络，求此电容网络A、B两端之间的等效电容 ．
参考答案
1．
【解析】
【详解】
解析由于各电阻阻值相等，且电路连接有一定对称性，可设想另有如图乙所示的电路，显然图中的1、2、3、4各点等电势，5、6、7、8各点等电势，同样9、10、11、12各点等电势．若用导线分别将2与3、9与10、11与12及6与7连接起来，对原电路不会产生任何影响，而所得图形与题图甲完全相同，所以从图乙求出的电阻就是题图甲的等效电阻．由此易得 ．
电流I从A点流入、O点流出的电流分布如图1所示．从A点流入的电流对称地分流，即得 ．
因对称性，BDE部分无电流．由电阻并联倍数关系，易得 ．
电流I从O点流入、B点流出的电流分布如图2所示．利用对称性，不难算得（过程从略）
， ．
图1和图2所示的两种对称性电流分布，叠加成如图3所示原网络的电流分布，则有
， ．
A、B间电压 ，
即得所求 ．
7．（1） （2） （3）
【详解】
解析1这类网络固然复杂，但是只要利用其对称性，求解并不困难．
从等电势角度分析简化电路．
（1）由于对称性，设端点A流入电流I，分流后最后在G点汇合流出，B、D、E三点为等势点，故可用导线连接而不会改变线路的电流．对C、H、F三点来说，情况也是这样，故可得等效电路如图所示．