微分几何 §2 曲面的第一基本形式

间的角
θ
。由于
dr iδ r = dr δ r cos θ ,
所以
dr iδ r cosθ = . dr δ r
2 2
由于 dr=rudu + rv dv, dr
= Edu + 2Fdudv + Gdv ,
2 2 2 2
δ r=ruδ u + rvδ v, dr = Eδ u + 2Fδ uδ v + Gδ v , driδ r = (rudu + rvdv)i(ruδ u + rvδ v) = Eduδ u + F(duδ v + δ udv) + Gdvδ v,
§2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
曲面的第一基本形式
曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 曲面上两方向的交角 正交曲线族和正交轨线 曲面域的面积 等距交换 保角变换
2.1 曲面的第一基本形式
曲面上曲线的弧长
r=r(u,v) 给出曲面S ： u=u(t),v=v(t) 上的曲线C ： 或 r=r[u(t),v(t)]. du dv 对于曲线C 有 dr = ru + rv dt dt dt 或者 dr=r du + r dv
则有
ds = Edu + 2 Fdudv + Gdv .
2 2 2
设曲线 （C） 上两点 A(t0 ),B(t1 )
s=∫
t1 t0
，则弧长为
t1 ds du 2 du dv dv 2 + G ( ) dt. dt = ∫ E ( ) + 2 F t0 dt dt dt dt dt
（*）是关于微分 du,dv 的一个二次形式，称 为曲面 S 的第一基本形式，用 Ι 表示：
由第一类基本量定义知
E = ru ⋅ ru > 0, G = rv ⋅ rv > 0,
u v u v u v
又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别 2 2 式 EG-F 2 =r2r2 -(r ir ) =(r × r ) > 0. 因此第一基本量
E, F , G
2
满足不等式
E>0, G > 0, EG − F > 0,
I = Edu + 2 Fdudv + Gdv .
2 2
它的系数
E = ru ⋅ ru , F = ru ⋅ rv , G = rv ⋅ rv , 称为曲面 S 的第一类基本量。
对于曲面的特殊参数表示 z = z ( x, y )
，有
r = {x, y, z ( x, y )},
则
∂z rx = {1, 0, p}, p = , ∂x
， ， ，
rθ = {−ϕ t） θ，ϕ t）cosθ，0} （ sin （ ∴ F = rθ irt = 0
2.3正交曲线族和正交轨线 2.3正交曲线族和正交轨线
给出两族曲线
Adu + Bdv = 0, Cδ u + Dδ v = 0,
dv δ v dv δ v E + F( + )+G = 0, du δ u du δ u
u v
若以s表示曲面上曲线的弧长, 若以s表示曲面上曲线的弧长,考虑C的弧长有 弧长有
ds=|r | dt
，
则有
ds =dr =(ru du + rv dv)
2 2 2 u 2
2 2 v 2
= r du + 2ru rv dudv + r dv .
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E = ru ⋅ ru , F = ru ⋅ rv , G = rv ⋅ rv ,
表示曲面上的一方向。
给出曲面上两个方向 ( du : dv ) 和 (δ u : δ v ) ，我们 把向量 dr=r du + r dv 和 δ r=r δ u + r δ v
u v u v
间的交角称为方向 (du : dv) 和 （δ u : δ v） 间的角。
求方向 (d ) 和 (δ )
ω
cos ω =
ru rv
i
=
EG
。
注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0 曲面的坐标网正交的充要条件是F=0
例3 证明旋转面
r = {ϕ (t ) cos θ , ϕ (t ) sin θ ,ψ (t )}
的坐标网是正交的。 解：
rt = {ϕ t）cos θ，ϕ t）sin θ，ϕ t） （ （ （ }
如果他们正交，可以得出
即
A C AC E − F( + )+G = 0, B D B D
或 EBD − F ( AD + BC ) + G AC = 0.
另外如果给出一族曲线
A du + B dv = 0,
则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线。 可以其看出正交轨线的微分方程是
即
A δv A δv ) + G (− ) = 0, E + F (− + B δu B δu
由（2.19）有
∂z ry = {0,1, q}, q = . ∂y
E = rx ⋅ rx = 1 + p 2 , F = rx ⋅ ry = pq, G = ry ⋅ ry = 1 + q 2 ,
曲面的第一基本形式为
Ι= （1+p ）dx + 2 pqdxdy + (1 + q )dy .
2 2 2 2
2 v v
2
I = du + ( u + a )dv
2 2 2
2
2.2曲面上两方向的交角 2.2曲面上两方向的交角
前面提过曲面 r = r (u , v ) 上一点 (u0 , v0 ) 称为曲面上的方向，表示为 的切方向
dr=ru 0 ,v0）du + rv 0 ,v0）dv （u （u 给出一方向 dr 就等于给出一对值 du : dv ，由于 方向和 dr 的长度无关，所以给出 du : dv 就能确 定曲面上的一方向。以后用 (d ), dr 或 du : dv
第一基本形式是正定的。也可有 Ι
= ds
2
直接得出。
注：曲面的第一基本形式 是不变量（参数变换下 曲面的第一基本形式 不变）
例1
求球面
r = {R cos θ cos ϕ , R cos θ sin ϕ , R sin θ }
的第一基本形式。 解：
rϕ = {− R cos θ sin ϕ，R cos θ cos ϕ， 0} rθ = {− R sin θ cos ϕ， R sin θ sin ϕ，R cos θ } − E = rϕ irϕ = R 2 cos 2 θ，F = rϕ i rθ = 0，G = rθ i rθ = R 2 I = R 2 cos 2 θ dϕ 2 + R 2 dθ 2
由此得 cos θ 的表达式
cosθ =
Eduδu + F(duδv + dvδu) +Gdvδv Edu + 2Fdudv +Gdv Eδu + 2Fδuδv +Gδv
2 2 2 2
.
由上式推出曲面上两个方向 (du : dv) 和 (δ u : δ v) 垂直的 充要条件是 Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u ) + Gdvδ v = 0 特别地有坐标曲线 u −曲线 和 v −曲线 的交角 坐标曲线 有表达式 ru rv E
例2
求正螺面的第一基本形式。
解： S : r = {u cos v , u sin v , av } r = {cos v , sin v ,0}, r = {− u sin v , u cos u, a} E = r ⋅ r = 1, F = r ⋅ r = 0, G
u
v
u u
u v
= r r = u +a
δv BE − AF = − . δu BF − AG