拉普拉斯定理--行列式乘法
§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
行列式的乘法公式
行列式的乘法公式行列式是线性代数中一个非常重要的概念，是矩阵运算中的一种特殊形式。
它在求解线性方程组、解析几何等领域中都有广泛的应用。
行列式的乘法公式是行列式运算中的一个基础公式。
行列式的乘法公式是指两个矩阵的行列式相乘等于它们的乘积的行列式。
具体来说，如果有两个n阶的矩阵A和B，那么它们的乘积C=AB也是一个n阶的矩阵，它们的行列式的乘积为：det(AB) = det(A) × det(B)这个公式虽然看似简单，却蕴含着很深的数学原理。
下面我们将对这个公式的背后的数学原理进行一些探究。
首先，我们需要知道，对于任意一个n阶矩阵A，它的行列式的定义是：det(A) = Σ(-1)^(i+j)aijMij其中，aij表示A矩阵中第i行第j列的元素，Mij表示A矩阵中除去第i行第j列的元素之后得到的(n-1)阶矩阵的行列式。
基于这个定义，我们可以把行列式的乘法公式转换成如下形式：det(A) × det(B) = Σ(-1)^(i+j)aijMij × Σ(-1)^(k+l)blkMkl我们把这个式子展开，可以得到：det(A) × det(B) = ΣΣ(-1)^(i+j+k+l)aijblkMijMkl这个式子的含义是，对于A、B矩阵的任意一个元素，算出它的值并乘以一个系数(-1)^(i+j+k+l)，然后把所有这些值加起来，就可以得到det(AB)的值。
这个系数(-1)^(i+j+k+l)的含义是，它保证了每个元素的符号都正确，并且保证了式子的所有项的符号都正确。
为什么行列式乘法公式成立呢？其实，这个公式的正确性可以从两个角度进行证明。
一个角度是几何意义，另一个角度是代数意义。
从几何角度来看，我们假设A、B矩阵都是n维空间中的线性变换，即它们将一个向量映射到另一个向量。
那么AB的作用就是将向量先由A映射到一个中间向量，然后再由B映射到最终向量。
此时我们可以想象，det(A)的作用是将单位体积的向量映射到另一个向量，det(B)的作用是将其映射到一个更小的单位体积的向量。
拉普拉斯定理
例1 计算5阶行列式
1 2 0 0 1 0 1 2 3 0 D 1 3 0 0 0 0 2 2 1 0 0 3 4 1 3
解: 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行 中不为零的二阶子式分别是
1 1 1 1 2 1 N1 1, N2 1, N3 3 2 3 1 0 3 0
它们各自对应的代数余子式是
2 3 0
1 2 3
A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3 3 4 1
所以 D=12－6=6.
例2 计算2n阶行列式
a1 a2 an 1 D2 n bn 1 b2 b1 an bn bn an an 1 a2 a1 bn 1 b2 b1
解 对的第n,n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得
a1 a2 D2 n an bn bn an b2 b1
2 2 (an bn ) D2 n 2
b1 b2 an 1 bn 1 bn 1 an 1 a2 a1
利用这个递推关系式有定理拉普拉斯拉普拉斯定律拉普拉斯变换拉普拉斯定理行列式拉普拉斯展开定理拉普拉斯方程拉普拉斯算子陶哲轩拉普拉斯分布
*
拉普拉斯定理
定义1
在 n 阶行列式中，任取r 行 r 列
2
（ 1 k n}, 位于这些行列交叉处的r 个元 素按原来的次序所构成 的r阶行列式，称 为行列式 的 一个r 阶子式.在 n 阶行列式中， 划去某个r 阶子式M所在的行与列后 ,剩下的 n r 行 n r 列上的元也构成一个 n r阶子 式N。我们称这一对子式 M与N互为余子式。
设r 阶子式M是由行列式中第 i1 , i2 ,, ir 行和 第j1 , j2 ,, jr 列相交处的元也构成的 ，而且 N是M的余子式。则称带有正 或负号
拉普拉斯定理与行列式的乘法规则
例3.16 设 1 1 A 0 2 0 2 4 1 2 . 0 ，B 1 5
1 1 1
1 1 1
利用行列式的乘法规则求AB .
3.7.3 行列式的乘法规则
设n 阶行列式
D1
则
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2
a1n a2 n ann
,
D2
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
.
D1 D2
c11 c12 c21 c22 c n1 c n 2
c1n c2 n cnn
,
aik bkj , k 1
n
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j nj
证明 作2n阶行列式
a11 a n1 D 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 . b1n bnn
由拉普拉斯定理，
D
a11 a n1
3.7.1 k 阶子式及其余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)， 位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按原来的相对次序构成的k 阶行列式 S称为行列 式 D 的一个 k 阶子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后， 余下的元素按照原来的次序构成的 n k 阶行列 式 M称为 S的余子式;
A1 , A2 ,
, At , 则
例3.13 把行列式
D 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2
按第1, 2两行展开. 解 由第1,2两行可以得到 c =6个2阶子式:
S1 S4 2 1 1 2 1 0 2 1 3, S2 1, S5 2 0 1 1 1 0 2 0 2, S3 0, S6 2 0 1 0 0 0 1 0 0, 0.
拉普拉斯(Laplace)定理-行列式的乘法规则
§8 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列（n k ≤）,位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ,称为行列式D 的一个k 级子式。
在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M 。
例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式。
因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项,而且符号也一致。
定理6（拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k ）个行。
由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D 。
例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的。
§2.8拉普拉斯(Laplace)定理
从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理
行列式计算的拉普拉斯定理
行列式计算的拉普拉斯定理拉普拉斯定理是行列式计算中的一种重要方法。
它可以用来简化行列式的计算，特别适用于较大规模的行列式。
拉普拉斯定理由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末发现，并被广泛应用于线性代数和数值计算领域。
拉普拉斯定理的核心思想是将一个行列式展开为它的其中一行或其中一列的元素与对应的余子式之和。
余子式是删除行和列后剩余元素形成的矩阵的行列式。
通过反复应用拉普拉斯定理，我们可以将一个较大规模的行列式分解为多个较小规模的行列式，从而简化计算的复杂性。
我们来看一个具体的例子，假设有一个3阶行列式D：abcdefghi根据拉普拉斯定理，可以通过第一行展开计算该行列式，即：D=a*M11-b*M12+c*M13其中，M11是a的余子式，删除第一行和第一列后的2阶行列式，即e*i-f*h；M12是b的余子式，删除第一行和第二列后的2阶行列式，即d*i-f*g；M13是c的余子式，删除第一行和第三列后的2阶行列式，即d*h-e*g。
通过计算这些余子式，我们可以得到行列式D的值。
同样，我们也可以通过第二行或第三行展开行列式，应用拉普拉斯定理进行计算。
这种方法可以根据不同的具体情况选择展开的行或列，以便简化计算。
拉普拉斯定理的应用领域广泛，特别适用于计算较大规模的行列式。
当行列式的阶数较高时，直接计算行列式可能非常复杂和耗时。
通过拉普拉斯定理，可以将较大规模的行列式分解为多个较小规模的行列式，从而简化计算过程。
此外，拉普拉斯定理还有一些重要的推论。
例如，如果一个n阶行列式中有两行或两列完全相同，那么该行列式的值为0。
这个推论可以通过拉普拉斯定理证明。
如果两行或两列相同，那么它们的余子式也必然相同，由于它们的符号相反，所以它们相加得0。
拉普拉斯定理在线性代数、数值计算、概率论等领域都有广泛的应用。
它可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及计算概率等问题。
在实际应用中，我们可以利用计算机算法或数值计算软件来实现拉普拉斯定理，从而更方便地进行行列式的计算。
2.8 Laplace定理(简介)
a
k 1
n
ik kj
b
(i, j 1, 2, , n) .
cij ai1b1 j ai 2b2 j ainbnj aik bkj ，即乘积为 n 级行列式，其第 i
k 1
n
行、 j 列上元素 cij 为行列式 D1 中第 i 行元素与行列式 D2 中第 j 行对应 第 元素乘积的和. 该定理也称为行列式的乘法定理，其意义在第四章讨论.
1 0 例 1： D 0 0 2 1 0 0 1 2 2 1 4 1 中选定第 1，3 行，第 2，4 列得 2 级子式： 1 3
M
2 0
4 , 1
M 的余子式：M /
a12 a22 a32 a42 a52 a13 a23 a33 a43 a53 a14 a24 a34 a44 a54
D
3. 定理 7
a11 D1 ai1 an1
a12 a1n a11 a1 j a1n a21 a2 j a2 n ai 2 ain , D2 an1 anj ann an 2 ann
c11 c1 j c1n D1 D2 C ci1 cij cin , 其中 cij cn1 cnj cnn
k级（代数）余子式的概念 Laplace定理 行列式乘法规则
拉普拉斯（749-1827）：法国数 学家，物理学家,16岁入开恩大学 学习数学，后为巴黎军事学院教授. 曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑 革职.也曾担任过法兰西学院院长. 写了《天体力学》（共5卷）,《关 于几率的分析理论》的不朽著作， 赢得‚法兰西的牛顿‛的美誉.拉普拉斯的成就巨大 ， 现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、 拉普拉斯展开式等. 他正好死于牛顿死亡的第100年 ，他的最后一句话是‘我们知之甚少，不知道的却 甚多’.
拉普拉斯(Laplace)定理
行运用Laplace 定理结果． 定理结果． 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组 ：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、 一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
2§8 拉普拉斯(Laplace)定理
上页
下页
返回
结束
例3 在行列式
1 D= 1 0 2 0 1 1 4 1 3 3 1 0 −1 2 1
中取定第1，2行。得到六个子式：
1 2 1 1 1 4 M1 = , M2 = , M3 = , 0 −1 0 2 0 1
M4 = 2 1 −1 2 , M5 = 2 4 −1 1 , M6 = 1 4 2 1 .
上页
下页
返回
结束
根据拉普拉斯定理，将D按前n行展开，则因D中前 n行除去左上角那个n级子式外，其余的n 级子式都 等于0，所以
a11 a21 D= ⋮ an1 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann b11 b12 ⋯ b1n b21 b22 ⋯ b2 n ⋅ = D1 D2 . ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnn
b12 ⋯ b1n b22 ⋯ b2 n ⋮ ⋮
−1 bn1 bn 2 ⋯ bnn
上页 下页 返回 结束
a1n bn1 a1n bn 2 ⋯ a1n bnn
⋯
a12b21 a12b22 ⋯ a12b2n
a11 a12 ⋯ a1n
+ +
⋯
+ +
+
⋯
+ + +
a12 a11
a1n
⋮
a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann −1 0 ⋯ 0 0 −1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ −1
上页
下页
返回
结束
定理6 拉普拉斯定理） 定理6（拉普拉斯定理）
设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n+1）个行， 由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子 式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 证明：设D中取定k行后得到的子式为 证明： M 1 , M 2 ,⋯, M t , 它们的代数余子式为A1 , A2 ,⋯, At , 定理要求证明：
拉普拉斯行列式公式
关于行列式的拉普拉斯定理又称为子式的代数余子式定理，其内容是：设在n(n≥2)阶行列式D中任取定k(1≤k<n)行(列),且用这k行(列)作出的所有k阶子式为N1,N2,…, Nt,相应的代数余子式依次为A1,A2,…,At,则D=N1A1+N2A2+…+NtAt.其中t=C(n,k)=n!/[k!(n-k)!].拉普拉斯定理可以用来求行列式的值。
从定理的内容来看，第一步，也是最重要的一步就是要找到最合适的行列，其这些行或列的所有子式。
这些子式中，当然0越多越好了。
这样就可以大大的减少运算量。
然后分别取定那些非0的子列的代数余子式。
因为从定理的内容来看，等于0的子列和它的代数余子式的积，一定等于0，因此并不需要考虑等于0的子列的代数余子式。
最后将各非0子列分别乘以它们的代数余子式，并求这些积的和，就得到原行列式的值了。
下面举一个运用拉普拉斯定理计算行列式的实例。
计算五阶行列式（元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔）：D=|2,5,0,0,0；1,3,0,1,0；0,1,1,0,0；0,0,2,1,5；0,0,1,0,3|.我们可以取定第1行和第2行，其非0的子式有N1=|2,5；1,3|=1；N2=|2,0；1,1|=2以及N3=|5,0；3,1|=5。
对应的代数余子式分别为：A1=(-1)^(1+2+1+2)|1,0,0；2,1,5；1,0,3|=3；A2=(-1)^(1+2+1+4)|1,1,0；0,2,5；0,1,3|=1；A3=(-1)^(1+2+2+4)|0,1,0；0,2,5；0,1,3|=0.因此，D=N1A1+N2A2+N3A3=3+2+0=5.想要熟悉掌握运用拉普拉斯定理求行列式的值的方法，还必须多做相关的练习。
虽然我们还有其它更简单便的求行列式的值的方法，但是不能因为这种方法复杂，就不掌握。
因为在运用拉普拉斯定理求行列式的值的过程中，还可以熟练很多与行列式相关的知识。
线性代数课件--ch-1-3 拉普拉斯定理 行列式的乘法公式
k 个行展开．
假如把行换成列，则称将行列式 D 按某 k 个列展开．
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
例 2 计算五阶行列式
56000 15600 D 0 1 5 6 0. 00156 00015 解 在 D 的前二行中，所有二阶子式共有 10 个，但其中只有
a b cd
b a d c
D
.
c d a b
d c b a
解 首先，根据行列式的性质，DT D ， 其次，
a b c d a b c d D2 DDT b a d c b a d c
c d a b c d a b d c b a d c b a
North University of China
在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按原来相应位置 组成的n k 阶行列式 M ，称为子式 N 的余子式．
称(1)(i1i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式．
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
例 1 在四阶行列式
解 先按第 n ，n 1行展开，得
North University of China
目录 上页 下页 返回 结束
a
b
ab D ba
b
ab ba
n 1行 n 1行 a
再将上式右边的2n 2阶行列式，按第n 1 ，n 行展开，得
a
b
n 2 行
a ba b
ab
D
b ab a
ba
Байду номын сангаас
拉普拉斯定理行列式乘法课件
课件将按照知识点介绍、例题解析、练习与测试的顺序展开，确保内容的连贯 性和完整性。
02
拉普拉斯定理详解
拉普拉斯定理定义
定义
拉普拉斯定理是一种关于行列式的展开定理，它建立了n阶行 列式与其子行列式之间的关系。
定理表述
在一个n阶行列式中，任取k行、k列（k≤n），则由这k行、k 列元素所构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积之和等于 行列式的值。
04
拉普拉斯定理在行 列式乘法中应用
利用拉普拉斯定理简化计算过程
定理内容
拉普拉斯定理是行列式展开定理 的推广，可用于简化行列式的计
算过程。
展开方式
通过选取适当的行或列进行展开， 将复杂行列式化为简单行列式的和 ，降低计算难度。
应用实例
通过具体实例展示如何利用拉普拉 斯定理简化行列式的计算过程，包 括数值型行列式、字母型行列式等 。
应用实例
通过具体实例展示克拉默法则在解决实际问 题中的应用，如工程问题、经济问题等。同 时，强调克拉默法则与拉普拉斯定理之间的 联系与区别。
05
总结与回顾
关键知识点总结
拉普拉斯定理
01
描述了如何从一个大行列式中根据所选的行和列挑选出一些小
行列式，并将它们组合在一起得到原行列式的展开式。
行列式乘法的性质
行列式乘法简介
行列式乘法原则
行列式乘法遵循一定的原则，包括行 列式相乘、对应元素相乘等，用于求 解两个行列式的乘积。
注意事项
行列式乘法需要注意符号的确定、元 素的对应关系以及计算过程中的化简 等。
课件目的与结构
目的
本课件旨在帮助学生理解和掌握拉普拉斯定理及行列式乘法的原理和应用，提 高解题能力。
线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理
第一章 行列式
1.5 行列式按 k 行(列)展开 ——拉普拉斯(Laplace)定理
一、 拉普拉斯定理 二、 小结、思考题
. #;
一、拉普拉斯定理
定义（见课本 P32-33）
方阵的 k 阶子式
k 阶子式的余子式
k 阶子式的代数余子式
例如:
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
A 为 5 阶方阵, | A | a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
比较元素 aij 的余子式、代数余子式.
. #;
再例:
a11 a12 a13 | A | a21 a22 a23
a31 a32 a33
A 的第1, 2行元素 组成的 2 阶子式:
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
a12 a13 a22 a23
a11 a13 a21 a23
a11 a12 a21 a22
2 阶子式的余子式:
a31
a32
a33
2 阶子式的 代数余子式:
(1)(12)(23) a31 a31 (1)(12)(13) a32 a32 (1)(12)(12) a33 a33
. #;
观察 3 阶行列式 aij 按第三行展开式 :
. #;
拉普拉斯定理与行列式的乘法
c12 c22 ... b12 b22 ...
... c1n ... c2 n ... ...
cn 2 ... cnn ... b1n ... b2 n ... ...
− 1 0 ... 0 − 1 ... ... 0 ... 0 ...
... − 1 bn1 bn 2 ... bnn
其中 cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj (i, j = 1,2,..., n).把上 面的行列式按前n行展开 由拉普拉斯定理,得 面的行列式按前 行展开,由拉普拉斯定理 得 行展开 由拉普拉斯定理
按第1,2两行展开.
1 D = 0 0
2 c 4 =6个2阶子式: 解: 由第1,2两行可以得到
2 1 2 0 2 0 s1 = = 3, s2 = = 2, s3 = = 0, 1 2 1 1 1 0 s4 = 1 0 2 1 = 1, s5 = 1 0 2 0 = 0, s6 = 0 0 1 0 = 0.
证明:
作2n阶行列式
a11 a21 ...
a12 a22 ...
... a1n ... a2 n ... ... 0 0 ...
0 0 ... 0 b11 b21 ...
0 0 ... 0 b12 b22 ...
... ... ... ...
0 0 ... 0
D=
an1 −1 0 ... 0
an 2 ... ann 0 ... − 1 ... ... 0 ... ...
定理2
的乘积等于一个n阶行列式
c11
c21 c22 ... c2 n D1 = , ... ... ... ... cn1 cn 2 ... cnn
拉普拉斯定理行列式的乘法规则
拉普拉斯定理行列式的乘法规则det(A) = ∑(−1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中，det(A)表示矩阵A的行列式；a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素；M_ij表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，它是将a_ij从矩阵中删去后所形成的(n-1) × (n-1)次方阵的行列式。
A=[a11,a12,a13][a21,a22,a23][a31,a32,a33]根据拉普拉斯定理，我们可以计算出该矩阵的行列式为：det(A) = a11 * M_11 - a12 * M_12 + a13 * M_13其中，M_11,M_12和M_13分别是由删去第1行第1列、第1行第2列和第1行第3列元素所形成的2×2次方阵的行列式。
以M_11为例，它的计算公式为：M_11=a22*a33-a23*a32类似地，可以计算出M_12和M_13的值。
将它们代入行列式的展开式中，即可得到方阵A的行列式的数值。
行列式的乘法规则是指两个方阵的行列式相乘的规则。
设有两个n × n的方阵A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则它们的乘积的行列式为：det(A * B) = det(A) * det(B)这个规则的意义在于，可以通过行列式的乘积来求解两个矩阵的乘积的行列式。
在实际计算中，我们可以先计算两个矩阵的行列式，再将它们相乘，从而避免了直接计算矩阵乘积的复杂性。
行列式的乘法规则也可以用于计算矩阵的幂。
设有一个n × n的方阵A，它的行列式为det(A)，则A的k次幂的行列式为：det(A^k) = [det(A)]^k这个公式表明，矩阵的乘幂的行列式等于该矩阵的行列式的k次幂，用于快速计算矩阵的高次幂的行列式十分有效。
拉普拉斯定理和行列式的乘法规则在许多领域都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。
通过拉普拉斯定理，我们可以将线性方程组转化为行列式的计算问题，从而可以方便地求解线性方程组的解。
拉普拉斯定理
a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项 是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。 下证一般情形： 设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列， 其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1k b11 L LLL akk br1 L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例 对于四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
0 0
2 3
0
,
A6
(1)1312
0 0
1 1
0
.
∴
D (2)1 0 (2) (1) 5 2 0 6 0 (1) 0 7
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式
a11 a12 L a1n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
L 0 b1n
aa1112
1n
1
b21 L b2n
O LLL
1 bn1 L bnn
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
又对D作初等行变换：
ri (ai1rn1 ai2rn2 L ainr2n ), i 1, 2,L , n.
可得
0 L 0 c11 L c1n LLL LLL
M
2 0
4 1
M的余子式和代数余子式分别为
M
0 0
2 1
A=(-1)1+3+2+4M
0 0
2 1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例2：五阶行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
D a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k (1 k n 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即
若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M1, M2 ,L , Mt ，它们对应的代数余子式分别为 A1, A2 ,L , At , 则 D M1 A1 M2 A2 L Mt At. .
a41 a42 a43 a44
选定2、3行得子式和代数余子式分别为
M1
a21 a31
a22 a32
M2
a21 a31
a23 a33
M3
a21 a31
a24 a34
A1
a13 a43
a14 a44
A2
a12 a42
a14 a44
A3
a12 a41
a13 a43
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
1 2 14
例3：计算行列式
D
0 1
1 0
2 1
1 3
0 1 31
解：选定一二行得六个子式
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
1 1
2,
M5
2 0
4 3
6,
M6
1 1
4 3
中
a12 a13 a15 M a22 a23 a25
a42 a43 a45
与
M
a31 a51
a34 a54
是一对互余的子式.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
它们的代数余子式为
A1
(1)1312
0 0
1 1
0
,
A2
(1)1324
1 1
1 1
2
,
A3 (1)1323
1 1
2 3
5,
A4
( 1)1 31 2
0 0
1 1
0
,
A5
(1)4113
D1
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
b11 b12 L b1n
D2
b21 M
b22 M
L b2n MM
bn1 bn2 L bnn
c11 c12 L c1n
则
D1 D2
c21 M
c22 M
L c2n MM
cn1 cn2 L cnn
n
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj aikbkj ,
一、k 级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M，称为 k 级子式 M 的余子式；
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i1, i2 ,L , ik ; j1, j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M 前
加上符号 (1)i1i2L ik j1 j2L jk 后称之为 M 的代数
余子式，记为 A (1)i1i2L ik j1 j2L jk M .
注： ① k 级子式不是唯一的.
（任一 n 级行列式有 CnkCnk个 k 级子式）． ② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例1：四阶行列式
1 2 14
D
0 0
1 0
2 2
1 1
0 0 13
选定1、3行，2、4列的一个二级子式M
k 1
i, j 1,2,L ,n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
证： 作一个2n级的行列式
a11 L a1n 0 L 0 LLL LLL
D
an1 1
L
ann 0 L b11 L
0 b1n
O LLLຫໍສະໝຸດ 1 bn1 L bnn由拉普拉斯定理
a11 L a1n b11 L b1n D L L L L L L aij bij
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
注：
① k 1 时，D M1 A1 M2 A2 L Mt At
即为行列式 D 按某行展开；
a11 L a1k 0 L 0
LL ② D ak1 L
*
L akk
LL 0L b11 L LL
L 0 b1r L
a11 L ak1
L L L
a11 a41
a12 a42
∴ D M1 A1 M2 A2 M3 A3 M4 A4 M5 A5 M6 A6
M6A6
a23 a33
a24 a11 a34 a41
a12 a42
a23a34 a24a33
a11a42 a12a41
a23a34a11a42 a23a34a12a41 a24a33a11a42 a24a33a12a41
D
0 1
L
0 cn1 L cnn b11 L b1n
O LLL
1 bn1 L bnn
这里
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj ,
i, j 1,2,L ,n.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
D (1)12L n(n1)L 2n cij (1)n cij 从而 aij bij cij , cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj , i, j 1, 2,L ,n.
a11 a12 a13 a14
D
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
M4
a22 a32
a23 a33
M5
a22 a32
a24 a34
A4
a11 a41
a14 a44
A5
a11 a41
a13 a43
M6
a23 a33
a24 a34
A6
an1 L ann bn1 L bnn
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
c11 a11b11 a12b21 L a1nbn1
a11 a12 L a1n 0 L 0
a21 a22 L a2n 0 L 0
a L L
D
an1 an2 1