拉普拉斯定理--行列式乘法

a11 a41
a12 a42
∴ D M1 A1 M2 A2 M3 A3 M4 A4 M5 A5 M6 A6
M6A6

a23 a33
a24 a11 a34 a41
a12 a42

a23a34 a24a33
a11a42 a12a41
a23a34a11a42 a23a34a12a41 a24a33a11a42 a24a33a12a41
D
0 1
L
0 cn1 L cnn b11 L b1n
O LLL
1 bn1 L bnn
这里
cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj ,
i, j 1,2,L ,n.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
D (1)12L n(n1)L 2n cij (1)n cij 从而 aij bij cij , cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj , i, j 1, 2,L ,n.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
M
2 0
4 1
M的余子式和代数余子式分别为
M
0 0
2 1
A=(-1)1+3+2+4M
0 0
2 1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例2：五阶行列式 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
D a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
注：
① k 1 时，D M1 A1 M2 A2 L Mt At
即为行列式 D 按某行展开；
a11 L a1k 0 L 0
LL ② D ak1 L
*
L akk
LL 0L b11 L LL
L 0 b1r L

a11 L ak1
L L L
D1

a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
an1 an2 L ann
b11 b12 L b1n
D2

b21 M
b22 M
L b2n MM
bn1 bn2 L bnn
c11 c12 L c1n
则
D1 D2

c21 M
c22 M
L c2n MM
cn1 cn2 L cnn
n
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ainbnj aikbkj ,
k 1
i, j 1,2,L ,n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
证： 作一个2n级的行列式
a11 L a1n 0 L 0 LLL LLL
D
an1 1
L
ann 0 L b11 L
0 b1n
O LLL
1 bn1 L bnn
由拉普拉斯定理
a11 L a1n b11 L b1n D L L L L L L aij bij
L 0 b1n
aa1112
1n
1
b21 L b2n
O LLL
1 bn1 L bnn
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
又对D作初等行变换：
ri (ai1rn1 ai2rn2 L ainr2n ), i 1, 2,L , n.
可得
0 L 0 c11 L c1n LLL LLL
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k (1 k n 1 )行， 由这 k 行元素所组成的一切k级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即
若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 为 M1, M2 ,L , Mt ，它们对应的代数余子式分别为 A1, A2 ,L , At , 则 D M1 A1 M2 A2 L Mt At. .
a41 a42 a43 a44
选定2、3行得子式和代数余子式分别为
M1

a21 a31
a22 a32
M2

a21 a31
a23 a33
M3

a21 a31
a24 a34
A1

a13 a43
a14 a44
A2


a12 a42
a14 a44
A3

a12 a41
a13 a43
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
中
a12 a13 a15 M a22 a23 a25
a42 a43 a45
与
M

a31 a51
a34 a54
是一对互余的子式.
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
注： ① k 级子式不是唯一的.
（任一 n 级行列式有 CnkCnk个 k 级子式）． ② k 1 时，D中每个元素都是一个1级子式；
k n 时，D本身为一个n级子式．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例1：四阶行列式
1 2 14
D
0 0
1 0
2 2
1 1
0 0 13
选定1、3行，2、4列的一个二级子式M
an1 L ann bn1 L bnn
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
c11 a11b11 a12b21 L a1nbn1
a11 a12 L a1n 0 L 0
a21 a22 L a2n 0 L 0
a L L
D
an1 an2 1
L
L LL ann 0 L
b11 L
一、k 级子式 余子式 代数余子式 二、拉普拉斯(Laplace)定理 三、行列式乘法法则
一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 式 M，称为 k 级子式 M 的余子式；
1
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
它们的代数余子式为
A1

(1)1312
0 0
1 1

0
,
A2
Fra Baidu bibliotek

(1)1324
1 1
1 1

2
,
A3 (1)1323
1 1
2 3
5,
A4

( 1)1 31 2
0 0
1 1

0
,
A5

(1)4113
a11 a12 a13 a14
D

a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
M4

a22 a32
a23 a33
M5

a22 a32
a24 a34
A4

a11 a41
a14 a44
A5


a11 a41
a13 a43
M6

a23 a33
a24 a34
A6

0 0
2 3

0
,
A6
(1)1312
0 0
1 1

0
.
∴
D (2)1 0 (2) (1) 5 2 0 6 0 (1) 0 7
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
三、行列式乘法法则
设有两个n 级行列式
a11 a12 L a1n
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i1, i2 ,L , ik ; j1, j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M 前
加上符号 (1)i1i2L ik j1 j2L jk 后称之为 M 的代数
余子式，记为 A (1)i1i2L ik j1 j2L jk M .
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
1 2 14
例3：计算行列式
D
0 1
1 0
2 1
1 3
0 1 31
解：选定一二行得六个子式
M1
1 1
2 0
2,
M2

1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4

2 0
1 1
2,
M5
2 0
4 3
6,
M6

1 1
4 3
a1k b11 L LLL akk br1 L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
第二章 行列式 §8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则
例 对于四阶行列式
a11 a12 a13 a14
D

a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34