高思导引-四年级第五讲-竖式问题教师版
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第1１讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析;了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1．如图11－１，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪?请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合,就认为它们的形状、大小是相同的)2. 观察图11-2，ABCDＥF是正六边形,O是它的中心,画出线段PQ后,就把正六边形AＢCD ＥF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段,把正六边形分成６个形状、大小都相同的图形?能否画出几条线段,把正六边形分成３个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成３个形状、大小都相同的五边形？３. 如图11-３，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段,把纸片分成面积相等的两部分,应该怎么办？４．请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形．5. 请把图11－5沿格线分成形状、大小都相同的三部分,使得每部分都恰好含有一个“○”．6.如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星?请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8.如图1１-８,请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.(1)如果要求两种小正方形一共有6个,应该怎么分?(2)如果要求两种小正方形一共有７个，应该怎么分?9．如图11-9,有两个面积相等的正方形纸片,现在想把它们剪拼成一个更大的正方形,要求如下:(1)如果分别剪开这两个正方形,再拼接成一个大正方形,应该怎么办？(2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形,应该怎么办？1０.图１1-1０是由若干个小正方形组成的图形,你能将其剪成两块,然后拼成一个正方形吗?拓展篇1.请在图１１-１1中标出分割线,把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分,(如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图１1-１2沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分,请在图中画出具体的分割办法.3．将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出４种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中,最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法．５．将图11-1５分成大小、形状都相同的四块,使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11－17剪成三块，再拼成一个正方形.８.将图1１-１8分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图．9. 图11－19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块,已知这三块纸片可拼成一个正方形,那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.１1．把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形,那么这个大长方形的周长最小是多少厘米?请画出具体的拼法．１2.用若干个边长为1、2、3、４的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为５的大正方形,那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法．。
高思导引-四年级-竖式问题教师版汇编
学习-----好资料第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：也一定有A+E=HC=4，A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以，、2、F分别是1没有用，所以1、2、3、8B，现在还剩进位，所以E=7I=3.的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代）在图5-22. （1 表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相在图5-3(2)同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：，卒=1（1）观察可得：车，马=卒，所以兵=5=0，兵+兵马，所炮=，+1=5，所以马=4炮+=2以炮5240+5210=10450=2=马，所以：兵，=12）观察可得：炮，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵（292=929—1221的竖式中，相同的汉字代表相同的3. 在图5-4+如果23+解数字，不同的汉字代表不同的数字，”所代表的三，那么“字++谜=30 数数字谜位数是多少？更多精品文档．学习-----好资料不同的汉字代表不同的数字，每个汉字代表一个数字，图5-5所示的竖式中，4. ”代表的四位数是多少？那么“北京奥运分析：奥++京，北+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8 观察可得：北=1，北+京=9 ，运位，所以：奥=0+运=8，所以要进2=1809 北京奥运ABCDE所示的乘法竖式成立，那么5. 已知图5-6是多少？相同的符号代5-7的竖式中，6. (1) 在图表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？的竖式中，相同的符号代表5-8(2) 在图不同的符号代表不同的数字，相同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：三种可能，因为是三位数5、9,×△=△，所以△=1、）（1△，○=1，☆乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5=2=2 ，○，当△=5时，☆=4、）△=15、6三种可能，排除12 （=3○=5时，△当=6☆，更多精品文档．学习-----好资料7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立.分析：，所以除数9=783（1）除数×=6003 ，所以被除数×6=522=87,8787=69÷6003=2465 5=145，所以被除数8=232，所以除数=29,29×（2）除数×29=85÷2465所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商5-129.在图是多少？分析：三= 除数×7=两位数，除数×另一个一位数，所以除数只能是位数，且三位数的十位上是2 ，9=12614,14×7=98,14×=79所以除数更多精品文档．好资料学习-----后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序910. 有一个四位数，它乘以.颠倒而得的新四位数，求原来的四位数拓展篇不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，和5-14中，1. 在图5-13. 求出它们使竖式成立的值分析：，四个语、语=5 （1）观察得：巧=1，所以三个英相加得数，进2相加得20，所，向前进2的个位是8，所以英得6 以学=4 以学+学得数个位也是8，所1465+林=7，奥++=6，奥林+匹进2，所以林2 （）观察的奥+林有进1，所以奥6789=83，所以匹，克=9 匹+克进，在这个算式中，相2. 如图5-15不同的同的字母代表相同的数字，、A字母代表不同的数字，那么数字分别是多少？B、C分析：有借位，没有借位，C—BCA=A，—B=B,所以C—AC观察—A=4A=A，所以B=9，所以有借位且，C=8，已知C—B—B=B8、4、9不同的字母表示不同的数在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，3. 字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：D=5 C=4，，，观察得A=2B=3 2233+3344+4455=10032更多精品文档．学习-----好资料4. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：，个=9，手=0，上观察得，黄金三角：携=1，所=7位数的和肯定要进位，要使进1为，则博，=6位，办海=4，假设百位向前进2以会只能是2，，位，办=5，成立，1094382 ；假设百位向前进3=8当世=3时，在；，成立，1094872=8时，在=3当世小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，5. 阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，小悦原来写的四位数是多少？结果刚好是7826.分析：利用位值原理ABCD+ABC+AB=78261000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826D=1 56-55=1 则当则B=0 C=5时－时当A=778267770=56 7051即一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，6. 再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来. 求原来的三位数的三位数.更多精品文档．学习-----好资料移到左边首位数字前面，所构成44，将这个7. (1) 一个自然数的个位数字是 4倍，那么原数最小是多少？的新数恰好是原数的一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且(2)/4倍，那么原来的五位数是多少这个新的五位数恰好是原数的）（1219782）（中的一个数字，不同的字母2，……908. 如图5-18，每一个英文字母代表，1 、RF分别代表什么数字？、、、代表不同的数字，则字母AQT更多精品文档．学习-----好资料分析：不QAQ×T=1符合题意，当Q=6时为5或6 当Q=5时A=2 .........QTAQ等于T=1 则........AQ×T=AQF=3R=7，Q=5，T=1，A=2，所以“美”三个汉字分别代表三个各不相同的“峡”、中的竖式里，“江”、9. 图5-19. 数字，请把这个竖式写出来分析：=6 ，所以美0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5先确定美是□□江，则=×江4或8之一，又因为江峡美或美通过确定江是2 排除，所以江=24或8=8=□□□峡，则峡由于江峡美×峡所示的除法5-2010. 请把如图竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：1 7 则除数个位是7，商的十位数字是=6.........6□□×□□除数的十位数3=×□□□61 则商的个位数字是，7.........6□8 字是更多精品文档．学习-----好资料11. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
高思导引-四年级第十一讲-几何图形剪拼教师版
第11讲几何图形剪拼教师版内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题，学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法.典型问题兴趣篇1. 如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法. （如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 观察图11-2，ABCDEF是正六边形，O是它的中心，画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形. 能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3. 如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞. 现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么办？4. 请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形.5. 请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“○”.6. 如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来.7. 如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的. 请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形.8. 如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形.（1）如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？（2）如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9. 如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：（1）如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？（2）如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10. 图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？拓展篇1. 请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分，（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2. 把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法.3. 将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法.4.如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法.5. 将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D.6. 将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，请在图11-16中画出切割线和拼接线.7. 请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形.8. 将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形，请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图.9. 图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形.10. 有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法.11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法.12. 用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法.。
高思导引-四年级-数阵图初步教师版汇编
学习-----好资料第4讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。
典型问题兴趣篇1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.：【答案】【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：根据题意：a＝11－2－5＝4；b＝11－4－1＝6；c＝11－2－6＝3.2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.更多精品文档．学习-----好资料：【答案】【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得a＋d＝15－5－7＝3＝1＋2；同理，b＋d＝15－5－3＝7＝1＋6；c＋d＝15－7－3＝5＝1＋4。
由于d属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d＝1；a＝2；b＝6；c＝4.3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。
：【答案】【分析与解】：如下图：因为8＋9＋a＝b＋a＋7可得b＝10；那么每条线的和＝8＋3＋10＝21；那么a＝21－8－9＝4；c ＝21－8－7＝6.4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之更多精品文档．学习-----好资料和也相等。
【答案】：1 7 6 45283【分析与解】：因为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以每行的和等于36÷2＝18；每列的和＝36÷4＝9；从列入手，可将1~8这八个数分为和等于9的四组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。
再调整使行和等于18：我们发现1＋4＝2＋3；8＋5＝6＋7.经过调整可得答案。
5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。
【答案】：【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。
高思导引-四年级第五讲-竖式问题教师版教程文件
第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以C=4，A+E=H也一定有进位，所以E=7，现在还剩1、2、3、8没有用，所以B、F分别是1、2，I=3.2. （1）在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2) 在图5-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：（1）观察可得：车=1，卒=0，兵+兵=卒，所以兵=5，马+1=5，所以马=4，炮+炮=马，所以炮=25240+5210=10450（2）观察可得：炮=1，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵=马，所以：兵=2，1221—292=9293. 在图5-4的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+字+谜=30，那么“”所代表的三数字谜位数是多少？4. 图5-5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“”代表的四位数是多少？分析：观察可得：北=1，北+京+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8，北+京+奥+运=8，所以要进2位，所以：奥=0，运=9北京奥运=18095. 已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少？6. (1) 在图5-7的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？(2) 在图5-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：（1）△×△=△，所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5，☆=2，○=1（2）△=1、5、6三种可能，排除1，当△=5时，☆=4，○=2当△=6时，☆=5，○=3北京奥运7. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立. 分析：（1）除数×9=783，所以除数=87,87×6=522，所以被除数=60036003÷87=69（2）除数×8=232，所以除数=29,29×5=145，所以被除数=2465 2465÷29=859.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？分析：除数×7=两位数，除数×另一个一位数=三位数，且三位数的十位上是2，所以除数只能是14,14×7=98,14×9=126，所以除数=7910. 有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.拓展篇1. 在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.分析：（1）观察得：巧=1、语=5，四个语相加得20，进2，所以三个英相加得数的个位是8，所以英得6，向前进2，所以学+学得数个位也是8，所以学=41465（2）观察的奥+林有进1，所以奥=6，奥+林+匹进2，所以林=7，奥+林+匹+克进3，所以匹=8，克=9 67892. 如图5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字A、B、C分别是多少？分析：观察C—A=A，C—B=B,所以C—A没有借位，C—B有借位，B—B=B，所以有借位且B=9，C=8，已知C—A=A，所以A=44、9、83.在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：观察得A=2，B=3，C=4，D=52233+3344+4455=100324. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：观察得，黄金三角：携=1，手=0，上=9，个位数的和肯定要进位，要使进1为，则博=7，所以会只能是2，海=4，假设百位向前进2位，办=6，当世=3时，在=8，成立，1094382 ；假设百位向前进3位，办=5，当世=8时，在=3，成立，1094872；5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是7826. 小悦原来写的四位数是多少？分析：ABCD+ABC+AB=7826 利用位值原理1000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826当A=7时7826－7770=56 则B=0 当C=5时56-55=1 则D=1 即70516. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.7. (1) 一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少/（1）（2）219788. 如图5-18，每一个英文字母代表0，1，2……9中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母A、Q、T、R、F分别代表什么数字？分析：.........Q为5或6 当Q=5时A=2 T=1符合题意，当Q=6时AQ×Q不等于TAQ........AQ×T=AQ 则T=1所以A=2，Q=5，T=1，R=7，F=39. 图5-19中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来.分析：先确定"美"是0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5，所以美=6 通过"美"确定"江"是2或4或8之一，又因为江峡美×江=□□江，则4或8排除，所以江=2由于江峡美×峡=□□□峡，则峡=810. 请把如图5-20所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：.........6□□×□=6□7 则除数个位是7，商的十位数字是1.........6□7×□=□□61 则商的个位数字是3，除数的十位数字是811. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
高思导引-四年级第十二讲-复杂竖式教师版汇编
学习-----好资料第12讲复杂竖式内容概述需要较强推理能力的竖式问题．学会运用奇偶分析、整体分析、分粪讨论等技巧性较高的方法．典型问题兴趣篇1．图12-1是一个字母竖式，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．请把竖式用数字表示出来．个数字从512-2中的各个方框内填人恰当的数字后，可使算式成立，并且个位上的2．在图个数字也有这样的性个数字，十位上的5上向下看，恰好是图12-3中顺时针次序的连续5? 质．请问：竖式中计算的结果是多少，使得加法和3个数字已经填好）12-4至9这9个数字填在图的方框中（其中有3. 请把1. 乘法这两个算式都成立个数字，使得竖100是一个乘法竖式，请在其中的10个方框内分别填入至9这12-54. 图. 式成立更多精品文档．学习-----好资料5.如图12-6，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的乘积应该是多少？，在乘法竖式的每个方框中填入一个数字，使其成为正确的竖式，那么所得的如图12-76.乘积应该是多少？已知这样的填法有的方框内填入恰当的数字，可以得到一个正确的乘法竖式. 在图7. 12-8 两种，这两种填法所得到的两个不同的乘积相差多少？. 12-9的方框内填上适当的数字，使得竖式成立，请写出所有的答案在图8.. 12-10中的除法竖式补充完整请把图9.更多精品文档．学习-----好资料10. 请把图12-11中的除法竖式补充完整. 这个算式的被除数、除数以及商的总和是多少？拓展篇. 中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字在图12-121. D分别代表什么数字？B、、C、已知个位向十位的进位为2，且E是奇数，则A请给出两种使竖12-13中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 在图2.. 式成立的填法所示的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同12-143. 在图、D 各代表什么数字？B的数字，不同的字母代表不同的数字，请问：A、、C所示的乘法竖式中，每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相同在图12-154.的数字，不同的汉字代表不同的数字. 请问：这个乘法算式最后的乘积是多少？更多精品文档．学习-----好资料是一个乘法竖式，其中的每个方框和汉字都代表一个数字，相同的汉字代表相12-165. 图”所代. 同的数字，不同的汉字代表不同的数字试问：当算式成立时，“巴西法国争夺冠军表的八位数是多少？，请把这个乘法竖式补充完整. 12-176. 如图12-187. 如图，请把这个乘法竖式补充完整.中的除法竖式补充完整，其中被除数是多少？（注意本题有小数点）8. 请把图12-19所示的除法竖式中，在各个方框里填入适当的数字后可使竖式成立，那么9. 在如图12-20更多精品文档．学习-----好资料在这15个方框中填入的数字最多能有多少个是偶数？更多精品文档．学习-----好资料10. 在图12-21的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数DEFGF是多少？字. 请问：被除数. 12-22中的除法竖式补充完整11. 请把图. 请在图12-23中的每个方框内填入恰当的数字，使得除法竖式成立12.超越篇的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，这1.在图12-24 个算式的结果是多少？请的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 12-252.在图money所代表的五位数最多是多少？问：更多精品文档．学习-----好资料adde：分别代表不同的数字，且a+b+c=e. 请问d的乘法竖式中，a、b、c、、e12-263. 在图所代表的四位数是多少？. 请把图12-27中的除法竖式补充完整4.. 12-28的竖式中，“奇”代表奇数，“偶”代表偶数，请把竖式补充完整5. 在图. 6. 在图的方框内填入适当的数字，使下面的小数除法竖式成立12-29更多精品文档．学习-----好资料7. 电子数字0至9如图12-30所示，图12-31是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模湖不清. 请将图12-31中的电子数字恢复，并将它写成横式：. 中的除法竖式补充完整8. 请将图12-32更多精品文档．。
高思导引--四年级第三讲-还原问题与年龄问题教师版
第 3 讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题兴趣篇1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？答案：这个数是详解：+6 x6 -6 +61 7 42 36 62. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8 两酒，这天他一共遇到 3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？答案：7 两酒。
详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8，再除以 2.那么到酒店C之前葫芦里应该有（0+8）÷ 2=4 两酒，他在到酒店B的时候应该有（4+8 ）÷ 2=6 两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷ 2=7 两酒。
0+8=8，8÷2=4，4+8=12，12÷2=6，6+8=14，14÷2=73. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64 枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？答案：原来这个人身上有43 元，箱子里有85 元。
详解：4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10 只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？答案：第一棵树上有12，第二棵23，第三棵13详解：5. 1997 年张伯伯 45岁，小方 9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的 4倍？ 答案：小方 12 岁那年。
高思导引-四年级第十三讲-横式问题教师版
第13讲横式问题内容概述横式中的填空格和字母破译问题，熟练应用尾数分析、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题求解.典型问题兴趣篇1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称.(1) 12×23□=□32×21；（2）□8×891=198×8□.答案：（1）12×231=132×21 （2）18×891=198×81分析：（1）等式的右边乘积的个位数一定是2，那么左边的方框内只能填1或者是6，再估算一下方框中只能填2。
（2）等式的左边乘积的个位数一定是8，那么左边的方框内只能填1或者是6，再估算一下方框中只能填1。
2. 在算式□17×2□=3□□3的方框中填入适当的数字，使得等式成立.答案：117×29=3393分析：等式右边的个位数是3，那么左边的第二个方框中只能填9，第一个方框中只能1，那么等式为117×29=3393。
3.在“□，□8，□97”的三个方框内分别填入恰当的数字，可以使这3个数的平均数是150，那么填入的3个数字的和是多少？答案：12分析：要使三个数的平均数是150，三个数的和为450，则一位数只能是5，三位数的百位上只能填3，可得两位数的十位上填4，可知5+4+3=12。
4.在算式3×□□=□□□的5个方框中，分别填入0、1、2、3、4这5个数字，使等式成立. 请问：得到的乘积是多少？答案：102分析：等式左边的两位数的个位数只能为1或者4，枚举可知3×41=123不符合，只能为3×34=102。
5. 在下面这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把算式用数字表示出来.+=USA USSR PEACE答案：932+9338=10270分析：等式为一个三位数加一个四位数得到一个五位数，那么U等于9，P等于1，列加法竖式计算可知E等于0，枚举S可知只能等于3，等式为932+9338=10270。
高思学校竞赛数学导引 四年级
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高思导引--四年级-还原问题与年龄问题教师版汇编
学习-----好资料第3讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题兴趣篇1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？答案：这个数是详解：+6 x6 -6 +636761422. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？答案：7两酒。
详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8，再除以2.那么到酒店C之前葫芦里应该有（0+8）÷2=4两酒，他在到酒店B的时候应该有（4+8）÷2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有（6+8）÷2=7两酒。
2=714÷2=6，6+8=14，，，8÷2=4，4+8=1212÷0+8=83. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？答案：原来这个人身上有43元，箱子里有85元。
详解：箱子里的钱身上的钱85 43 开始时86 42 第一次走过去后44 84 第一次走回来后88 40 第二次走过去后48 80 第二次走回来后96 32 第三次走过去后64 64 第三次走回来后后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树只鸟. 4. 三棵树上共有48只鸟飞到了第上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10 问：一开始三棵树上各有几只鸟？一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多.13 ，第三棵12，第二棵23答案：第一棵树上有详解：第三棵树第一棵树第二颗树13 12 23 开始时613 29 第一棵飞到第二棵后616 26 第二棵飞到第三棵后16 16 16 第三棵飞到第一棵后更多精品文档．好资料学习-----倍？45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的45. 1997年张伯伯岁那年。
小学四年级奥数-高斯计算PPT课件
（1+10）×10÷2=11×10÷2=55
-
3
• 方法二： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
这种方法叫做倒序法，可以知道这两串数字是相等的， 所以，我们求出这两串数的和，一定要“除以2”！
-
7
数列
• 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
•
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一
项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项
之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
• （1）1，2，3，4，5，…，100； • （2）1，3，5，7，9，…，99； • （3）8，15，22，29，36，…，71。 • 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
卡尔·弗里德里希·高斯
-
6
高斯的办法
• 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人
• 高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察 发现：
•
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
•
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都
相等。于是，小高斯把这道题巧算为
• （1+100）×100÷2＝5050。
-
9
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； • （3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 • 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： • 和=（首项+末项）×项数÷2。
四年级数学思维训练导引奥数第05讲竖式问题
标准文档第五讲竖式问题1．如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“JD”代表“0”，“日”代表“6”．问：“，”代表的数字是多少？的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代5-2．2(1)在图表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表5-3(2)在图相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的．在图543 谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？字解数字．如果23++数++所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的．图45-5 数字，那么“北京奥运”代表的四位数是多少？所示的乘法竖式成立，那么．已知图55-6ABCDE是多少？实用大全．标准文档的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不5-7(1)在图．6 分别代表什么数字？同的数字，那么☆、△、O的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同5-8(2)在图分别代表什么数字？的数字，那么☆、△、O，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那5-9．如图7 么十个方框中数字之和是多少？和图在图8．5-105-11使下列除法竖式成立．中的方格内填入适当的数字，实用大全．标准文档所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中5-129．在图的商是多少？后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺910.有一个四位数，它乘以序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数．中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不5-13和5-14．在图1 同的数字，求出它们使竖式成立的值．，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代2．如图5-15 、、表不同的数字，那么数字ABC分别是多少？实用大全．标准文档的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同5-163．在图．问：竖式中的和是多少？的数字，并且A<B<C<D的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同5-174．在图的数字，那么“携手上海世博会”所代表的七位数是多少？．小悦写了一个四位数．冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位5最后把这三个数加起变成了一个两位数．数．阿奇又把这个三位数的个位抹掉，小悦原来写的四位数是多少？来，结果刚好是7826.．一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位6组成的这两个三位数之差正好是原再用这三个数字组成一个最小的三位数，数，来的三位数．求原来的三位数．移到左边首位数字前面，所构4，将这个47．(1)一个自然数的个位数字是 4倍，那么原数最小是多少？成的新数恰好是原数的一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而(2) 倍，那么原来的五位数是多少？且这个新的五位数恰好是原数的4中的一个数字，不同的，…，9，，每一个英文字母代表8．如图5-180，12 FRTQA字母代表不同的数字，则字母、、、、分别代表什么数字？实用大全．标准文档中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各．图5-199 不相同的数字，请把这个竖式写出来．所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？10.请把如图5-20中的除法竖式补充完整．请把图11.5-21的字母竖式中，在图12.5-22不同的字母代表不同的数字．请填出这个竖式，实用大全．标准文档OY，表示、X、SN、D、R、、TIE1．图5-23是一个加法竖式，其中、F、、不等于零，这个算式的结果是多少？F、S至9中的不同数字，且9至1．澳门的拼音和英语写法为AOMEN及MACAO，我们规定这些字母表示2 中竖式的计算结果最大是多少？中的不同数字，那么图5-24．华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联：3三强韩赵魏，九章勾股弦，“三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；我们来用这副“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字．有趣的对联做下面的题目：的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同(1)在图5-25（只需要找出一，请将竖式补充完整．，“九”代表的数字，如果“三”代表39 种解答）实用大全．标准文档的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同5-26(2)在图 345，请将竖式补充完整．的数字，如果“勾股弦”代表的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同5-274．在图的数字，那么ABCDEFG所代表的七位数是多少？．请把图55-28中的除法竖式补充完整．所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母．在图65-29 表示不同、的数字．请问：被除数是多少？实用大全．标准文档中8、5、余5-30的乘法竖式中，“二”代表除以32的数字，即2．在图7中的一个；“零”代表除以、74余1的数字，即1、的一个；“一”代表除以3 中的一个，请填出这个竖式．、96 O3余0的数字，即、3、的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表5-318．在图W=0．请用合适的数字替换字母，使得竖式成立，不同的数字，其中实用大全．。
高思导引 四年级第三讲 还原问题与年龄问题教师版
第3讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题兴趣篇1.某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？答案：这个数是详解：+6x6-6+61”7"42'、36”62.有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝.这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完.问：原来酒葫芦里有多少两酒？答案：7两酒。
详解：每经过一个酒店，葫芦里酒的数量就先乘2，再减8，利用倒推法，我们反过来应该先加8,再除以2•那么到酒店C之前葫芦里应该有(0+8)三2=4两酒，他在到酒店B的时候应该有(4+8)三2=6两酒，所以他原来的酒葫芦应该有(6+8)三2=7两酒。
0+8=8,8三2=4,4+8=12,12三2=6,6+8=14,14三2=73.某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴；当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？答案：原来这个人身上有43元,箱子里有85元。
详解：4.三棵树上共有48只鸟.后来,第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后,第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后,第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上,此时三棵树上的鸟一样多.问：一开始三棵树上各有几只鸟？答案：第一棵树上有12,第二棵23,第三棵13详解：5.1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？答案：小方12岁那年。
高思导引 四年级第五讲 竖式问题教师版
第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1.如图5-1所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？分析：A+D=D，所以,它们的和一定有进位，所以C=4，A+E=H也一定有进位，所以E=7，现在还剩1、2、3、8没有用，所以B、F分别是1、2，I=3.2. （1）在图5-2的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2) 在图5-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：（1）观察可得：车=1，卒=0，兵+兵=卒，所以兵=5，马+1=5，所以马=4，炮+炮=马，所以炮=25240+5210=10450（2）观察可得：炮=1，兵—兵=马，一定有借位，所以马=9，炮—兵=马，所以：兵=2，1221—292=9293. 在图5-4的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+字+谜=30，那么“”所代表的三数字谜位数是多少？4. 图5-5所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“”代表的四位数是多少？北京奥运分析：观察可得：北=1，北+京+奥=0，所以可得要进位，所以；京=8，北+京+奥+运=8，所以要进2位，所以：奥=0，运=9北京奥运=18095. 已知图5-6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少？6. (1) 在图5-7的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？(2) 在图5-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：（1）△×△=△，所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数，所以1排除，经分析：△=5，☆=2，○=1（2）△=1、5、6三种可能，排除1，当△=5时，☆=4，○=2当△=6时，☆=5，○=37. 如图5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析：B×B=B，所以B=1、5、6，三种可能，经分析1排除，A×B=B，所以B=5，A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添1，一百多乘一位数得四位数，所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当A=9时，C=7，成立；所以：195×95=18525 1+9+1+7+5+1+8+5+2+5=448. 在图5-10和图5-11中的方格内填入适当的数字，使下列除法竖式成立. 分析：（1）除数×9=783，所以除数=87,87×6=522，所以被除数=60036003÷87=69（2）除数×8=232，所以除数=29,29×5=145，所以被除数=2465 2465÷29=859.在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？分析：除数×7=两位数，除数×另一个一位数=三位数，且三位数的十位上是2，所以除数只能是14,14×7=98,14×9=126，所以除数=7910. 有一个四位数，它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.拓展篇1. 在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.分析：（1）观察得：巧=1、语=5，四个语相加得20，进2，所以三个英相加得数的个位是8，所以英得6，向前进2，所以学+学得数个位也是8，所以学=41465（2）观察的奥+林有进1，所以奥=6，奥+林+匹进2，所以林=7，奥+林+匹+克进3，所以匹=8，克=9 67892. 如图5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字A、B、C分别是多少？分析：观察C—A=A，C—B=B,所以C—A没有借位，C—B有借位，B—B=B，所以有借位且B=9，C=8，已知C—A=A，所以A=44、9、83.在图5-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且A<B<C<D. 问：竖式中的和是多少？分析：观察得A=2，B=3，C=4，D=52233+3344+4455=100324. 在图5-17的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“”所代表的七位数是多少？携手上海世博会分析：观察得，黄金三角：携=1，手=0，上=9，个位数的和肯定要进位，要使进1为，则博=7，所以会只能是2，海=4，假设百位向前进2位，办=6，当世=3时，在=8，成立，1094382 ；假设百位向前进3位，办=5，当世=8时，在=3，成立，1094872；5. 小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是7826. 小悦原来写的四位数是多少？分析：ABCD+ABC+AB=7826 利用位值原理1000A+100B+10C+D+100A+10B+C+10A+B=1110A+111B+11C+D=7826当A=7时7826－7770=56 则B=0 当C=5时56-55=1 则D=1 即70516. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.7. (1) 一个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？(2) 一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是多少/（1）（2）219788. 如图5-18，每一个英文字母代表0，1，2……9中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母A、Q、T、R、F分别代表什么数字？分析：.........Q为5或6 当Q=5时A=2 T=1符合题意，当Q=6时AQ×Q不等于TAQ........AQ×T=AQ 则T=1所以A=2，Q=5，T=1，R=7，F=39. 图5-19中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来.分析：先确定"美"是0,1,5,6中的一个，通过实验排除0,1,5，所以美=6 通过"美"确定"江"是2或4或8之一，又因为江峡美×江=□□江，则4或8排除，所以江=2由于江峡美×峡=□□□峡，则峡=810. 请把如图5-20所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？分析：.........6□□×□=6□7 则除数个位是7，商的十位数字是1.........6□7×□=□□61 则商的个位数字是3，除数的十位数字是811. 请把图5-21中的除法竖式补充完整。
完整word版,高思导引四年级第六讲行程问题教师版
第6讲行程问题一内容概述掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系，掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程. 重点掌握画线段图的分析方法.典型问题兴趣篇1. A、B两城相距240千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了1小时. 如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？解：速度=路程÷时间（1）汽车速度：240÷6=40（千米）（2）6÷2=3（时）（240÷2）÷（3—1）=60（千米）2. A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：(1) 甲从A走到B需要多长时间？(2) 两个人从出发到相遇需要多长时间？解：（1）4800÷60=80（分）（2）时间=路程和÷速度和4800÷（60+100）=30（分）3. 在第2题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发. 请问：乙出发后多久可以追上甲？解：路程差=速度差×时间时间=路程差÷速度差4800÷（100－60）=120（分）4. 甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地，2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地. 问：什么时候两车在途中相遇？解：40×2=80（千米）（350－80）÷（40+50）=3（时）8点+2小时+3小时=13点5. 小悦和冬冬分别从相距720米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发2分钟，已知小悦的速度是每分钟60米，冬冬的速度为每分钟50米，试问：当小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？解：追及时间：（720+50×2）÷（60－50）=82（分）冬冬走的路程：50×（82+2）=4200（米）6. 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问：(1) 2小时后两车相距多少千米？(2) 经过几小时后两车第一次相距50千米？解：（1）350－（40+60）×2=150（千米）（2）（350－50）÷（40+60）=3（时）7.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米，问：(1) 经过6小时后两车相距多少千米？(2) 经过几小时后两车第一次相距100千米？解：（1）300－（60－40）×6=180（千米）（2）（300－100）÷（60－40）=10（时）8. 甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B地到A地需要30分钟，如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？解：假设AB两地相距60米，甲的速度：60÷20=3（米）乙的速度：60÷30=2（米）60÷（2+3）=12（分）9. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B地，问：乙车还要过多久才能到达A地？解：甲3小时走的路程与乙6小时走的路程相等，所以甲走6小时乙需要走12小时。
高思导引-四年级第十四讲-行程问题二教师版[001]
![高思导引-四年级第十四讲-行程问题二教师版[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/c5b31c46844769eae009edae.png)
第14讲行程问题二内容概述参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题．涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来．1．(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车．从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒．求火车的速度．(2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米．这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒．已知火车速度是每秒17米，求火车的长度．答案：14米/秒270米解析：（1）相遇问题，60米/分=1米/秒300−20=15 15-1=14（2）追击问题，（17-2）⨯18=270米2．(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间?(2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米?答案：25秒220米解析：（1）火车过桥（320+180）−20=25秒（2）20⨯21-200=220米3．一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米．两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间?答案：10秒解析：火车相遇，路程为两车路程之和（180+200）÷（20+18）=10秒4. 甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？答案：120秒解析：火车追击，路程为两车路程之和（370+350）÷（21-15）=120秒5．许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间?答案：300秒100秒解析：队尾到对头是追击问题450÷（3-1.5）=300秒对头到队尾是相遇问题450÷（3+1.5）=100秒6．甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米．坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒, 问：乙车全长多少米?答案：390米解析：相遇问题，从相遇到离开单位不统一60+48=108千米每时=30千米每秒30⨯13=390米7．现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车．如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车．请问：快车和慢车的车长分别是多少米?答案：快96米慢72米解析：齐头并进多走的是一个快车的车长（18-10）⨯12=96米车尾对齐多走的是一个慢车的车长（18-10）⨯9=72米8．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米. A、B两地相距2700米．甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B 地出发去追赶乙．请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙?答案：6分钟54分钟解析：甲乙相遇时2700÷（40+50）=30分钟这时丙走了15分钟走了15⨯60=900米乙走了50⨯30=1500米，甲丙相距1500-900=600米600÷（40+60）=6分钟（600+50⨯6-60⨯6）÷（60-50）=54分钟9．有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米. 如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行．甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇．求A、B两地的距离．答案：16500米解析：甲丙相遇的路程是乙比丙多走的路程（60+40）⨯15=1500米1500÷（50-40）=150分钟150⨯（60+50）=16500米10．东、西两城相距75千米．小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米．三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，……这样往返，直到三人在途中相遇为止．请问：小辉共骑了多少千米?答案：90千米解析：小辉行走的时间和两人从出发到相遇的时间是一样的75÷（6.5+6）=6小时6⨯15=90千米拓展篇1．(1)一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间?(2)一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒．这个山洞长多少米?答案：4分钟240米解析：（1）火车过桥（2800+400）÷800=4分钟（2）15⨯64-720=240米2．一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒．你知道火车有多长吗?它的速度是多少?答案：200米10米/秒解析：从火车车头上桥，到车尾离开桥所走路程是：车长+桥长火车完全在桥上所走路程是：桥长-2个车长所以行走一个车长的距离用（120-80）÷2=20秒行走桥长用的时间是120-20=100秒1000÷100=10米/秒车长为200米3．有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米．试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行，客车赶超货车(从追上到完全超过)需要多长时间?答案：40秒120秒解析：（800+400）÷（20+10）=40秒（800+400）÷（20-10）=120秒4．一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后．已知客车通过460米长的隧道用30秒，通过410米长的隧道用28秒．又已知货车长160米，每小时行驶54千米．请问：客车从追上到离开这列货车需要多少秒?答案：45秒解析：通过隧道走的路程都是：车长+桥长460-410=50 30-28=2 速度为50÷2=25米每秒车长为：25⨯30-460=290米54千米每时=15米每秒（290+160）÷（25-15）=45秒5．与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米．这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟．请问：这列火车的车身总长是多少米?答案：286米解析：3.6千米每时=1米每秒10.8千米每时=3米每秒（26⨯3-22）÷（26-22）=14 22⨯（14-1）=286米6．人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟．请问：队伍的总长是多少米?答案：540米解析：两次跑的路程是一样的，两次速度分别为2米每秒6米每秒所以去的时候的时间是回来时的三倍6分钟=360秒360÷4⨯6=540米7．阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过阿奇. 如果这列客车从阿奇的背后开来，60秒后经过阿奇．试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇?答案：48秒解析：迎面开来是路程和速度和背后开来是路程差速度差40（车速+人速）=60（车速-人速）车速=5人速路程为240人速240÷5=488．一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车．小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，小明发现货车用140秒就超过了他．已知小明在客车内行走的速度为每秒l米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米．求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间．答案：210秒解析：小明发现货车用140秒就超过了他，所走路程为货车车长280÷140=2米每秒货车速度为2+20+1=23米每秒（350+280）÷（23-20）=210秒9．甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少?答案：32千米每时解析：从甲车和卡车相遇开始计时，乙车和卡车相遇用了一个小时路程和为甲乙两车行走6小时的路程差（52-40）6=72千米72÷1=72千米每时72-40=32千米每时10．甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行．与此同时，丙从B地出发向A地前进．甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇．如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离．答案：12千米解析：从甲丙相遇时开始计时，再过一段时间乙丙相遇甲的速度是乙速度的三倍所以相同时间内甲走的路程是乙路程的三倍当甲走9千米时乙走3千米所以乙丙速度相同所以甲走9千米时丙走3千米路程为12千米11．甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍．现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：三人之中谁最先到达目的地?谁最后到达目的地?答案：丙最先到达，甲最后到达解析：画线段图总路程为四份，丙两份时间到达，甲四份时间到达乙不到四份时间12．A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进．甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点?答案：7小时解析：由分析知乙正好在甲丙中点上时一定是甲丙相遇后的时间，相同时间内，甲走6份路程，乙走5份路程，丙走4份路程甲乙相差1份所以乙丙也相差一份根据容斥原理知道这一份为9份-56=1份所以一份路程为7 时间为7小时超越篇1．米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；’另有一列客车迎面驶来，9：30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它．如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍．请问：客车和货车什么时间相遇?两车错车需要多长时间?答案：9:15 15秒米代表米老鼠客代表客车货代表货车解析：在速度上：30（货-米）=12（客+米）÷2 客=3货客=9米货=3米货车长度30（货-米）=30（3米-米）=60米客车车上12（客+米）=120米9:30相遇时米老鼠走了一份路程客车走了9份路程两人共走了10份路程走1:30时米老鼠路程为90米客车路程为810米货车路程为270米全程为900米900÷（270÷90+810÷90）=75分钟8:00+00:75=9:15分（60+120）÷（9+3）=15秒2．货车和客车相向而行，两车在A点迎面相遇，在B点错开，A点和B两点之间的距离为150米．已知客车的长度为450米，速度为每小时108公里，货车的速度为每小时72公里．如果货车比客车长，那么货车的长度是多少?答案：550米解析：108公里每时=30米每秒 72公里每时=20米每秒从相遇到错开客车走的路程为 150+450=600 600÷30=20秒20（30+20）-450=550米3．铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去．14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．请问：工人与学生将在何时相遇?答案：14时40分解析：碰到工人是追击问题 30÷3.6-110÷15=1米每秒=60米每分碰到学生是相遇问题 110÷12-30÷3.6=65米每秒=50米每分 火车速度为30千米每时=500米每分工人与学生的时间为6（500-60）÷（50+60）=24分钟14时16份+24分=14时40分4．A 、B 两地相距120千米，甲、乙两人分别骑车从A 、B 两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米，出发后1小时30分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑．在他们相遇6分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在c 地追上乙．若甲以每小时44千米的速度，乙以每小时比原速度快6千米的车速，两人同时分别从A 、B 出发相向而行，则甲、乙二人在C 点相遇，问丙的车速是多少?答案：70千米每时解析：第一次相遇可以求出乙的速度为 30千米每时 再过6分钟甲共走了80千米 第二次甲乙两人相遇时间为 120÷（44+36）=1.5时C 距离A 地66千米 追上乙，丙走了80-66=14千米 乙走了14-8=6千米 14÷（6÷30）=70千米每时5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米． 答案：18.4千米每时解析：每次都是速度差，路程差都一样是开始时距离骑车人的距离求出骑车人速度为16千米每时，路程差为0.8千米 慢车速度为18.4千米每时6．快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟100米的速度沿公路走向甲地．已知快车出发30分钟后在途中遇上冬冬，中车出发35分钟后遇上冬冬．三辆车到达乙地的时候分别用了100分钟、120分钟、150分钟．请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬?答案：42分钟解析：与上题类似，求出刚开始距离东东的距离即可。
高斯小学奥数四年级上册含答案第05讲_加法原理与乘法原理
（ （第五讲 加法原理与乘法原理“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅里有 4 种炒菜和 2 种炖菜，4 种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2 种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4 + 2 = 6 种点菜方法，其中 4 代表 4 种炒菜，2 代表 2 种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有 2 种： 红烧鱼块，土豆炖牛肉）、 红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有 2 种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有4⨯2=8种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．例题1小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？「分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？例题2用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？练习2用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少种不同的染色方法？“分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．例题 3从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 3 条路， 从甲地到丁地有 2 条路，从丁地到丙地有 4 条路．如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到 丙地共有多少条不同的路线？「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一． 甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习 3任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？甲 丁乙 丙甲乙丙通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1. 只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2. 类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题 1 中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1. 每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2. 步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步， ……，直到最后．．比如例题 2 中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系．在这里，衣服和帽子先选哪种都可以．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后会接触到．加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系．这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类” 如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题 3．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法．标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从 A 点沿箭头的方向爬到 B 点的不同路线有多少条．CE G BAD F H由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上 1，表示蚂蚁从 A 点出发到达 A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示．C 1E G BA 1D 1 F 1 H 1容易看出，蚂蚁可以从 C 点或者 D 点到达 E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在 E 点处标上数字1 + 1 = 2（把 C 点与 D 点的数字相加），表示蚂蚁到达 E点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从 E 点或者 F 点到达 G 点，那么蚂蚁到达 G 点就有 2 +1= 3 条路线（把 E 点与 F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达 B点有4条路线，如下图所示．C1E2G3B4D1F1H1A1例题4B在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？「分析」标数法其实就是要找到前一步可能在的A所有点，把它们的方法数加起来．练习4B 在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？A例题5老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？例题6书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同．请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？课堂内外加减乘除的由来加减乘除（＋、－、×、÷）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们．别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成．法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用D 表示加法，用M表示减法．这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“＋”表示超过，用“─”表示不足．到1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示减法．1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“─”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用．以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的．他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法．据说是由加法符号“＋”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的．后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“•”表示乘号，这样，“•”也得到了承认．除法符号“÷”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷”作为除号．符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广．除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”．至此，四则运算符号齐备了．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？BA第五讲加法原理与乘法原理1.例题1答案：9种详解：小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4+3+2=9种出行方式．2.例题2答案：16种详解：房子的四个部分都要染色，所以先给屋顶染色，有2种颜色可以选择，接下来给烟囱染色，也有2种颜色可以选择，再接下来给门染色，也有2种颜色可以选择，最后给窗染色，同样有2种颜色可以选择，分了四步即乘法原理，一共有2⨯2⨯2⨯2=16种不同的染色方法．3.例题3答案：17种详解：分成“甲→乙→丙”和“甲→丁→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．类似地，对于“甲→丁→丙”这类路线，共有2⨯4=8种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+8=17种走法．4.例题4答案：35种详解：标数法，如下图：1 1 1 A1432110631201041351551B5.例题5答案：81000种详解：一个减法算式，只要被减数和减数确定了，这个减法算式就是确定的，而且被减数和减数都要有，所以先选择一个被减数，再选择一个减数．被减数是三位数，三位数的总个数有两种算法，方法一：最小的三位数是100，最大的三位数是999，所以一共有999-100+1=900个三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以先给百位选择一个数字，1~9有9种选择，再给十位选择一个数字，0~9有10种选择，最后给百位选择一个数字，0~9有10种选择，一共分了三步即乘法原理，一共有9⨯10⨯10=900个三位数．两位数的总个数算法和三位数一样，一种是99-10+1=90个两位数，另一种是9⨯10=90个两位数．要组成一个减法算式，先从三位数中选择1个作为被减数，一共有900种选择，再从两位数中选择1个作为减数，一共有90种选择，分了两步即乘法原理，共有900⨯90=81000种不同的写法．1B（（6.例题6答案：30种；750种；275种详解：1）从所有的书中任取1本，即可以选择小说或者漫画或者科普书，即在三类中选择1本，加法原理，共有15+10+5=30种不同的取法；（2）从每一层中各任取1本，可以先在第一层取小说，再在第二层取漫画，最后在第三层取科普书，分了三步即乘法原理，共有15⨯10⨯5=750种不同的取法；3）从中取出2本不同类别的书，可以是小说和漫画，也可以是漫画和科普，还可以是小说和科普，这是分了三类，在第一类小说和漫画必须各有一本，所以先取小说再取漫画，有15⨯10=150种不同的取法；在第二类漫画和科普必须各有一本，所以先取漫画再取科普，有10⨯5=50种不同的取法；在第三类小说和科普必须各有一本，所以先取小说再取科普，有15⨯5=75种不同的取法，三类是加法原理，共有150+50+75=275种不同的取法．7.练习1答案：18种详解：从小说、漫画中任意取一本即可，即加法原理，有8+10=18种取法．8.练习2答案：8种详解：先给眼睛染，有2种方法；再给嘴巴染，有2种方法；最后给身子染，有2种染法，分三步，乘法原理，所以共有2⨯2⨯2=8中不同的染法．9.练习3答案：11种简答：分成“甲→乙→丙”和“甲→丙”这两类路线．对于“甲→乙→丙”这类路线：第一步从甲到乙，有3种走法，第二步从乙到丙，有3种走法，利用乘法原理得到共有3⨯3=9种走法．而对于“甲→丙”这类路线，共有2种走法．把两类的走法加起来，可得从甲地到丙地一共有9+2=11种走法．10.练习4答案：10种简答：标数法：36101 A121314111.作业1答案：54000种．简答：乘法原理，30⨯40⨯45=54000种．12.作业2答案：27种简答：乘法原理，3⨯3⨯3=27种．13.作业3答案：（1）60种；（2）6000种简答：（1）加法原理，30+20+10=60种．（2）乘法原理，30⨯20⨯10=6000种．14.作业4答案：26种简答：分三类：水墨、油画，4⨯3=12种选法；油画、水彩，3⨯2=6种选法；水墨、水彩，4⨯2=8种选法，所以一共有12+6+8=26种选法．15.作业5答案：25种简答：标数法，如下图所示．1025B132631041551A11111。
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第5讲竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式,便于直观地解决问题。
典型问题兴趣篇1．如图５-1所示，每个英文字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“５”，“A”代表“9”,“D”代表“0”,“H”代表“6”.问:“I”代表的数字是多少？分析:A+Ｄ=D，所以,它们的和一定有进位，所以C=4,A＋E＝H也一定有进位，所以E=７,现在还剩１、2、3、8没有用，所以B、F分别是1、2，I=3.2. (１）在图5-2的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字?(2）在图５-3的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？分析：（1)观察可得：车=1，卒=０,兵＋兵＝卒，所以兵=５,马＋1=５，所以马=4,炮+炮＝马，所以炮=25240+５210=1045０(2)观察可得:炮=1,兵—兵＝马,一定有借位,所以马=9,炮—兵=马，所以：兵＝2,122１—2９2＝9293. 在图５-4的竖式中，相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,如果２3+解+数＋字＋谜=30，那么“”所代表数字谜的三位数是多少?4. 图5－5所示的竖式中,每个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字,那么“”代表的四位数是多少?分析:观察可得：北＝1,北+京＋奥=0，所以可得要进位,所以；京=８，北＋京+奥+运＝8,所以要进2位，所以:奥=0，运=9北京奥运=18０９5. 已知图５－6所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少?6. (1）在图5-７的竖式中,相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么☆、△、○分别代表什么数字?(2）在图５-8的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字,那么☆、△、○分别代表什么数字？分析：（1）△×△=△,所以△=1、5、9,三种可能，因为是三位数乘一位数等于四位数,所以1排除，经分析：△=５,☆=２,○=１(2)△=１、５、6三种可能,排除1，当△=5时,☆＝4，○=２当△=6时，☆＝北京奥运5,○＝3７. 如图５-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？分析:Ｂ×B＝B,所以B=１、５、6，三种可能，经分析１排除,A ×B=B，所以Ｂ=5,A为奇数，三位数乘B得三位数，所以第一个方格中添１，一百多乘一位数得四位数,所以A只能是7、9，当A=7时，C=7，矛盾不成立；当Ａ=9时，C＝7，成立;所以：195×95=18525 1+９+1+７＋5+1+8+5+2＋5=４48．在图5-１0和图５－1１中的方格内填入适当的数字,使下列除法竖式成立．分析：(１)除数×9=７83，所以除数=8７,87×6=522，所以被除数=60036003÷87=６9(2）除数×8=２32，所以除数=29，29×5=１45，所以被除数=2465 246５÷2９=859．在图5-12所示的除法竖式中填入合适的数字,使得竖式成立,那么其中的商是多少？分析：除数×7＝两位数，除数×另一个一位数=三位数,且三位数的十位上是２,所以除数只能是１4,14×7＝98,１4×9＝126,所以除数=791０. 有一个四位数,它乘以9后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数,求原来的四位数.拓展篇１. 在图5-1３和５-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.分析:（1）观察得：巧=1、语＝5，四个语相加得20，进2，所以三个英相加得数的个位是8，所以英得6,向前进2,所以学＋学得数个位也是８,所以学＝4１4６５(2）观察的奥＋林有进1，所以奥＝6,奥+林+匹进2，所以林=７，奥＋林+匹+克进3,所以匹=8，克＝9 ６7892．如图5－15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字，那么数字Ａ、Ｂ、C分别是多少？分析：观察C—Ａ=A，C—B=B，所以C—A没有借位,C—Ｂ有借位,B —Ｂ=B,所以有借位且B=9,C=8,已知Ｃ—A＝A，所以A＝44、9、８3.在图５-16的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且A＜B<C＜Ｄ．问:竖式中的和是多少？分析:观察得A=2,Ｂ＝3，C=4，D＝５２２33＋3３4４+4455＝10０324. 在图5-１7的竖式中，相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字,那么“”所代表的七位数是多少?携手上海世博会分析：观察得,黄金三角:携=1,手=0，上＝9,个位数的和肯定要进位,要使进１为,则博＝7,所以会只能是2，海=４，假设百位向前进２位，办=6，当世=3时,在＝8，成立,１0943８2 ；假设百位向前进3位，办=5，当世=8时,在=3,成立，10９４８7２;5．小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉,变成了一个两位数,最后把这三个数加起来，结果刚好是7８26. 小悦原来写的四位数是多少？分析:ABＣＤ+ABＣ+AＢ＝7826 利用位值原理1０00A+10０B+10Ｃ＋Ｄ＋100A+10B+C+10A+B=11１0A+1１1B＋１1C+D=7８2６当A＝7时7826-77７0=56 则Ｂ=0 当Ｃ=5时56－５5=1 则D=1即7０516. 一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数,组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数. 求原来的三位数.7. （1) 一个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字前面,所构成的新数恰好是原数的4倍,那么原数最小是多少？（2) 一个五位数,将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数,而且这个新的五位数恰好是原数的4倍,那么原来的五位数是多少/（１）（２）219788．如图5-18,每一个英文字母代表0，１，２……9中的一个数字,不同的字母代表不同的数字,则字母A、Ｑ、Ｔ、R、Ｆ分别代表什么数字？分析：.......．.Ｑ为5或6当Q＝5时A＝2 T＝1符合题意,当Q=6时AＱ×Q不等于TAQ........AＱ×T=AQ则T=1所以A=２，Ｑ=５,T=1,Ｒ＝7，F=39. 图５-1９中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字,请把这个竖式写出来.分析：先确定＂美"是０,1，5,6中的一个，通过实验排除0，1,5，所以美＝6通过＂美"确定"江"是2或４或8之一,又因为江峡美×江=□□江，则4或8排除，所以江=2由于江峡美×峡＝□□□峡，则峡=8１0. 请把如图5-2０所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少?分析：．........６□□×□=6□７则除数个位是7，商的十位数字是１....．...．6□7×□=□□61 则商的个位数字是３，除数的十位数字是8１1. 请把图5－２1中的除法竖式补充完整。
分析:...........□□×□=□7 则商的百位数字是1,除数的个位数字是7,十位数字是７或6,经试验可排除7...．...．..．67×□=□□□则商的十位数字是0,个位数字是71２. 在图5-2２的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字,请填同这个竖式. 分析:M=３,H＝8,G=7,Ｔ=6，Ｅ=2，I=１,C=４,A＝9,P=０超越篇1．图５－23是一个加法竖式,其中E、Ｆ、I、N、O、R、Ｓ、T、X、Y表示0至9中的不同数字，且F、S不等于零,这个算式的结果是多少？[分析与解]我们先看个位有Y＋２N对应Y,从而N为０或5,再看十位有T+2Ｅ对应T，从而有E为0或5,但是个位没有进位，不然T+２E＋1，T的奇偶性不同，不可能对应Ｔ.所以N只能为0，于是E为5．千位上一定有进位,所以Ｏ加上百位的进位的和位I+1０,此时I只可能为1或0，而已经确定N为0，所以I只能为1,那么O只能为9，并且百位进２．已确定E为5，十位上进1，因此对于百位有R+2T+1＝20+X，余下未确定的字母有F,S，R，T,X，Ｙ,它们在２,3，4,６,7，8中取值,且满足F+１=S,R+2Ｔ＋1=20+Ｘ.由于R、T必大于５，所以Ｆ，S为２,３,４中连续的两个数，又知X小于5,所以X为２或４，验证有X为4,F=２，S＝3，Ｒ=7,T=８，Y=6时满足题意，对应的竖式如下：6841305805868792 .2. 澳门的拼音和英语写法为AOMEN 及MA ＣＡO ， 我们规定这些字母表示1至9中的不同数字,那么图5-24中竖式的计算结果最大是多少？分析：A=１,C=9,E=6,M ＝８,N=5，O=73. 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦. “三强”不但指战国三强,还体现了钱三强的名字;“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字,我们来用这副有趣的对联做下面的题目：(1）在图5－2５的竖式中,相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字,如果“三”代表3,“九”代表９,请将竖式补充完整. (只需要找出一种解答)（２) 在图５-26的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“ ”代表345，请将竖式补充完整．分析:（１)三=3,强＝2，韩=0,赵=5，魏＝8，九=９，章=6,勾＝1,股=7,弦=４4. 在图５－27的竖式中,相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字,那么ABCDEFG 所代表的七位数是多少？分析：A ＝３,B ＝5,C=6,D=2,E ＝1，Ｆ=7,Ｇ＝９5. 请把图5-2８中的除法竖式补充完整.分析:4５07３÷１37=329勾股弦６. 在图５-29所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字,不同的字母表示不同的数字,请问:被除数是多少?［分析与解] 由竖式中Ｃ－C ＝Y 或1０+(C-1)-Ｃ＝Y 得Ｙ＝0或９．若Y=0，则由最后一个减式得L ＝1,G ＝9,R=8,导致A=R,矛盾.所以Y=9;仍由最后一个减式得L ＝8,G ＝0,R ＝1,A ＝2，从而用19８9Ｕ÷8得除数中的I 为4.再由891４÷2４8Ｓ得商的首位C=3,并且S=7，即被除数是891437．除法算式为891４37÷248７=358……1091.竖式如下： 85319016989178902534213354116477341987842．７. 在图5－３０的乘法竖式中，“二”代表除以3余2的数字，即2、５、8中的一个;“—”代表除以3余1的数字,即1、4、7中的一个;“零”代表除以３余0的数字,即０、3、6、9中的一个，请填出这个竖式.分析:2５1×29＝7２79８. 在图5-31的加法竖式中,相同的字母代表相同的数字,不同的字母代表不同的数字，其中W=0. 请用合适的数字替换字母,使得竖式成立.分析：--５２3７1+５２３71+10４＋485＋485=10581６--。