行列式的定义 化零降阶法 行列式的性质 范德蒙行列式 克莱姆法则
第一章 行列式
第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。
在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。
因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。
全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。
这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。
即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。
行列式的定义化零降阶法行列式的性质范德蒙行列式克莱姆法则
行列式的定义化零降阶法行列式的性
质范德蒙行列式克莱姆法则
行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
矩阵的运算矩阵的转置可逆矩阵分块矩阵初等变换伴随矩阵矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵秩的计算及性质施密特正交法向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
线性方程组解的情况的判别（非）齐次线性方程组的通解线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
相似的定义及性质
对角化特征值的性质特征向量的性质特征值和特征向量的求法实对称矩阵的相似对角化矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
二次型的形式合同化二次型为标准形的方法判别二次型的正定性二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
121行列式克莱姆法则 75页PPT文档
当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211.
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
性质6. 如果行列式的某一行(列)的元素可
表示成两项和的形式,则此行列式可表示成
两个行列式之和.
例如
a11 a12 (a1i a1i) a1n
Da21 a22 (a2i a2i) a2n
an1 an2 (anian i) ann
4 6 3 4 2 8 24 1.4
11 1 例3 求解方程2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12
x25x6,
由x25x0解得 x2或 x3.
补充定义一阶行列式为：a11 a11
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 次对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
行列式
第一章 行列式行列式的理论起源于线性方程组，是线性代数中的重要概念之一.在数学的许多分支和工程技术中有广泛的应用.本章主要介绍n 阶行列式的概念、性质、计算方法及其用行列式解n 元线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则.1.1 n 阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式在许多实际问题中，人们常常会遇到求解线性方程组的问题，我们在初等数学中曾学过如何求解二元一次线性方程组和三元一次线性方程组.例如对于以12,x x 为未知元的二元一次线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.1) 利用消元法，得112212211122122112212212112121(),().a a a a xb a a b a a a a x a b b a -=--=-当112212210a a a a -≠时，方程组（1.1）有唯一解122122*********b a a b x a a a a -=-,112121211221221a b b a x a a a a -=-. （1.2）根据这个解的特点得到启发，为了简明的表达这个解，引入了二阶行列式的概念. 定义1.1 记号11122122a a a a 表示代数和11221221a a a a -，称为二阶行列式，即1112112212212122a a a a a a a a =-.其中数11122122,,,a a a a 叫做行列式的元素，横排叫行，竖排叫列.元素ij a 的第一个下标i 叫做行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 叫做列标，表明该元素位于第j 列.由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和.这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如下图1-1，把11a 到22a 的实连线称为主对角线，把12a 到21a 的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去副对角线上两元素的乘积.11122122a a a a 图1-1由上述定义得，112122122222b a b a a b b a =-，111112121212.a ba b b a a b =-若记11122122a a D a a =，1121222b a D b a =，1112212a b D a b =.则方程组（1.1）的解可用二阶行列式表示为1212,D Dx x D D==. （1.3） 注 从形式上看，这里分母D 是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），1x 的分子1D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第一列所得的行列式，2x 的分子2D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第二列所得的行列式.本节后面讨论的三元一次线性方程组的解也有类似的特点，请读者学习时注意比较.总之，当（1.1）式中未知量的系数排成的行列式0D ≠时，方程组（1.1）的解可由（1.3）式给出.例1.1 解线性方程组12122313,54 2.x x x x +=⎧⎨-=-⎩ 解 因为232(4)3523054D ==⨯--⨯=-≠-，而113313(4)3(2)4624D ==⨯--⨯-=---，22132(2)1356952D ==⨯--⨯=--.所以1146223D x D -===-， 2269323D x D -===-. 现在来看三元一次线性方程组：111122133121122223323113223333,,.a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1.4） 同样，由消元法可得，当111213212223112233122331132132313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==++ 1322311221331123320a a a a a a a a a ---≠时，（1.4）的解为1122331223313232132231223312332211233123311321313231121331123331122312231121321223112213112321(),1(),1().x b a a a a b a b a a a b a b a b a a D x a b a b a a a a b a b a b a a a a b D x a a b a b a b a a b a a a a b a b a D ⎧=++---⎪⎪⎪=++---⎨⎪⎪=++---⎪⎩（1.5） 同前面一样，为方便记忆，我们引入三阶行列式的概念：定义1.2 记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.注 这个行列式含有三行、三列，其展开式是6个项的代数和.这6个项中的每一项都是由不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正号或负号构成的.我们可用一个简单的规律来记忆，就是所谓三阶行列式的对角线规则：111213212223313233a a a a a a a a a 图1-2即实线上三个元的乘积构成的三项都冠以正号，虚线上三个元的乘积都冠以负号.例1.2 计算三阶行列式212431235-. 解 按对角线法则，有2124312351122(4)32321(4)5231235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯302241220610=+--+-=.有了三阶行列式后，（1.5）可以很有规律的表示为312123,,.D D Dx x x D D D===其中1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，111213212223313233a a a D a a a a a a =上面三式右边居分母的位置的三个行列式都是D ，它是线性方程组（1.4）的系数按原有相对位置而排成的三阶行列式，也称为方程组（1.4）的系数行列式，而在123,,x x x 的表达式中的分子分别是把系数行列式D 中第1,2,3列换成常数项123,,b b b 而得到的三阶行列式.依次记为1D ，2D ，3D .这与二元线性方程组的解具有相同的规律.不仅如此，以后我们还可以看到：n 元线性方程组的解也同样可以用“n 阶行列式”来表达，其情况与二元、三元线性方程组解的表达式完全类似.例1.3 解线性方程组123123123241,532,1.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ 解 因为24115380111--=-≠-， 114125311111D -=-=--，22111239111D ==-，32411526111D -=-=--.故有11118D x D ==-，2298D x D ==-，3334D x D ==-. 1.1.2 n 阶行列式通过前面的讨论，对于二阶和三阶行列式可用对角线法则定义，但是对于n 阶行列式如果用对角线法则来定义，当3n >时，它将与二阶、三阶行列式没有统一的运算性质，因此，对一般的n 阶行列式要用其它的方法来定义，在线性代数中有不同的定义方式，我们在本书中采用下面的递推法来定义.从二阶、三阶行列式的展开式中，可发现它们都遵循着相同的规律——可按第一行展开.即1112112212212122a a D a a a a a a ==-，111213222321232122212223111231323331333132313233a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==-+ （1.6）111112121313a M a M a M =-+.其中2223113233a a M a a =，2123123133a a M a a =，2122133132a a M a a =.11M 是原来三阶行列式D 中划掉元素11a 所处的第1行和第1列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.称11M 为元素11a 的余子式.同理，12M 和13M 分别是12a 和13a 的余子式.为了使三阶行列式的表达式更加规范化，令111111(1)A M +=-，121212(1)A M +=-，131313(1)A M +=-，111213,,A A A 分别称为元素111213,,a a a 的代数余子式.因此，式（1.6）即为111112121313D a A a A a A =++， （1.7）同样，111211221221111112122122a a D a a a a a A a A a a ==-=+. （1.8）其中11112222(1)A a a +=-=，12122121(1)A a a +=-=-.注 定义一阶行列式1111a a =（不要把一阶行列式11a 与11a 的绝对值相混淆）. 如果把式（1.8）和式（1.7）作为二阶、三阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是利用低一阶的行列式来定义高一阶的行列式.因此，我们自然而然地会想到，用这种递推的方式来定义一般的n 阶行列式.这样定义的各阶行列式就会有统一的运算性质，下面我们具体给出n 阶行列式的递推法定义，定义1.3 由2n 个数组成的n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =是一个计算式.当1n =时，定义1111D a a ==；当2n ≥时，定义1111121211111nn n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑， （1.9）其中111(1)jj j A M +=-，1j M 是原来n 阶行列式D 中划掉元素1j a 所处的第1行和第j 列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.即212121231313131111j j n j j n j n nj nj nna a a a a a a a M a a a a -+-+-+=，(1,2,,)j n =.在D 中, 1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，另外一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见，二阶行列式的展开项共有2!项，三阶行列式的展开项共有3!项，n 阶行列式的展开项共有!n 项，其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积，在!n 项中，带正号的项和带负号的项各占一半.例1.4 计算下三角形行列式（主对角线以上所有的元素全为零的行列式称为下三角形行列式）11212212000n n nna a a D a a a =.解 行列式第一行的元素121310n a a a ====，由定义得1111D a A =.11A是1n -阶下三角形行列式，则334344112234000n n nna a a A a a a a =.依次类推，不难求出1122nn D a a a =，即下三角形行列式等于主对角线上各元素的乘积.注 主对角线下方所有的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，除了主对角线上元素之外其余元素全为零的行列式，称为主对角形行列式.特别地，有1122112200000nn nna a D a a a a ==.例1.5 证明1(1)2122121112100000(1).n n n nn n n n n n nn nna a a D a a a a a a a ----==-证 行列式第一行的元素111213110n a a a a -=====，由定义得1212123231111112112100000000(1)n n n n n n n n n nn n nn nnn nn nn a a a a a a D a A a a a a a a a a ----+---===-.依次类推，不难求出(1)21211(1)n n n n n D a a a --=-.特别地，有1(1)21212111000000(1).0n n n n n n n n a a D a a a a ---==-例1.6 计算四阶行列式0004004304334333D =.解 由例1.6知43200040043(1)444425604334333D ⨯==-⨯⨯⨯=.习题 1.11. 计算下列二阶行列式. （1）1314； （2）22a b ab； （3）22111x xx x -++.2. 计算下列三阶行列式.（1）123312231； （2）111314895； （3）xyx y yx y x x y yy+++.3. 当x 为何值时，314000xx x x=.1.2行列式的性质上一节已经介绍了行列式的定义,从定义中我们可以看出一个n 阶行列式的展开式共有!n 项,而且每一项都是n 个元素的乘积.因此直接用定义来计算行列式一般是比较困难的.为了简便地计算行列式的值,我们给出行列式的性质,利用这些性质简化行列式的计算. 1.2.1 行列式的性质定义1.4 设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，如果把它的行变成列，就得到了一个新的行列式112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，此时，T D 称为D 的转置行列式，记为T D （或'D ）.例如，令321124236D =，那么D 的转置行列式就是312223146T D =.性质1 行列式与它的转置行列式相等，即TD D =.注 由性质1知，行列式中行和列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 行列式中如果有两行（列）的对应元素相等，则此行列式的值为零. 证 互换行列式中相同的两行（列），有D D =-，故0D =. 性质3 用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即1112111121112121212n ni i in i i in n n nnn n nna a a a a a D ka ka ka k a a a kD a a a a a a ===. 推论2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 推论3 如果行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零. 推论4 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零.例1.7 设1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，求11121321222331323362233a a a a a a a a a ----. 解 11121311121321222321222331323331323362233(2)333a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=----111213212223313233(2)(3)6a a a a a a a a a =--=. 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设11121112212ni i i i in in n n nna a a Dbc b c b c a a a =+++， 则D 等于两个行列式之和11121111211212121212nni i in i i in n n nnn n nna a a a a a Db b bc c c D D a a a a a a =+=+. 注 （ⅰ）上述结论可推广到有限个行列式的情形.（ⅱ）行列式1D 、2D 的第i 行是把D 的第i 行拆成两行，其它的1n -行与D 的各对应的行完全一样.（ⅲ）当行列式的某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可分解成两个行列式.若n 阶行列式的每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式. 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另外一行（列）对应的元素上去，则行列式的值保持不变.例如，以数k 乘第j 列加到第i 列上，有1111111111121222212222111i j n i j j n i j n i j j n n ninjnnn ni njnjnna a a a a a ka a a a a a a a a ka a a D D a a a a a a ka a a ++===+.证1111111111212i 22212221115i j n j j n j n j j n n ninjnnn njnjnna a a a a ka a a a a a a a ka a a D a a a a a ka a a +性质40D D +=性质.高阶行列式计算比较复杂，因此我们考虑是否将其化为较低阶的行列式进行计算.在1.1节n 阶行列式的定义中，已经包含了这一思想，相当于按第一行展开.实际上，n 阶行列式可以根据需要按照任何一行任何一列进行展开.定义1.5 在n 阶行列式D 中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的次序排成的1n -阶行列式称为D 中元素ij a 的余子式，记为ij M .再记(1)i jij ij A M +=-，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积.即ij ij D a A =.证明从略.定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122,i i i i in in D a A a A a A =+++ (1,2,).i n =或1122,j j j j nj nj D a A a A a A =+++ (1,2,).j n =证明从略.这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.特别地当行列式中某一行或某一列中含有较多零时比较实用.推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11220,i j i j in jn a A a A a A +++= ().i j ≠或11220,i j i j ni nj a A a A a A +++= ().i j ≠1.2.3 行列式的计算利用前面行列式几个关于行和列的性质，我们可以把行列式化为上三角形行列式，从而计算行列式的值.今后为了表示方便，记i r 表示第i 行，i c 表示第i 列；i j r r ↔()i j c c ↔表示互换第i 行（列）和第j 行（列）的元素；i j r kr +()i j c kc +表示第j 行（列）的元素乘以k 加到第i 行（列）上去.例1.8 计算行列式0113110212302110D -=-.解 3112411102110201130113(1)(1)12300132221100314r r D r r r r ---↔-------32344211211020*******(1)004100213300213041r r r r r r --+-↔-----43110201132500021325r r -+=---.例1.9 计算行列式3111131111311113D =.解 注意到行列式各行（列）的元素之和为6，故可把第2行，第3行，第4行的元素同时加到第一行，提出公因子6，然后每一行减去第一行化为上三角形行列式来计算.1234666611111311131161131113111131113D r r r r +++=2131411111020064800200002r r r r r r --=-.注 仿照上述方法，可到更一般的结果：1[(1)]()n a b b bb a b ban b a b b b a b bbba-=+--.例1.10 计算行列式1122330000001111a a a a D a a --=-.解 根据行列式的特点，可把第1列加到第2列，然后第2列加到第3列，再将第3列加到第4列，使行列式中的零元素增多.112222132333300000000000000012111231a a a a a D c c c c a a a a -++--1243123300000040001234a a c c a a a a +=.例1.11 解方程1231112311223112321123110n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a x-------+-+-=+-+-，其中10a ≠.解 对左端的行列式，从第二行开始每一行都减去第一行得：12311211212100000000()()()00000n n n n n a a a a a a x a x a a x a x a x a x a x------=-----.即1121()()()0n a a x a x a x ----=.解得方程的1n -个根112211,,,n n x a x a x a --===.例1.12 计算五阶行列式52112112112112D --=--.解 方法一 把5D 化为上三角形行列式521322121551122121212112551211211212D r r r r ----------435421215511221251212115122952929111212701229r r r r ----------5122970270.251229=⨯⨯⨯⨯=方法二 把5D 按第1行展开,建立递推关系.544311212212112D D D D --=+=+-，继续用递推关系，得5433233222(2)52D D D D D D D D =+=++=+ 212215(2)2125.D D D D D =++=+而221512D -==，122D ==.故51255270D =⨯+⨯=.习题1.21. 用行列式的性质计算下列行列式.（1）34215352152809229092； （2）1111111111111111------；（3）ab acae bd cdde bf cfef---. 2. 利用行列式的性质计算下列行列式（1）1234234134124123； （2）1200340000511111.3.用行列式的性质证明下列行列式.（1）111111112222222233333233a kb bc c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++； (2) 22322(b)111a ab b aa b b a +=-4. 解方程2211231223023152319x x -=-.1.3 克莱姆法则本节将应用行列式讨论一类线性方程组的求解问题，这里只讨论未知量个数和方程的个数相等的情形，至于一般情形留到第三章讨论.在1.1节中我们给出了二阶行列式求解二元线性方程组的方法，把这个方法推广到利用n 阶行列式求解n 元线性方程组，这个法则就是著名的克莱姆（Cramer ）法则. 设含有n 个未知量，n 个方程的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.10）称为n 元线性方程组，当其右端的常数项12,,n b b b 不全为零时，线性方程组（1.10）称为非齐次线性方程组；当其右端的常数项12,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组，即1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.11）线性方程组（1.10）的系数ij a 构成的行列式，称为该方程组的系数行列式，记为D .即111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =.定理（克莱姆法则）若线性方程组（1.10）的系数行列式0D ≠，则线性方程组（1.10）有唯一解，其解为j j D x D=， (1,2,,)j n =，其中j D (1,2,,)j n =是把D 中第j 列元素12,,,j j nj a a a 对应地换成常数列12,,,n b b b ，而其余的各列保持不变所得到的行列式，即11111111111j j nj n nj nnj nna ab a a D a a b a a -+-+=.证明从略.推论 如果线性方程组（1.10）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 注 克里姆法则虽然给出了一种求解线性方程组的方法，但有其局限性.首先它只能解决方程个数和未知量个数相同的方程组，其次它的计算量比较大，需要计算1n +个n 阶行列式，当未知量的个数较多时就不太实用，最后要求系数行列式不等于零，对于系数行列式为零的情况就失去作用了.例1.13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解 该线性方程组的系数矩阵为215107513751313061306212021202127712147607712D -------===-------3533301027072772---=--==≠-----.从而由克莱姆法则知，方程组有唯一解.且1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，32181139********46D --==--，4215813092702151470D --==---. 于是得113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. 对于齐次线性方程组（1.11）易见120n x x x ====一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组的零解.如果一组不全为零的数是齐次线性方程组（1.11）的解，则称这种解为齐次线性方程组的非零解.定理1.2 如果齐次线性方程组（1.11）的系数行列式0D ≠，则它仅有零解. 定理1.3 如果齐次线性方程组（1.11）有非零解，则它的系数行列式必为零.注 定理1.3说明系数行列式0D =是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面我们还会证明这个条件还是充分的.例1.14 问λ为何值时齐次线性方程组123123123(1)240,2(3)0,(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解?解 由定理1.2知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D =. 而124231(2)(3)111D λλλλλλ--=-=⋅-⋅--.如果齐次线性方程组有非零解，则(2)(3)0D λλλ=⋅-⋅-=. 即0λ=或2λ=或3λ=时，齐次线性方程组有非零解.习题1.31. 用克莱姆法则解下列线性方程组. （1）251,372;x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）20,230,0;bx ay ab cy bz bc cx az -+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩2. 判断齐次线性方程组123123123220,240,5820x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩是否只有零解?总习题一1.填空题. （1）sin cos cos sin x x xx-= .（2）210341102-= .（3）232323232122313341445155= . （4）已知1112132122233132332a a a a a a a a a =，则212223111213311132123313222333a a a a a a a a a a a a =+++ .（5）当k = 时，方程组12312312330,230,0x x kx kx x x x kx x -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解.2. 选择题.（1）12410221λλ-=-，则λ=（ ）. （A ）3λ=- （B ）10λ= （C ）3λ=-或2λ= （D ）3λ=-或10λ=（2）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ）12341234a a a a b b b b + （C ）()()12123434a a bb a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a bb -- （3）已知n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是（ ）. （A ）n D 中有一行（或列）的元素全为零 （B ）n D 中有两行（或列）的元素对应成比例（C ）n D 中至少有一行的元素可用行列式的性质全化为零 （D ）n D 中各列的元素之和为零（4）已知线性方程组1223132,23,0,bx ax ab cx bx bc cx ax -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩则（ ）.（A ）当0a =时，方程组无解（B ）当0b =时，方程组无解 （C ）当0c =时，方程组无解（D ）当,,a b c 取任意实数时，方程组均有解 3. 计算下列行列式的值.（1）a b a b a b a b+--+； （2）111xy zxy z xyz+++; （3）4111141111411114； （4）100110011001a b c d ---.4. 解下列方程.（1）1212110111x x x +-+=-+； （2）2222333311110x a b c x a b c x a b c =.5. 用克莱姆法则解线性方程组.12342341242342348,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩ 6. 已知非齐次线性方程组12312312334,231,325x x x x x x x x x μ-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有多个解，求μ的值.7. 问λ为何值时，齐次线性方程组()()123123123(1)240,230,10x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解.8. 已知齐次线性方程组1231123213222,533,2x x x tx x x x tx x x tx-+=⎧⎪-+=⎨⎪+=-⎩只有零解，求参数t .。
行列式的性质及克莱姆法则
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
, xn
Dn D
讨论 n 个方程、 n 个未知量的线性方程组的解（分类）
一、非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
二、齐次线性方程组
如何解决这些问题呢？留待以后解决。
4
小结：Crammer法则的使用有极大的局限性
（1） Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数 个数相等的线性方程组；
（2） Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的 线性方程组的唯一解；
即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数 行列式等于零，则Crammer法则失效。
（3）计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。
思考：若D=0 呢？
可能无解，可能有无穷多个解！
板书举例 说明
二、齐次线性方程组
？
齐次线性方程组一定有解（零解 xj=0)，
现在讨论在什么条件下有非零解（感兴趣的）。
定理
1 D 0 (2) 只有零解。
如何证明？？
2 D 0 (2) 有非零解。
说明：现在只能得出有无非零解这种定性结果， 求非零解的方法在后边介绍。
1、 ri表示第i行， cj表示第j列；
2、 交换i, j两行列， 记为
ri rj ci cj
3、 第i行列乘以数k， 记为kri kci ; 4、 第j行列乘以数k加到第i行列， 记为
ri krj ci kcj
引入：
a11x1 a12 x2 b1 (1) a21x1 a22 x2 b2 (2)
行列式_克莱姆法则
是一算式.当n=1时,定义D1 a11 a11 ;当n 2时, 定义 a22 Dn (1)11 a11 an 2 a23 a2 n a21
1+n + +(-1) a1n
a23 a2 n an 3 ann (2.5)
(1)1 2 a12 a22 a2, n 1 an 2 an ,n 1
即：
b1 d1 b2 d 2
b3 d3 b1
b3 d1 d 2
注：行列式加法与矩阵加法不同。
性质5：将行列式某一行（列）的每个元素同 乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素 上，行列式不变。
例如：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
性5
a1 c1 a1 c1 a2 b2 c2 a3 c3
0
推论 2
性2
c1 c2
性质4：如果行列式D中的某一行（列）的每一 个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成两个行列式的和，这两个行列式分别为这两 个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位 置元素与D相同。
a1 c1 a2 c2 a3 c3 a1 a2 b2 c2 c1 a3 c3 a1 c1 a2 c2 a3 d3 c3
1 0 0 0 1 0 E3 0 0 1
等……
1 0...... 0 0 1......0 E n ...... 0 0......1
●上三角形矩阵——主对角线下方元素全为零、上方的
元素不全为0的方阵。如：
D
a11 a12 a1n
a21 an1 a22 an 2 a2 n ann
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
范德蒙行列式拉普拉斯展开克莱姆法则课件
克莱姆法则的条件
总结词
克莱姆法则的应用需要满足一定的条件 ，以确保线性方程组有唯一解。
VS
详细描述
首先，线性方程组中的系数行列式必须不 为零，这是克莱姆法则应用的基本条件。 其次，线性方程组中的未知数个数必须与 方程个数相等，以确保方程组是确定的。 此外，还需要满足线性独立条件，即系数 矩阵的行向量必须是线性独立的。这些条 件共同保证了克莱姆法则的有效性和准确 性。
拉普拉斯展开的应用
拉普拉斯展开在数学、物理和工程等领域有广泛 的应用，如求解二项式定理、计算组合数学中的 一些问题等。
线性方程组的解。
三者之间的区别
范德蒙行列式是一种特殊的行列式，用于求解多元一次方程组，其求解方法基于代数余子式 和代数基本定理。
拉普拉斯展开则是将一个多元多项式表示为其他低阶多项式的和，是线性代数中求解高阶线 性方程组的一种方法。
克莱姆法则则是基于范德蒙行列式的一种求解线性方程组的方法，适用于非齐次线性方程组 。
克莱姆法则的应用
总结词
克莱姆法则是解决线性方程组问题的重要工具，具有 广泛的应用价值。
详细描述
克莱姆法则在数学、物理、工程等多个领域都有应用。 例如，在解析几何中，克莱姆法则可用于解决平面或空 间中的向量和点之间的线性关系问题。在物理学中，克 莱姆法则可用于描述线性系统的动态行为，如电路分析 、波动方程等。在工程领域，克莱姆法则可用于解决各 种线性问题，如结构设计、优化问题等。此外，克莱姆 法则也是研究和应用其他数学工具的基础，如矩阵运算 、特征值计算等。
PART 04
范德蒙行列式、拉普拉斯 展开与克莱姆法则的关系
三者之间的联系
范德蒙行列式、拉普拉斯展开与 克莱姆法则都是线性代数中的重 要概念，它们在解决线性方程组
(整理)范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二． 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。
第四讲行列式计算及克莱姆法则
答案：错误
答案：正确
练习：计算行列式 答案：D=0
§1.4 行列式的应用 ——克莱姆法则
1、n元线性方程组
（1.17）
定义1 若bi(i=1,2,…，n)不全为0，则称（1.17）
式为非齐次线性方程组， 其系数aij(i,j=1,2,…，n)构成如下行列式
称为方程组（1.17）的系数行列式.
定义2 若bi=0(i=1,2,…，n) ，则称（1.17）式为
第一章回顾
一、n阶行列式的定义
1）、对角线法则 2）、排列和逆序数 3）、一般项的另一表示方式
二、行列式的性质
1）、七个性质（转置相等，数乘运算，拆 分，相同行为0，成比例为0，线性运算， 互换运算）
2）、数乘运算、线性运算、互换运算 称为行列式初等运算
三、行列式的展开法则 1）、余子式和代数余子式 （实际上是一个比原行列式低阶的行列式 ）2）、展开法则和性质
对称及反对称行列式
定义 在行列式Dn=(aij)中，若aij=aji,称为对称行列 ： 式；若aij=-aji，称为反对称行列式
问题：反对称行列式主对角线上的元素有什么特点？
试证：奇数阶反对称行列式等于零
证明 由 ：
及行列式性质，有：
n为奇数，故D=-D 有D=0
证毕
练习：判断下列结果是否正确。
齐次线性方程组
对于齐次线性方程组
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做齐 次线性方程组的零解.
如果一组不全为零的数是 方程组的解,则它叫做齐 次线性方程组的非零解.齐次线性方程组
一定有零解,但不一定有非零解.
回顾
当系数行列式
有唯一解
克莱姆法则的二阶形式
行列式计算及克莱姆法则课件
Dn1
(ai aj)
1jin1
下证k=n时，公式成立
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13
1
a1 D
a
n 1
2
a
n 1
1
a1n10a1a1n2
1
a2
a
n 2
2
a
n 2
1
1
an
a
n n
2
a
n n
1
aa2n2n12(aa21aa2n1)2
从最后一行开始，每一行减去它相邻的前 一行乘以a1,即作线性运算 ri a 1 ri 1(2in)
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14
1
1
1
0 ri a1ri 1
(2i n)
a2 a1
an a1
D
0 a22(a2 a1) an2(an a1)
0 a2n1(a2 a1) ann1(an a1)
按第一列展开，有：
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15
a2 a1 an a1
D a2(a2 a1) an(an a1)
a2n2(a2 a1) ann2(an a1)
由D≠0,有：xi
Di (i D
1,2,,n),
即上式满足方程组（1.17），为原方程组的
唯一解
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33
证法二：先证 D i x D i(i 1 ,2 ,,n ),
a11 a1,i1 a1,i a1,i1 a1n D
an1 an,i1 an,i an,i1 ann
a11 a1,i1 b1 a1,i1 a1n
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做齐 次线性方程组的零解.
如果一组不全为零的数是 方程组的解,则它叫做齐 次线性方程组的非零解.齐次线性方程组
1.3 行列式的计算
2. 化三角形法
利用行列式的性质，把行列式逐步转化为等 值的上(或下)三角形行列式.
一般步骤: an1 a21 a31 ⑴ 若 a11 0, 将第一行分别乘 , , ,
a11 a11 a11
加到第 2, 3, , n 行对应元素上，把第一列 a11 以下
的元素全部化为零.
若 a11 0, 则通过行（或列）变换使 a11 0.
1 x3 n x3 2
1 xn n xn 2
n-1阶范德蒙行列式
由归纳假设:
1 x2
n x2 2
1 x3
1 xn ( xi x j ) 2 j i n
n n x3 2 xn 2
于是
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j )
1 0 r3 ( 5) 5 0 0 1 r3 r2 0 5 0 r4 r2 0
5 8 40
0 1 1 1 11 1 1 1 0 1 5 1 0 1 1 1 0 1 1 4 1 11 1 r4 r3 3 5 0 1 11 1 0 12 1 0 0 12 1 0 16 2 0 0 0 2/3
1 1 x2 x1 rn x1rn1 0 x2 ( x2 x1 ) Dn rn1 x1rn 2 0 n 0 x2 2 ( x2 x1 ) r xr
2 1 1
1 xn x1 xn ( xn x1 ) n xn 2 ( xn x1 )
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
n x2 2 ( x2 x1 )
x3 x1 x3xn x1 xn ( xn x1 )
行列式的计算及克莱姆法则
CHAPTER 05
行列式的应用
在几何学中的应用
确定几何形状的面积和体积
行列式可以用于计算多边形的面积和立体的 体积。
线性变换
行列式可以Байду номын сангаас述线性变换，如旋转、平移等。
方向场和梯度
行列式可以用于确定方向场和梯度的计算。
在物理学中的应用
线性弹性力学
行列式在描述物体的弹性性质和应力状态时起到 关键作用。
系数行列式的值不为0时，线性方程组有唯一解；系数行列式的值为0时，线性方程组可能有无穷多解或无解。
系数行列式的计算
通过将线性方程组的系数按照某一行或列展开，得到一个数值，即为系数行列式的值。
利用行列式解线性方程组的方法
克拉默法则
当系数行列式不为0时，线性方程组有唯一解，且可以通过将系数行列式按某一行或列展开，得到线 性方程组的解。
给定线性方程组$begin{cases}x + y = 3 2x + y = 4 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}1 & 1 2 & 1 end{vmatrix} = 1 times 1 - 2 times 1 = -1$， 因为系数行列式的值为0，所以线性方程组无解。
克拉默法则的应用步骤
首先计算系数行列式的值，然后根据系数行列式的值是否为0，确定线性方程组的解的情况，最后通过展 开系数行列式得到线性方程组的解。
克拉默法则的应用实例
要点一
实例1
要点二
实例2
给定线性方程组$begin{cases}2x + y = 5 x - y = 1 end{cases}$，首先计算系数行列式$D = begin{vmatrix}2 & 1 1 & -1 end{vmatrix} = 2 times (-1) - 1 times 1 = -3$， 因为系数行列式的值不为0，所以线性方程组有唯一解。通过 展开系数行列式得到$x = frac{D_{1}}{D} = frac{5 - 1}{-3} = -frac{4}{3}$，$y = 5 - 2x = 5 - 2 times (-frac{4}{3}) = frac{23}{3}$。
行列式的性质及计算、克莱姆法则
本节内容介绍行列式的基本定义，性 质，克莱姆法则，同学们对用行列式解 线性方程组有初步认识。
•
•
12.2.1:二阶行列式
设二元线性方程组为：
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1 b2
用加减消元法求出未知量x1，x2的值 ,
当
时，有
留意这里的分母 是一样的,而且都 是变量系数组成
12.2.5 行列式的性质
P221
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的 性质凡是对行成立的对列也同样成立.
基本性质1 行列式与它的转置行列式相等.
性质2 互换1行列7 式5的两行（列1 ）6,行3列式变号. 性质例3 D如果16行7列6 式52有, 两DT行（1 7列7）6完5 全5 ,相D同，D则T
注意:对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 10
例２
12 3
计算三阶行列式 D 2 -1 5
解 按对角线法则，有
3 0 -2
D 1 (1) (2) 2 5 3 3 2 0
1 5 0 2 2 (2) 3 (1) 3
2 30 0 0 8 9
49
11
例3
1 a 2
计算三阶行列式 D b 1 3
的 n 个元素的乘积的代数和
a11 a12 a1n
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
12.2.4行列式按行（列）展开 1.余子式与代数余子式
例 三阶行列式按第一行展开
Ｐ219
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行列式性质及其计算方法
目录页
Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
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行列式的定义化零降阶法行列式的性
质范德蒙行列式克莱姆法则
行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
矩阵的运算矩阵的转置可逆矩阵分块矩阵初等变换伴随矩阵矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵秩的计算及性质施密特正交法向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
线性方程组解的情况的判别（非）齐次线性方程组的通解线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
相似的定义及性质
对角化特征值的性质特征向量的性质特征值和特征向量的求法实对称矩阵的相似对角化矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
二次型的形式合同化二次型为标准形的方法判别二次型的正定性二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。