向量组及线性表示
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3-2向量组的线性关系
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
向量组的线性表示
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
向量
解析几何
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐 标 有次序的实数组成的数组 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
线性代数向量组
（相关组增加向量仍相关；无关组减少向量仍无关.）
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
向量组及其线性表示
则称向量组A与向量组B等价.
§1 向量组及其线性组合
定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,
定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价.
§1 向量组及其线性组合
1 0
例设有两个向量组A : a1 0,a2 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
则称向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
例
设有两个向量组A :
1
a1
0,
a2
0 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a 2 ,b 2 a1 2 a 2 , a1 2 b1 b 2 ,a 2 b1 b 2 ,
注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam
有解.
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6 A:a11,a22,a30,a41,b7
2a13a2a3a4b
向量b能由向量组A线性表示.
b x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 a 4
方程组
x1 x2 x3 x1 2x2 x4
6 7
有解.
§1 向量组及其线性组合
§1 向量组及其线性组合
定理 向量组B:b1 ,b2 , … ,bl,能由向量组 A:a1 ,a2 , … ,am线性表示的充分必要条件是 矩阵A=(a1 ,a2 , … ,am)的秩等于 矩阵(A,B) =(a1 ,a2 , … ,am , b1 ,b2 , … ,bl)的秩,
定义:若向量组A与向量组B能相互线性表示,则 称这两个向量组等价.
§1 向量组及其线性组合
1 0
例设有两个向量组A : a1 0,a2 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
b1 a1 a2 , b2 a1 2a2 ,
则称向量组B能由向量组A线性表示.
§1 向量组及其线性组合
例
设有两个向量组A :
1
a1
0,
a2
0 1,
及B
:
b1
1 1,b2
12,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a 2 ,b 2 a1 2 a 2 , a1 2 b1 b 2 ,a 2 b1 b 2 ,
注意:向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组 b =x1a1 + x2 a2 + … + xmam
有解.
§1 向量组及其线性组合
例
1 1 1 0 6 A:a11,a22,a30,a41,b7
2a13a2a3a4b
向量b能由向量组A线性表示.
b x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 a 4
方程组
x1 x2 x3 x1 2x2 x4
6 7
有解.
§1 向量组及其线性组合
4.1 向量组及其线性组合
的秩，即 R(A) = R(A , B) .
推论 向量组 A：a1 , a2 , · , am 与向量组 · ·
B：b1 , b2 , · , bl 等价的充要条件是 · · R(A) = R(B) = R(A , B) , 其中 A 和 B 是向量组 A 和 B 所构成的矩阵.
例1
1 1 1 1 1 2 1 0 设1 , 2 , 3 , b , 2 1 4 3 2 3 0 1
第四章
第一节
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合主要内容Leabharlann 向量及向量组的定义 向量组等价
向量组等价的条件
定理的比较
一、向量及向量组的定义
1. 向量的定义
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , · , an 所组 · ·
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数
的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同的向量
a1 a2 , a n n 维列
从而得表示式 b = (1 , 2 , 3) x
= (-3c+2)1 + (2c-1)2 + c3 .
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
向量b能由向量组A线性表示
若n < m,则R( A) ≤ n < m,
故m个向量α1,α2 , ,αm线性相关 .
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结束
(4) 设向量组 A : α1 ,α 2 , ,α m线性无关 ,而B : α1 , ,α m , b
线性相关 ,则向量 b 必能由向量组 A线性表示 , 且表示式 是唯一的 .
证明 记 A = (α1 ,α2 , ,αm ), B = (α1,α2 , ,αm , b) , 有 R( A) ≤ R(B) ≤ R( A) + 1
r
~
⎜⎛ 1 ⎜0
0 2
2 2
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
所以,R(α1
,α
2
,α
3
)
=
2，向量组α1
,α
2
,α
线性相关；
3
R(α1 ,α2 ) = 2,向量组α1 ,α2线性无关.
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结束
例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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结束
思考题
试证明 :
(1) 一个向量 α 线性相关的充要条件是 α = 0； (2) 一个向量 α 线性无关的充要条件是 α ≠ 0； (3) 两个向量 α，β 线性相关的充要条件是
α = kβ或者β = kα ,两式不一定同时成立 .
3
)⎜⎜⎝⎛
故m个向量α1,α2 , ,αm线性相关 .
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结束
(4) 设向量组 A : α1 ,α 2 , ,α m线性无关 ,而B : α1 , ,α m , b
线性相关 ,则向量 b 必能由向量组 A线性表示 , 且表示式 是唯一的 .
证明 记 A = (α1 ,α2 , ,αm ), B = (α1,α2 , ,αm , b) , 有 R( A) ≤ R(B) ≤ R( A) + 1
r
~
⎜⎛ 1 ⎜0
0 2
2 2
⎟⎟⎞，
⎜⎝ 0 0 0⎟⎠
所以,R(α1
,α
2
,α
3
)
=
2，向量组α1
,α
2
,α
线性相关；
3
R(α1 ,α2 ) = 2,向量组α1 ,α2线性无关.
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结束
例6 已知向量组α1,α2 ,α3 线性无关 , b1 = α1 + α2 , b2 = α2 + α3, b3 = α3 + α1, 试证b1, b2 , b3线性无关 .
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
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结束
思考题
试证明 :
(1) 一个向量 α 线性相关的充要条件是 α = 0； (2) 一个向量 α 线性无关的充要条件是 α ≠ 0； (3) 两个向量 α，β 线性相关的充要条件是
α = kβ或者β = kα ,两式不一定同时成立 .
3
)⎜⎜⎝⎛
线代课件-向量组
,
3
0 1
线性表示。
但3不可由向量组B线性表示，故向量组 A不可由
向量组B线性表示，进而向量组 A与向量组B不等价。
1 0 1
（2）向量组B :
1
0 0
,
2
2 0
,
3
1 0
1 0
与向量组
A
: 1
0 0
,
2
10 等价。
§3.2 向量組的線性相關性
一、定義
【定义 4】 设有向量组1,2 , ,m ，
若存在一组不全为零的数 x1, x2 , , xm，使得
x11 x22 xmm 0， 则称向量组1,2 , ,m 线性相关。
否则，称1,2 , ,m 线性无关。即
当且仅当 x1, x2 , , xm全为零时，才有
x11 x22 xmm 0， 则称1,2 , ,m 线性无关。
例 1 1 1,2,3T ,2 2,3,4T ,3 0,0,0T ; 相關
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
【注 1】若 AB C ，则 C 的列向量组可由 A的列向量组线性表示，( AB C ) C 的行向量组可由B的行向量组线性表示。( AB C )
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
线性代数(同济大学第五版)第四章
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系:
b11 b12 b1,n r b21 b22 b2,n r br 1 br 2 br ,n r 1 , 2 , , n r . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
提示：可用方法2证明！
课后题9 设 b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1 , 证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 2011期选考题
1、 设 向 量 组 1 , 2 , 3线 性 无 关 ， 则 向 量 组 D） （ （A） 1 2 , 2 3 , 3 1线 性 无 关 ； （B） 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ； （C） 1 2 3 ,2 1 3 2 3 , 1 4 2线 性 无 关 ； （D） 1 2 2 ,2 2 3 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ；
如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！
d1 d2 dr , 0 0
考试类型题
一、向量组线性相关性的判定
方法1. 从定义出发 令 k11 + k22 + · + kmm = 0, 即 · ·
若只有零解, 则1, 2, · , m线性无关; 否则, 1, · · 2, · , m线性相关. · · 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, · , m, 就得到一个相应 · · 的矩阵A=(1, 2, · , m), 求R(A), 则 · · 若R(A)=m, 则 1, 2, · , m线性无关; · · 若R(A)<m, 则 1, 2, · , m线性相关. · · 利用相关定理(秩的相关性质)
向量组的线性表示
(3) 向量的线性运算成立分配律
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
1 1,b2
1 2
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2, ,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
1) k( )=k k ; 2) (k l) =k l; 上述, , 均为n维向量, k,l均为实数.
二、向量组的线性表示与等价
2.1、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij)mn
1 1,b2
1 2
,
,
2
,
2
,
,
b1 a1 a2 ,b2 a1 2a2 , a1 2b1 b2 ,a2 b1 b2 ,
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1,2, ,m,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
,
a2
1 2
,
a3
1
0
,
a4
0
1
向量组A的一个线性组合：2a1
3a2
a3
a4
2 11
3
1 2
1
0
0 1
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 22 mm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b 能 由向量组 A 线性表示．
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
向量组的线性表示
向量组维度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的维度必须与被表示向量的维度相同。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
2
通过线性表示，我们可以更好地理解向量之间的 关系，进一步研究向量组的性质和特征。
3
在信号处理、图像处理、机器学习等领域，线性 表示被广泛应用于数据的分析和处理。
向量组线性表示的重要性
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
线性无关
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线 性无关，则该向量组不能线性表示一 个非零向量$mathbf{a}$。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
向量与矩阵的定义
要点一
向量
一个n维向量是一个有序的n个实数的集合，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
要点二
矩阵
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的维度必须与被表示向量的维度相同。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
2
通过线性表示，我们可以更好地理解向量之间的 关系，进一步研究向量组的性质和特征。
3
在信号处理、图像处理、机器学习等领域，线性 表示被广泛应用于数据的分析和处理。
向量组线性表示的重要性
1
线性表示在数学、物理、工程等领域有广泛应用， 是解决实际问题的关键工具之一。
线性无关
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线 性无关，则该向量组不能线性表示一 个非零向量$mathbf{a}$。
向量组线性表示的必要不充分条件
向量组长度
如果向量组$mathbf{a_1}, mathbf{a_2}, ldots, mathbf{a_n}$线性表示一个非零向量 $mathbf{a}$，则该向量组的长度（即向量的个数）必须大于等于向量的维数。
向量与矩阵的定义
要点一
向量
一个n维向量是一个有序的n个实数的集合，通常表示为 $mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$。
要点二
矩阵
向量b能由向量组A线性表示
由已知可得
(二)
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (α 1 ,α 2 ,α 3 ) 1 1 0 0 1 1 记作 B = AK， Bx = o，即 A( Kx ) = o 设
方程零 解法
由于 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关 , 故 R( A) = 3， Ay = o 只有零解。 即
, βm
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结束
六、线性相关性与向量组的关系 定理5 (1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
(2) 若 向量组 A： α 1 , α 2 , B : α1 , ,α m 线性相关 , 则 向量组 ,α m ,α m + 1 也线性相关 .反言之 , 若向量组
, am ), B = (a1 , , am , am + 1 )，
则由 α 1 能由 α 2 ,α 3线性表示可知， α 4能由 α 2 ,α 3线性表示，
而 ∴ Kx = o， | K |= 2 ≠ 0，故Kx = o只有零解，∴ x = o
即 B 的列向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。
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例6
已知向量组α1 , α 2 , α 3 线性无关 , b1 = α1 3 , b3 = α 3 + α1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
a m）
因 λ1 , λ 2 , , λ m 1 , ( 1) 这 m 个数不全为0， 故 α1 ,α2 , ,αm 线性相关.
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λ1α 1 + λ 2α 2 +
+ λ m 1α m 1 + ( 1)a m = 0
(二)
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (α 1 ,α 2 ,α 3 ) 1 1 0 0 1 1 记作 B = AK， Bx = o，即 A( Kx ) = o 设
方程零 解法
由于 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关 , 故 R( A) = 3， Ay = o 只有零解。 即
, βm
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六、线性相关性与向量组的关系 定理5 (1) 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
(2) 若 向量组 A： α 1 , α 2 , B : α1 , ,α m 线性相关 , 则 向量组 ,α m ,α m + 1 也线性相关 .反言之 , 若向量组
, am ), B = (a1 , , am , am + 1 )，
则由 α 1 能由 α 2 ,α 3线性表示可知， α 4能由 α 2 ,α 3线性表示，
而 ∴ Kx = o， | K |= 2 ≠ 0，故Kx = o只有零解，∴ x = o
即 B 的列向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。
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例6
已知向量组α1 , α 2 , α 3 线性无关 , b1 = α1 3 , b3 = α 3 + α1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
a m）
因 λ1 , λ 2 , , λ m 1 , ( 1) 这 m 个数不全为0， 故 α1 ,α2 , ,αm 线性相关.
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λ1α 1 + λ 2α 2 +
+ λ m 1α m 1 + ( 1)a m = 0
向量组的线性表示
第三章 向量组§3.1向量组及其线性组合一、向量及其运算1、向量：n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量，数n 称为向量的维数。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量。
注：（1）向量写成一行称为行向量：12(,,,)n a a a α= ，写成一列称为列向量：12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
（3）向量是一种特殊矩阵。
2、线性运算和性质（等同于矩阵的线性运算） （1）向量的加法： （2）向量的数乘：二、向量组及其线性组合1、向量组：由有限个同维向量12,,,m a a a 构成的组合，称之为向量组，记A 或B 。
【注】向量组和矩阵的关系：向量组11211122221212:,,,m m m n n mn a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112111222212m m nn mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪⇒= ⎪⎪⎝⎭2、线性组合给定向量组12:,,,m A a a a ，对于任何一组实数 12,m k k k ，，，表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组 A 的一个线性组合，12,m k k k ，，称为这个线性组合的系数。
3、线性表示给定向量组12:,,,m A a a a 和向量b ，如果存在一组数12,,,m λλλ ，使1122m m b λαλαλα=++则向量b 是向量组A 的一个线性组合，称向量b 能由向量组A 线性表示。
4、 定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(,,,)m A ααα= 的秩等于矩阵12(|)(,,)m A b a a a b = ，，的秩。
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
3[1].3_向量组的线性关系
![3[1].3_向量组的线性关系](https://img.taocdn.com/s3/m/fd956c126edb6f1aff001fa2.png)
因为n个方程n+1个未知量的方程组必有非零解。 规定：单个非零向量线性无关
数学科学学院 徐 鑫
2008年10月9日星期四
三、线性相关性的判定
1、利用线性相关性定义 利用定义判定向量组 A : α1 ,α2 , , αm的线性相关性 的步骤： ①、设有数 k1 , k2 , , km 使 ∑ k k α k = 0;
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
定理3 部分相关 全体相关，反之不然； 全体无关 部分相关，反之不然. 〖证〗设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αk ,αk +1 , ,αm ,且其部分 向量组 A : α1,α2 , 1
k1α1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0,
则称向量组 A 是线性相关的;否则,称之是线性无关的。
知识点转换
向量组的线性表示问题与线性方程组解的问题是可 以相互转化的，即 向量组α1,α2 , ,αm 线性相关（无关） 线性齐次方程组 ∑ xk α k = 0 有非零解（只有零解）
k =1 m
即 本定理反映了线性相关性与线性表示之间的关系。
数学科学学院 徐 鑫
因为 α1,α2 ,
2008年10月9日星期四
基本定理 n元线性齐次方程组 Am × n X = 0 有非 零解 r ( A) < n. 前面证明了 下列各定理均可由基本定理证明.
方程个数小于未 方程个数小于未 知量个数，该方 知量个数，该方 程组必有非零解 程组必有非零解
从而,有
k1 + 2k2 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 3k2 + k3 = 0
由克莱姆法则知：因线性方程组的系数行列式 克莱姆法则
数学科学学院 徐 鑫
2008年10月9日星期四
三、线性相关性的判定
1、利用线性相关性定义 利用定义判定向量组 A : α1 ,α2 , , αm的线性相关性 的步骤： ①、设有数 k1 , k2 , , km 使 ∑ k k α k = 0;
数学科学学院
徐
鑫
2008年10月9日星期四
定理3 部分相关 全体相关，反之不然； 全体无关 部分相关，反之不然. 〖证〗设有向量组 A : α1 ,α2 , ,αk ,αk +1 , ,αm ,且其部分 向量组 A : α1,α2 , 1
k1α1 + k 2α 2 +
+ k mα m = 0,
则称向量组 A 是线性相关的;否则,称之是线性无关的。
知识点转换
向量组的线性表示问题与线性方程组解的问题是可 以相互转化的，即 向量组α1,α2 , ,αm 线性相关（无关） 线性齐次方程组 ∑ xk α k = 0 有非零解（只有零解）
k =1 m
即 本定理反映了线性相关性与线性表示之间的关系。
数学科学学院 徐 鑫
因为 α1,α2 ,
2008年10月9日星期四
基本定理 n元线性齐次方程组 Am × n X = 0 有非 零解 r ( A) < n. 前面证明了 下列各定理均可由基本定理证明.
方程个数小于未 方程个数小于未 知量个数，该方 知量个数，该方 程组必有非零解 程组必有非零解
从而,有
k1 + 2k2 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 3k2 + k3 = 0
由克莱姆法则知：因线性方程组的系数行列式 克莱姆法则
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k11 k L kn n 2 2 为向量组A的线性组合. k1 , k2 , L , kn ，称为
线性组合的系数.
2013年6月14日6时11分
给定向量组A： 1， 2 , L ， n 和向量
若存在一组系数 k1 , k2 ,, kn , 使得
k11 k2 2 L kn n
2013年6月14日6时11分
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运列向量时， 都当作列向量.
2013年6月14日6时11分
3、向量的几何意义：
a. 一维向量集合---- 数轴； b. 二维向量集合---- 平面； c. 三维向量集合---- 空间； d. 四维以上向量集合，无具体几何意义.
1j
2j
mj
2013年6月14日6时11分
从而
矩阵 Kms ( kij ) 称为线性表示的系数矩阵
2013年6月14日6时11分
向量组B 能由向量组A 线性表示
B 中每个向量都可由向量组A 线性表示 存在系数矩阵K，使得B=AK 矩阵方程AX=B有解 R(A)=R(A,B) 矩阵方程AX=B和BY=A都有解 R(A)=R(A,B)=R(B)
2 1 ,a 3 1 5
3 5 ,a 4 2 4
1 3 . 2 5
问向量b能否由向量组 A 线性表示? 解：设 a1 , a2 , a3 , a4 , B (a1 , a2 , a3 , a4 , b)
k11 k2 2
k1 2, k2 1
即 能由
1， 2 线性表示 ，且表示方式唯一
2013年6月14日6时11分
(5) 设 T T 1，0, 3） 1 1，2, 1）, 2 (3,0,4,1)T （- 0， ， （ 0， 判断 能否由 1， 2 线性表示. , , 解二：设 ( 1, 2), B ( 1 2 )
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
a1 , a2 ,, an , b
线性方程组与增广矩阵的列向量组一一对 应
2013年6月14日6时11分
二、向量的运算
（特殊矩阵）
转置、相等、加法、数乘、乘法；运算律
1， 11） （ ， ） （101 ，T （ ， T, 01 2 ,T ， ，） 例：设
求 解
.
T T T
2 2(1, 1,1) (0,1,2) ( 1,0,1) T T T (2, 2,2) (0,1,2) ( 1,0,1)
1, 3 ,1
2013年6月14日6时11分
T
三、 线性组合与线性表示
给定向量组 1， 2 , L ， n ，对于任何一组实数 k1 , k2 , L , kn ，称向量 定义
定义 两个向量组
: 1, 2, L, m B , s； ; : , 2 L 1 ,
若向量组 B 中每个向量都可由向量组A 线性 表示，则称向量组B 能由向量组 A 线性表示. 若向量组 B 与向量组 A 能相互线性表示， 则称向量组 B 与向量组A等价.
2013年6月14日6时11分
2013年6月14日6时11分
A (a1,a 2,a 3)
B (a1,a 2,a 3,b)
0 1 B 2 3
1 0 0 r 0 1 0 ~ 0 0 1 0 0 0 故方程 a1x1 a2x2 a3x3 b 3 0 1 2 2 3 0 1 2 1 1 2
2013年6月14日6时11分
a1 , a2 ,, am .
6.有限个向量的向量组与矩阵一一对应
列向量组
行向量组
2013年6月14日6时11分
7、线性方程组的向量表示：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
A (a1 , a2 , a3 )
B (a1 , a2 , a3 , b)
0 3 2 2 1 0 3 1 a1 , a2 , a3 , b 2 1 0 1 3 2 1 2
1/4 1/2 1/4 0
1 1 1 即 b 4 a1 2 a 2 4 a 3
2013年6月14日6时11分
x1 1/4 x x2 1/2 x 1/4 3
的解为
四、向量组的线性表示与等价
第n个分量
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 a , b , ,
T T T
T
等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
T T
T
判断 能否由 1， 2 线性表示. k1 3k2 1 解：设 k11 k2 2 k2 0 00 0 3 k1 , k 2 不存在,
即 不能由 1， 2 线性表示.
2013年6月14日6时11分
线性表示判定方法
向量 能由 1 , 2 , L , n 线性表示
x11 x L xn n 有解； 2 2
R(A) R(B)
其中
A (1, 2, L , n B 1 L n ) ), ( , ,2 , ,
2013年6月14日6时11分
(5) 设 T T 1，0, 3） 1 1，2, 1）, 2 (3,0,4,1)T （- 0， ， （ 0， 判断 能否由 1， 2 线性表示. 解一：设
§1
目的要求
向量组及线性表示
（1）了解向量概念； （2）掌握向量加法、数乘运算法则； （3）理解向量的线性组合、线性表示概念； （4）掌握线性方程组与线性表示的关系.
2013年6月14日6时11分
一、n 维向量的概念
1.定义： n 个有次序的数 a1 , a2 , L , an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的 个分量， n
Q n x1e1 x2e2 L xnen （3）1， 2 , L ， n 中任何一个向量 j 都能由 1， 2 , L ， n 线性表示；
Q1 1 1 0 2 L 0 n
2013年6月14日6时11分
线性表示；
（- 0， ， （ 0， (4) 设 1，0, 3） 1 1，0,0）, 2 (3,1,0,0)
称
()
成立，则称 是 1， 2 ， ， n 的一个线性组合
可由 1， 2 ， ， n 线性表示.
若不存在系数 k1 , k2 ,, kn , 使（*）成立
称 不能由 1， 2 ， ， n 线性表示.
2013年6月14日6时11分
能否线性表示，只需看 k11 k2 2 kn n 注：
2013年6月14日6时11分
思考题
在日常工作、学习和生活中，有许多问 题都需要用向量来进行描述. 比如一个本科学生大学阶段共修36门 课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的 学业水平用一个向量来表示，这个向量是 几维的？请大家再多举几例,说明向量的实 际应用． 答 36维的． 如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
r 4 r 1 r 3 2 r 1 r 4 2r 3 r 2 r 3
r1 3r 2
1 r2 2
R(A) R(B) 2
即 能由
1， 2 线性表示
2013年6月14日6时11分
(6) 设 已知向量
向量组
2 6 b ， 8 7 1 3 A : a 1 ,a 2 2 0
第i个数ai称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
默认为实向量
2013年6月14日6时11分
例如
(1,2,3,, n)
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
第2个分量 第1个分量
2013年6月14日6时11分
n维实向量 n维复向量
（ （ , 2 , ) 若记 A 1 , 2 , L , m), B 1 , L s 向量组B 能由向量组A 线性表示，即对每个向量 bj 存在数 k , k , L , k 使得
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m k1 j k2 j 1 , 2 ,, m ) （ , k mj
7 0 0 0 5 4 1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1
R(A) 3 R( B) 4
因此向量 b 不能由向量组 A 线性表示.
2013年6月14日6时11分
(7) 设
证明：向量b 能由向量组 a1 , a2 , a 线性表示， 3 并求出表示式. 证明 令
n
中的 n 1 维超平面．
4.特殊向量（与矩阵类比可知）
a. 零向量： n (0, 0, L , 0)T O b. 负向量： (a1 , a2 , L , an )T c. n 维单位坐标向量组：
1 0 0 0 1 0 e1 , e2 , L , en M M M 0 0 1