向量组及其线性组合

第二节 向量组及其线性组合

内容分布图示

★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵

★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2

★ 线性方程组的向量形式

★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5

★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9

★ 向量组间的线性表示

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-2

★ 返回

内容要点：

一、n 维向量及其线性运算

定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.

注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.

若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列

组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行

组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.

根据上述讨论，矩阵A 记为

),,,(21n A 或

n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组

的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.

定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即

由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：

),,,(2211n n b a b a b a .

定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即

),,,(21n ka ka ka k .

向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.

注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:

(1) ;

(2) )()( ;

(3) ; o

(4) ;)(o

(5) ;1

(6) ;)()( kl l k

(7) ;)( k k k

(8) .)( l k l k

二、向量组的线性组合

考察线性方程组

m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 令

m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1( 则线性方程组(1)可表为如下向量形式:

n n x x x 2211 (2)

于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：

定义4 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式

称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.

定义5 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使

则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 注：(1) 能由向量组s ,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211有唯一解；

(2) 能由向量组s ,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211有无穷多个解；

(3) 不能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211无解；

定理1 设向量

m b b b 21 ，),,,2,1(21s j a a a mj j j j

则向量

能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A 与矩阵),,,,(~21 s A 的秩相等.

三、向量组间的线性表示

定义6 设有两向量组

若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.

按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在

使

所以

其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵.

引理 若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.

定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.

例题选讲：

n 维向量及其线性运算

例1(讲义例1)设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T

T 如果向量满足,0)(2321 求 .

例2 (讲义例2)设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T

(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x 例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,02,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合.

例4 证明:向量)5,1,1( 是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321 的线性组合并具体将 用321,, 表示出来.

例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1( 及)2,3,3(的线性组合.

向量组的线性组合

例 6 (讲义例3) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都是n 维向量单位组

T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 的线性组合.

因为 .2211n n a a a

例7 (讲义例4) 零向量是任何一组向量的线性组合.

因为 .00021s o

例8 (讲义例5) 向量组s ,,,21 中的任一向量)1(s j j 都是此向量组的线性组合.

因为 .0101s j j

例9 (讲义例6)判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合. 若是, 写出表示式.

课堂练习

1.试问向量 能否由其余向量线性表示 若能, 写出线性表示式:

2.已知向量组 (B):321,, 由向量组 (A):321,, 的线性表示式为

试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示.