向量组及其线性组合
向量组及其线性组合
★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点： 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论，矩阵 A 记为pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •"J这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：,，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：（a1 _b 1, a2 "2， ，a n - bn ） •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律：（1）?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；（3） 小0-：；（4）： （：） 0；★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合（5）1：=■'；（6）k（l：）=（kl）：;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2，…，n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式：込X 2亠.亠：：皿--线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数成立：定义4给定向量组A q ,。
3-2_向量与向量组的线性组合
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
第四章向量组的线性相关t
第四章向量组的线性相关t第—节向量组及其线性组合定义:n个有次序的数a,aya _所组成的数组称为u维问量记作α=(ay,az….,a_).第i个数a,称为向量o的第i个分量。
分量全为实数的向量勒实问量，分量为豆翻闵量称为复向品列向量用a,b,a,β表示，行向量用a,b,o,表示。
-髅所说向量，不加说明时，指列向量.维向量全体组成的集1R”—{(*1,2..,'lN,2-....NER}叫做n维向量空间。
向量组:由若干个同维数的列题或行向量所组成的集至定义给定向量组A:,口g。
对于任何一组实薮k, k.k，表达式4+k,og+...kw称为问量组A的一个线性组合，k,k , .k_称为这个线性组合的系数-例:-1—1求线性组合2a—a-解:2c一a---(-3-8例:向量组α=(1,2,1),求向量组的全体线性组合组成的集合L(a)k α解:L(α)={kα|k ∈R}一{(k,2k,k)'|keR}例:=(1,0,0)T，=(0,1,0)'的全部线性组合组成的集合L。
和为由向量x,a,生成的问量空配作(,az)解:L={ka+k,alk,k∈R}y{(,k,o|k,kER}poL(,z)= xoy平面定义:给定向量组:&,&...和向勖，如果存在一组数3,元2.,使b=入+入αy+...+Amm称向最能由向量县线性表示ox)例:动-oeileo则a-工。
可以由,,e,e线性表示8o8a-可以t5)....o_a-中于1+o=xe+x,e,+xgelolo任何一o维向量都可以由,ez,e线性表示.如何判断向最可以由向量组A线性表示?u定理:向量b可以由4:线性表示的充要条件是方程组Ax-b有解其中A的列向量组由4....o,构成。
注:所得解N...x,，就是线性表示的系数见P83例、设a-1.a-2a--.b -o证明向量b能由向量组,,α线性表示,求表达式。
向量组及其线性组合
向量组及其线性组合
向量组
向量组的线性组合
1.1 向量组
定义1 n 个有次序的数 a1 ，a2 ， ，an 所组成的数组称为 n 维向量。
ai称为该向量的第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向 量，分量为复数的向量称为复向量。
n 维向量可以写成一列，记作
a1
a2
an 称为列向量，也就是n 1 列矩阵。
x
y
，
z
这就是三维向量。
在例1中，若记 D a11 a12 ，则称D为二元线性方程组
a21 a22
的系数行列式，把系数行列式第j列元素用方程组右端的常数项 代替后得到二阶行列式 Dj ( j 1，2) ，即有
D1
b1 b2
a12 a22
，D2
a11 a21
b1 b2
当 D 0 时，例1方程组的唯一解可表示为
n 维向量也可以写成一行，记作
Τ (a1 ，a2 ， ，an ) 称为行向量，也就是1 n 列矩阵。
规定：n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设 λ 是数，n 维向量
a1
b1
a2
，
b2
an
bn
则
a1 b1
a1
a2
b2
，
a2
an bn
an
0 12
3 9
1 6 4 1 4
0 16 12
1 1 7 11
8 12
1 6 4 1 4
r
0
1
3 4
1 4
1
4 ．
0 0
0 0
0 0
1 0
2 0
由于 R( A) R(B) 3 4 ，因此，向量 β 可由向量组 1 ，2 ，3 ，4 线性表示，但表示式不唯一。
Chapter 4-1 向量组及其线性组合
由上章 定理 6 矩阵方程 可得 AX = B 有解的充要条件
R(A) = R(A , B) .
定理 2 向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向量
组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示的充要条件是矩阵 A = (a1 , a2 , · · ·, am ) 的秩等于矩阵
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
注：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
a11 a21 A a m1
a12
a22 am 2
a1n a2 n , amn
证明向量组 a1 , a2 与向量组 b1 , b2 , b3 等价.
根据矩阵的秩的性质及定理2，由下述结论
Байду номын сангаас
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 记法： 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 并规 定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因此, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同 的向量.
第1讲向量组及其线性组合
（2）向量组与向量组 定义：
设有两个向量组A : 1,2, ,m及B : b1, b2, , bs.
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性有关旳，不然称它线性无关．
注：
10
若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0 成立 .
20 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
30 向量组只包含一个向量 时, 若 0,则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
由初等变换可逆性可知： A的行向量组能由B的行向量组线性表示，
A的行向量组与B的行向量组等价. 类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的列向量组
与B的列向量组等价.
§2 向量组旳线性有关性
一、线性有关性旳概念
定义： 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1, k2 , , km使
故：1 , 2 ,, m 线性有关.
必要性： 设 1 , 2 ,, m 线性有关，
则有不全为0旳数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k2 2 km m 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一种不为0，不妨设 k1 0,
则有： 1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
（ii） 向量组线性无关的充分必要条件是R( A) m.
三、线性有关性旳主要性质
chapter4向量组及其线性组合
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
向量组
1
2
j
n
, n 称为矩阵Ａ的列向量组.
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
向量组 A : 1T , 2T ,
a1 n a2n a in a mn
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为
向量组．
当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向 量组含有无穷多个向量．
a11 A34 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
有限向量组
a14 a24 1 , 2 , 3 , 4 a34
Coefficient
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 1, 2, …, m ，使得 b = 1a1 + 2a2 + … + mam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． Linear Expression
1 0 En 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 bn 0 1 0 0 0 1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3 x1 4 x2 x3 5 x1 x2 2 x3 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5 1 1 2 1
T 1
T 2
向量组及其线性组合
二、特殊的矩阵
• 只有一行的矩阵 A (a1, a2 , , an ) 矩阵(或行向量) .
称为行
a1
B
a2
只有一列的矩阵
an
称为列矩阵(或列向量) .
n 维向量的运算
an1 an2
线性方程组
Ax = b
有解
a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R( A) R( A,b)
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若
向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量
因为 R(B) ≤ R(A, B)
R(B) ≤ R(A) 推论：向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl 等
价的充分
必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B)．
证明：向量组 A 和 B 等价
R(A) = R(A, B)
向量组 B 能由向量组 A 线性R表(B示) = R(A, B)
线性表示的 系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am
线性表示
存在矩阵 K，使得 AK = B
矩阵方程 AX = B 有解
R(A) = R(A, B)
第八讲 向量组及其线性组合
α + β = β + α; (α + β ) + γ = α + ( β + γ ); α + 0 = α; α + ( −α ) = 0; 1α = α ; k ( lα ) = ( kl )α ; k (α + β ) = kα + kβ ; ( k + l )α = kα + lα . n 其中 α , β , γ ∈ R , k , l ∈ R.
第三章小结
矩阵 的初 等变 换与 线性 方程 组
矩阵的初 等变换
矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵初等变换的应用 矩阵秩的定义 矩阵秩的求法
矩阵的秩
线性方程组 线性方程 组的解 线性方程组解的存在性判定定理 线性方程组通解的求法
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
例
设 α1 = ( 2,−4,1,−1) , α 2 = ( −3,−1,2,−5 / 2) ,
T T
如果向量满足 3α 1 − 2( β + α 2 ) = 0, 求 β . 由题设条件, 解 由题设条件, 有
3α 1 − 2β − 2α 2 = 0
β = − 1 ( 2α 2 − 3α1 )
1 对于齐次线性方程组 = 0 推论 ： Ax
则：
R( A) = n ⇔ Ax = 0只有零解
R( A) < n ⇔ Ax = 0有非零解
求解线性方程组的步骤： 求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 写出增广矩阵， 用初等行 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解， 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 行最简形矩阵首非零元素 对应的未知量为非自由未知量， 对应的未知量为非自由未知量 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解） 令自由未知量为 从而得到方程组的通解（一般解） 从而得到方程组的通解
线性代数 第一节 向量组及其线性组合
2、矩A 阵 (ai)jm n有 n个 m 维列向量
a1 a11
a2 a12
aj a1j
an a1n
A
a21
a22 a2j
a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向量
定理 2 向量B组 :b1,b2,,bl能由向量 A:a组 1, a2,,am线性表示的充分 件必 是要 矩A条 阵 (a1,a2,,am)的秩等于(A矩 , B)阵 (a1,a2,, am,b1,b2,,bl )的 秩 ，R 即 (A)R(A, B).
推 论 向 量 A:a 组 1,a2, am与 向B 量 :b1,组 b2, bl 等 价 的 充 分 必 R(A)要 R(条 B)件 R(A,是 B) 其A 中 和 B是 向A 量 和 B所 组构 成.的 矩 阵
则向b量 是向量A的 组线性组合，向这量时b能称 由向量组 A线性表示．
例 如 :1 (1 ,2 ,3 ),2 (1 ,3 ,1 ),b (0 , 1 ,2 ) 则 b 1 2 ,即 b 可 由 1 , 2 线 性 表 示 .
3、定理
定 1理 向 b 可 量由1 ,向 2 , m 量 线组 性
a
a2
a n
n维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT,bT,T,T等表示，如：
aT(a1,a2, ,an)
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
第1节 向量组及其线性组合
就是一个由四个3维列向量a1, a2, a3, a4 构成的向量 组.
3. 矩阵与向量组的关系 例如 矩阵A (aij )mn 有n个m维列向量 aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
个数ai 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向 量称) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
第2个分量 第1个分量
n维实向量 n维复向量
第n个分量
后面我们只讨论实向量.
n维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行 矩阵, 通常用a T , bT , T , T等表示, 如：
证明 向量b能由向量组a1 , a2 , a3 线性表示, 并求出表 示式.
解 只需证明矩阵A=(a1, a2, a3)与B=(A, b)的秩相等.
为此, 把B化成行最简形：
1 1 B 2 2 1 1 2 1 1 4 3 0 1 0 r ~ 3 1
1 0 0 0 0 3 2 1 2 1 , 0 0 0 0 0 0
同时,C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
1T a11 a12 a1 s 1T T T 2 a 21 a 22 a 2 s 2 T a T a m 2 a ms s m m1
证明向量组a1, a2 与向量组b1, b2 , b3等价. 证明 记A= (a1, a2), B=(b1, b2, b3). 只要证 R(A)=R(B)=R(A, B). 为此把矩阵(A, B) 化为行阶梯形：
第四章-向量组及其线性组合
线性代数——第 4章
定理2 定理
向量组B能由向量组 线性表示 向量组 能由向量组A线性表示 能由向量组 ⇔ R(A) = R(A, B).
推论 向量组 A : a1 ,a2 , ...,am 与向量组 B : b1 ,b2 , ...,bn 等价⇔ 等价⇔ R(A) = R(B) = R(A, B)
定义3 定义3
设有两个向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 及 B : β 1 , β 2 ,L , β s .
线性表示， 若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示，则 称 向量组 B能由向量组 A 线性表示 . 若向量组 A 与向 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价． 能相互线性表示， 向量组等价．
学习本章要特别注意: 学习本章要特别注意 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 突出的典型问题是对关系式
(b1 , b2 , b3 ,⋅ ⋅ ⋅, bl ) = (a1, a2 , a3 ,⋅ ⋅ ⋅am ) K m×l
即
B = AK
所作的解释： 所作的解释： 方程语言： 是矩阵方程Ax＝ 的一个解 K是矩阵方程 的一个解； 方程语言： 是矩阵方程 ＝B的一个解； 矩阵语言： 是 与 的乘积矩阵 的乘积矩阵； 矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵； 几何语言： 向量组B能由向量组 线性表出， 能由向量组A线性表出 几何语言： 向量组 能由向量组 线性表出， K是这一表示的系数矩阵 是这一表示的系数矩阵
同时， 同时， C的行向量组能由 B的行向量组线性表示 , A 为这一表示的系数矩阵 ：
γ 1T a11 T γ 2 a 21 M = M T γ a m m1 a12 a 22 M am 2 L a1 s β 1 T T L a 2 s β 2 M M T L a ms β s
线性代数4.1 向量组及其线性组合
的集合称为向量组．
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向量组可能含有有限个向量，也可能含有无限多 个向量．
例如， 一个 m n 矩阵的全体列向量 组成一个含
n 个 m 维列向量的向量组， 它的全体行向量 组成一 个含 m 个 n 维行向量的向量组． 矩阵的列向量组和
行向量组都是含有有限个向量的向量组．反之，一个 含有有限个向量的向量组也可以构成一个矩阵．例如，
能由向量组
A
线性表示，并
求出表示式．
解 设矩阵 A (a1 , a2 , a3) , 矩阵 B A, b,
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先将矩阵 B 化成行阶梯形矩阵
1 1 1 1
B (a1, a2
矩阵 A
,
a3
,
b)
1 2 2
2 1 3
1 4 0
0
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
量用转置符号 aT , bT , αT , βT 等表示．
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例如，若列向量
a1
a
a2
an
,
则，行向量 aT (a1, a2 , , an ) .
注：这里所讨论的向量，在没有指明是行向量还
是列向量时，都指列向量． 由若干个同维数的列向量 或同维数的行向量组成
也可以写成一列，即
a2
.
an
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按第2章矩阵的定义， 它们分别是行矩阵和列矩 阵，也称为行向量和列向量， 且规定行向量和列向量 都可按矩阵的运算法则进行运算． 因此， 用两种不同
形式表示的n 维向量 以后看作是两个不同的向量．
向量组及其线性组合
m个n维向量 组成的向量 组，当维数 n小于向量 个数m 个数m时， 一定线性相 关吗？ 关吗？
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关， 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关， B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关，而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关，
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A：α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示， 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示，则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
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第二节 向量组及其线性组合
内容分布图示
★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵
★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2
★ 线性方程组的向量形式
★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9
★ 向量组间的线性表示
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-2
★ 返回
内容要点：
一、n 维向量及其线性运算
定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.
注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列
组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行
组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.
根据上述讨论，矩阵A 记为
),,,(21n A 或
n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.
矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组
的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组.
定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
),,,(2211n n b a b a b a .
定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即
),,,(21n ka ka ka k .
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1) ;
(2) )()( ;
(3) ; o
(4) ;)(o
(5) ;1
(6) ;)()( kl l k
(7) ;)( k k k
(8) .)( l k l k
二、向量组的线性组合
考察线性方程组
m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (1) 令
m mj j j j b b b n j a a a 2121),,,2,1( 则线性方程组(1)可表为如下向量形式:
n n x x x 2211 (2)
于是, 线性方程组(1)是否有解, 就相当于是否存在一组数n k k k ,,,21 使得下列线性关系式成立：
定义4 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式
称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.
定义5 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使
则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 注：(1) 能由向量组s ,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211有唯一解；
(2) 能由向量组s ,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211有无穷多个解；
(3) 不能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组 s s x x x 2211无解；
定理1 设向量
m b b b 21 ，),,,2,1(21s j a a a mj j j j
则向量
能由向量组s ,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21s A 与矩阵),,,,(~21 s A 的秩相等.
三、向量组间的线性表示
定义6 设有两向量组
若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在
使
所以
其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵.
引理 若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵. 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵.
定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示, 向量组B 可由向量组C 线性表示, 则向量组A 可由向量组C 线性表示.
例题选讲：
n 维向量及其线性运算
例1(讲义例1)设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21T
T 如果向量满足,0)(2321 求 .
例2 (讲义例2)设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T
(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x 例3 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,02,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合.
例4 证明:向量)5,1,1( 是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321 的线性组合并具体将 用321,, 表示出来.
例5 证明: 向量)5,5,4(可以用多种方式表示成向量),3,2,1()4,1,1( 及)2,3,3(的线性组合.
向量组的线性组合
例 6 (讲义例3) 任何一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都是n 维向量单位组
T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 的线性组合.
因为 .2211n n a a a
例7 (讲义例4) 零向量是任何一组向量的线性组合.
因为 .00021s o
例8 (讲义例5) 向量组s ,,,21 中的任一向量)1(s j j 都是此向量组的线性组合.
因为 .0101s j j
例9 (讲义例6)判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合. 若是, 写出表示式.
课堂练习
1.试问向量 能否由其余向量线性表示 若能, 写出线性表示式:
2.已知向量组 (B):321,, 由向量组 (A):321,, 的线性表示式为
试将向量组(A)的向量由向量组(B)的向量线性表示.。