向量组及其线性组合1b
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向量组及其线性组合
★定理1★向量组间的线性表示 ★内容小结 ★习题3-2★返回★ 向量组与矩阵★ 例1★ 例2第二节向量组及其线性组合内容分布图示内容要点： 一、n 维向量及其线性运算定义1 n 个有次序的数 印卫2,…，码所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量 的n 个分量，第i 个数a j 称为第i 个分量.注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动 的有向线段作为向量的几何形象 •引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序 实数），此即上面定义的 3维向量.因此，当n 岂3时，n 维向量可以把有向线段作为其几何 形象•当n 3时，n 维向量没有直观的几何形象•若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组 •例如，一个m n 矩阵 每一列 组成的向量组 冷，＞2，…，〉n 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵 A 的的每一行 组成的向量组匚辽，…，十称为矩阵A 的行向量组•根据上述讨论，矩阵 A 记为pu A % A =（G I ，C （2,…，U n ）或 A= 1 •"J这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组 •而线性方程组 的全体解当r （A ） ::: n 时是一个含有无限多个 n 维列向量的向量组•定义2 两个n 维向量〉=佝旧2,…，a .）与］=（b,，b 2,…，*）的各对应分量之和组成的向 量，称为向量爲与：的和，记为x 亠1：,，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：（a1 _b 1, a2 "2， ，a n - bn ） •定义3 n 维向量〉珂①宀?,…，a .）的各个分量都乘以实数 k 所组成的向量，称为数 k 与向量二的乘积（又简称为数乘），记为k _：i ，即k ： =（ka i ,ka 2, ,ka n ）.向量的加法和数乘运算统称为 向量的线性运算•注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律：（1）?■■-■:■； （2） （、• I'） （： ^ ）；（3） 小0-：；（4）： （：） 0；★ n 维向量的概念★向量的线性运算 ★线性方程组的向量形式 ★向量组的线性组合（5）1：=■'；（6）k（l：）=（kl）：;(2)k i ,k 2/ ,k n 使得下列线性关系式:s ，对于任何一组实数 k i ,k 2,…，k s ,表达式A 的一个线性组合，k i ,k 2,…，k s 称为这个线性组合的系数. 给定向量组A:：1,：2,…，：s 和向量-,若存在一组数k i ,k 2, ,k s ,使(7) k(、；、卜)=k ：；亠 kl ，; (8) (k I)： =k ：：£ T ：. 二、向量组的线性组合 考察线性方程组a ii X i - a i2X 2 ……ain X n 二b a 2l X i - a 22X 2 川…川‘a 2n X n 二 b 2ami x i ' a m2X 2 ：：「八：:「a mn xn = b ma 2jb 2G j =3(j =1,2，…，n), 3 = al bm 丿则线性方程组(i)可表为如下向量形式：込X 2亠.亠：：皿--线性方程组(i)是否有解，就相当于是否存在一组数成立：定义4给定向量组A q ,。
线性代数第四章第一节向量组及其线性组合课件
矩阵方程组 AX = B 有解
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
R( A) R( A,b)
R(A) R(A, B) R(B) R( A)
R( A) R(B) R( A, B)
知识结构图
n维向量 向量组 向量组的线性组合 向量组的线性表示 向量组的等价
向量组与矩阵的对应
判定定理及必要条件 判定定理
存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl ，使 AP1 P2 …, Pl = B
把 P 看成
存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B
是 线性表示的
系数矩阵
矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
同理可得
r
A~ B
矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
向量组 B：b1, b2, …, bl 能由向量组 A：a1, a2, …, am 线性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) ≤ R(A) （P.85 定理3） 因为 R(B) ≤ R(A, B)
1
1 0 0
0
0
1
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
(
A,
b)
1
2
1
0
r
~
同济版线性代数课件-第一节向量组及其线性组合
实际应用举例
电路分析
在电路分析中，经常需要求解由 基尔霍夫定律列出的线性方程组，
以确定各支路的电流或电压。
经济学
在经济学中，线性方程组常用于 描述市场均衡条件，如供求平衡、
投入产出分析等。
工程技术
在工程技术领域，如结构力学、 流体力学等，经常需要求解由物
理定律导出的线性方程组。
04 矩阵运算与性质回顾
分配律
矩阵乘法满足分配律， 即A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA。
数乘分配律
数乘运算满足分配律， 即k(A+B)=kA+kB， (k+l)A=kA+lA。
矩阵秩概念引入
矩阵秩的定义
矩阵A中不等于0的子式的最大阶 数称为矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩满足一些基本性质，如
同济版线性代数课件-第一节向量 组及其线性组合
目录
• 向量组基本概念与性质 • 向量空间与子空间 • 线性方程组求解与讨论 • 矩阵运算与性质回顾 • 特征值与特征向量初步探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 向量组基本概念与性质
向量定义及表示方法
01
02
03
向量的定义
向量是既有大小又有方向 的量，常用带箭头的线段 表示。
矩阵基本运算规则回顾
加法运算
两个矩阵相加，要求它们的行数和列数分别相等， 相加时对应元素直接相加。
数乘运算
一个数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵的每一个元 素。
乘法运算
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数，相乘时对应元素相乘再相加。
矩阵性质总结
结合律
线性代数第四章
§3 向量组的秩
定义5 设有向量组 A， 如果在A中能选出 r个向量a1 , a 2 , , a r， 满足(1) 向量组A0 : a1 , a 2 , , a r 线性无关; ( 2) 向量组中 任意r 1个向量(如果A中有r 1个向量的话 )都线性相关 ， 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向 量组(简 称最大无关组 )， 最大无关组所含向量个 数r称为向量组 A 的秩， 记为RA .
a T (a1 , a2 ,, an )
二、向量的运算
三、向量组
定义 由若干个同维数的列向 量(或同维数的行向量 )构成 的集合称为向量组 . a11 a12 a1n a21 a22 a 2 n A a a a m2 mn m1 A (1 , 2 , , n ) , 其中 j (a1 j , a 2 j , , a mj )T T T A ( , , , ) , 其中 1 2 m i ( a i 1 , a i 2 , , a in )
向量组B : b1 , b2 , , bl 能由向量组向量 A : a1 , a2 , , am 线性表示 R( A) R( A, B ) 有矩阵K， 使得B AK 矩阵方程 AX B有解
例( P 86例 3) 设n维 向 量 组 A : a1 , a 2 , , a m 构 成n m 矩 阵 A ( a1 , a 2 , , a m )，n阶 单 位 矩 阵 E (e1 , e 2 , , e n )的 列 向 量 称 为n维 单 位 坐 标 向 量 .证 明 : n 维 单 位 坐 标 向 量 e1 , e 2 , , e n能 由 向 量 组 A线 性 表 示 的 充 要 条 件 是 R( A) n.
3.2向量及其线性组合1-PPT课件
o ( 0 , 0 ,..., 0 ) 即
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
Chapter 4-1 向量组及其线性组合
由上章 定理 6 矩阵方程 可得 AX = B 有解的充要条件
R(A) = R(A , B) .
定理 2 向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向量
组 A：a1 , a2 , · · ·, am 线性表示的充要条件是矩阵 A = (a1 , a2 , · · ·, am ) 的秩等于矩阵
例2 设
1 3 2 1 3 1 1 0 1 1 a1 , a2 , b1 , b2 , b3 , 1 1 1 0 2 1 3 1 2 0
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
注：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
a11 a21 A a m1
a12
a22 am 2
a1n a2 n , amn
证明向量组 a1 , a2 与向量组 b1 , b2 , b3 等价.
根据矩阵的秩的性质及定理2，由下述结论
Байду номын сангаас
定理 3 设向量组 B：b1 , b2 , · · ·, bl 能由向
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
n 维向量可写成一行, 也可写成一列, 分别称 记法： 为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 并规 定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因此, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同 的向量.
第1讲向量组及其线性组合
矩阵A (a1, , am )的秩等于矩阵B (a1, , am,b)的秩
（2）向量组与向量组 定义：
设有两个向量组A : 1,2, ,m及B : b1, b2, , bs.
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性有关旳，不然称它线性无关．
注：
10
若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0 成立 .
20 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
30 向量组只包含一个向量 时, 若 0,则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
由初等变换可逆性可知： A的行向量组能由B的行向量组线性表示，
A的行向量组与B的行向量组等价. 类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的列向量组
与B的列向量组等价.
§2 向量组旳线性有关性
一、线性有关性旳概念
定义： 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1, k2 , , km使
故：1 , 2 ,, m 线性有关.
必要性： 设 1 , 2 ,, m 线性有关，
则有不全为0旳数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k2 2 km m 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一种不为0，不妨设 k1 0,
则有： 1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
（ii） 向量组线性无关的充分必要条件是R( A) m.
三、线性有关性旳主要性质
（2）向量组与向量组 定义：
设有两个向量组A : 1,2, ,m及B : b1, b2, , bs.
若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示.
若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 向量组等价。
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性有关旳，不然称它线性无关．
注：
10
若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0 成立 .
20 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关 .
30 向量组只包含一个向量 时, 若 0,则说 线性相关, 若 0,则说 线性无关 .
由初等变换可逆性可知： A的行向量组能由B的行向量组线性表示，
A的行向量组与B的行向量组等价. 类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的列向量组
与B的列向量组等价.
§2 向量组旳线性有关性
一、线性有关性旳概念
定义： 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1, k2 , , km使
故：1 , 2 ,, m 线性有关.
必要性： 设 1 , 2 ,, m 线性有关，
则有不全为0旳数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k2 2 km m 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一种不为0，不妨设 k1 0,
则有： 1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
（ii） 向量组线性无关的充分必要条件是R( A) m.
三、线性有关性旳主要性质
向量组及其线性组合
若向量组A与向量组B能相互线性表示, 则称向量 组 A 与B 等价.
设有两个向量组 A : 1 , 2 ,, m 及 B : 1 , 2 ,, s .
向量组 B 能由向量组 A 线性表示
即有 j k1 j1 k2 j 2 kmj m ,
记矩阵 A (1 , 2 ,, m ) , B ( 1 , 2 ,, s ) ,
若存在一组数1 , 2 ,, m , 使 b 1 1 2 2 m m
则称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
例如:
1 1 0 给定向量组 A : 1 2 , 2 3 和向量 b 1 , 3 1 2 则有 : b 1 2 ,
量, 记 A (1 , 2 ,, m ),
向量组 1, 2, , m 称为矩阵A的列向量组. 3.一个mn矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个n维行向量,
1T T 记 A 2 , T m
T T T 向量组 1 , 2 ,, m
1 3 1 2 0 3 1 1 0 ຫໍສະໝຸດ 3 1 1 0 6 2 2
1 0 r3 r2 4 r2r2 0 0
2 3 0 0
1 1 0 0
3 1 , 0 0
可知 R(A)=R(B)=R(A,B)=2, 故向量组 1, 2 与向量组 1, 2 等价.
1 2 1 3 1 1 0 2 例2 设 1 , 2 , 1 , 2 , 1 1 0 2 1 4 1 1 证明向量组 1, 2 与向量组 1, 2 等价.
设有两个向量组 A : 1 , 2 ,, m 及 B : 1 , 2 ,, s .
向量组 B 能由向量组 A 线性表示
即有 j k1 j1 k2 j 2 kmj m ,
记矩阵 A (1 , 2 ,, m ) , B ( 1 , 2 ,, s ) ,
若存在一组数1 , 2 ,, m , 使 b 1 1 2 2 m m
则称向量 b 能由向量组 A 线性表示．
例如:
1 1 0 给定向量组 A : 1 2 , 2 3 和向量 b 1 , 3 1 2 则有 : b 1 2 ,
量, 记 A (1 , 2 ,, m ),
向量组 1, 2, , m 称为矩阵A的列向量组. 3.一个mn矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个n维行向量,
1T T 记 A 2 , T m
T T T 向量组 1 , 2 ,, m
1 3 1 2 0 3 1 1 0 ຫໍສະໝຸດ 3 1 1 0 6 2 2
1 0 r3 r2 4 r2r2 0 0
2 3 0 0
1 1 0 0
3 1 , 0 0
可知 R(A)=R(B)=R(A,B)=2, 故向量组 1, 2 与向量组 1, 2 等价.
1 2 1 3 1 1 0 2 例2 设 1 , 2 , 1 , 2 , 1 1 0 2 1 4 1 1 证明向量组 1, 2 与向量组 1, 2 等价.
向量组及其线性组合
1
,
m
)
2
m
在n 维向量的全体
x1
Rn
x
x2
xn
x1, x2 ,
, xn
R
中，向量组
1 0
1
0
,
2
1
,
0
0
0
,n
0
1
称为n 维基本单位向量组。
a1
任一n 维向量
a2
Rn
都可以由
1, 2 ,
an
, n 表示成
B
1T
T 2
T m
1.2 向量组的线性组合
设向量组
1 2 4
1
2 1
,
2
3 1
,
3
11
由向量的线性运算知道， 3 22 1
这时称α3 是α1，α2 的线性组合。
定义2 设有向量组
:1,2 , ,m
，对于任意一组数
k1, k1, , km ，向量：
k11 k22 kmm
n 维向量也可以写成一行，记作
T (1,2 , ,n )
称为行向量，也就是1×n 行矩阵。
规定:n 维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ 是数，n 维向量
a1 b1
=
a2
,
=
b2
an
bn
a1 b1
a1
则
=
a2
b2
,
=
a2
an
bn
an
x
y z
同维数向量的集合称为向量组。例如，n 维向量的全体所组成 的集合为
x1
Rn
x
x2 xn
x1, x2 ,
chapter4向量组及其线性组合
运算；
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
第4章向量组的线性相关性
四、向量组的等价
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
3
r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
[定义]若向量组A与B能相互线性表示 则称这两个向量组等价。
➢矩阵等价与向量组等价的关系
若矩阵A与B 行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 若矩阵A与B 列等价 则这两个矩阵的列向量组等价
➢向量组等价的判据 [定理4-2]推论：向量组 A a1, a2, , an 与向量组 B : b1,b2, ,bm 等价的充要条件是R(A)R(B)=R(A B) 。
分量全为实数的向量称为实向量， 例如 (1,2,3,,n)
分量全为复数的向量称为复向量。 例如 (1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量的表示
n维向量写成一列，称为列向量（即列矩阵），
通常用 a, b,, 等表示，如：
a1
a
a2
an
n维向量写成一行，称为行向量(即行矩阵），
1 1 1 1
1 0 3 2
~ ~ B
1 2
2 1
1 4
0
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r
0
1
2
1
r
0
1
2
1
0 0 0 0
0 0 0 0
2
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0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
R(A) R(B) 2
向量b能由向量组 a1, a2, a3 线性表示。
第四章 向量组的线性相关性
由B最简形可得线性方程组 (a1,a2,a3)x b即Ax b 解为
(a11 a12 a1n)
(a21 a22 a2n)
(am1 am2 amn)
第四章 向量组的线性相关性
2、向量组的线性组合
第1节 向量组及其线性组合
就是一个由四个3维列向量a1, a2, a3, a4 构成的向量 组.
3. 矩阵与向量组的关系 例如 矩阵A (aij )mn 有n个m维列向量 aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
个数ai 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向 量称) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
第2个分量 第1个分量
n维实向量 n维复向量
第n个分量
后面我们只讨论实向量.
n维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行 矩阵, 通常用a T , bT , T , T等表示, 如：
证明 向量b能由向量组a1 , a2 , a3 线性表示, 并求出表 示式.
解 只需证明矩阵A=(a1, a2, a3)与B=(A, b)的秩相等.
为此, 把B化成行最简形：
1 1 B 2 2 1 1 2 1 1 4 3 0 1 0 r ~ 3 1
1 0 0 0 0 3 2 1 2 1 , 0 0 0 0 0 0
同时,C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
1T a11 a12 a1 s 1T T T 2 a 21 a 22 a 2 s 2 T a T a m 2 a ms s m m1
证明向量组a1, a2 与向量组b1, b2 , b3等价. 证明 记A= (a1, a2), B=(b1, b2, b3). 只要证 R(A)=R(B)=R(A, B). 为此把矩阵(A, B) 化为行阶梯形：
第四章-向量组及其线性组合
线性代数——第 4章
定理2 定理
向量组B能由向量组 线性表示 向量组 能由向量组A线性表示 能由向量组 ⇔ R(A) = R(A, B).
推论 向量组 A : a1 ,a2 , ...,am 与向量组 B : b1 ,b2 , ...,bn 等价⇔ 等价⇔ R(A) = R(B) = R(A, B)
定义3 定义3
设有两个向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 及 B : β 1 , β 2 ,L , β s .
线性表示， 若 B 组中的每个向量都能由 向量组 A 线性表示，则 称 向量组 B能由向量组 A 线性表示 . 若向量组 A 与向 量组 B 能相互线性表示，则称 这两个 向量组等价． 能相互线性表示， 向量组等价．
学习本章要特别注意: 学习本章要特别注意 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换。 突出的典型问题是对关系式
(b1 , b2 , b3 ,⋅ ⋅ ⋅, bl ) = (a1, a2 , a3 ,⋅ ⋅ ⋅am ) K m×l
即
B = AK
所作的解释： 所作的解释： 方程语言： 是矩阵方程Ax＝ 的一个解 K是矩阵方程 的一个解； 方程语言： 是矩阵方程 ＝B的一个解； 矩阵语言： 是 与 的乘积矩阵 的乘积矩阵； 矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵； 几何语言： 向量组B能由向量组 线性表出， 能由向量组A线性表出 几何语言： 向量组 能由向量组 线性表出， K是这一表示的系数矩阵 是这一表示的系数矩阵
同时， 同时， C的行向量组能由 B的行向量组线性表示 , A 为这一表示的系数矩阵 ：
γ 1T a11 T γ 2 a 21 M = M T γ a m m1 a12 a 22 M am 2 L a1 s β 1 T T L a 2 s β 2 M M T L a ms β s
向量组及其线性组合
设m 个n维向量 α 1 , α 2 ,⋯ , α m 组成的矩阵 A
m个n维向量 组成的向量 组，当维数 n小于向量 个数m 个数m时， 一定线性相 关吗？ 关吗？
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关， 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关， B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关，而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关，
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A：α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示， 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示，则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
m个n维向量 组成的向量 组，当维数 n小于向量 个数m 个数m时， 一定线性相 关吗？ 关吗？
A是n × m 型的
R( A ) ≤ n < m
向量组一定线性相关
设向量组 :α1 α ⋯ αm线性无关， 而向量组 :α α ⋯ αm b A 线性无关， B 设向量组 A : α 1 ,,α 22⋯ ,,α m线性无关，而向量组 B : α 11,,α 22⋯ ,,α m ,,b 线性无关，
说明
线性组合
1 如果存在一组数 1 , λ2 ,⋯, λm使 、 λ
b = λ1α1 + λ2α2 +⋯+ λmαm
这时称向量b能由向量组A 这时称向量b能由向量组A线性表示
x1α1 + x2α2 +⋯+ xmαm = b 有解
⇔ R(α1 α2 ⋯αm ) = R(α1 α2 ⋯αm b)
等价
定理1 定理
向量b能由向量组 A：α 1 , α 2 , ⋯ , α m线性表示的充分必要条 件是 矩阵A = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 , α 2 , ⋯ , α m , b )的秩
定义3 定义 设有两个向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 及B : b1 , b2 ,⋯ , bl 线性表示， 若B中的每个向量都能由向 量组A线性表示，则 称向量组 B可由向量组 A线性表示; 若A也能由向量 组B线性表示, 则称两个向量组等价
1 1 [ A b] = 2 2 1 1 1 1 2 − 1 0 行变换 0 → 0 1 4 3 3 0 1 0 0 3 2 1 − 2 − 1 0 0 0 0 0 0
向量组的线性表示
第三章 向量组§3.1向量组及其线性组合一、向量及其运算1、向量：n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量，数n 称为向量的维数。
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量。
注：（1）向量写成一行称为行向量：12(,,,)n a a a α= ，写成一列称为列向量：12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
（3）向量是一种特殊矩阵。
2、线性运算和性质（等同于矩阵的线性运算） （1）向量的加法： （2）向量的数乘：二、向量组及其线性组合1、向量组：由有限个同维向量12,,,m a a a 构成的组合，称之为向量组，记A 或B 。
【注】向量组和矩阵的关系：向量组11211122221212:,,,m m m n n mn a a a a a a A a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112111222212m m nn mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪⇒= ⎪⎪⎝⎭2、线性组合给定向量组12:,,,m A a a a ，对于任何一组实数 12,m k k k ，，，表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组 A 的一个线性组合，12,m k k k ，，称为这个线性组合的系数。
3、线性表示给定向量组12:,,,m A a a a 和向量b ，如果存在一组数12,,,m λλλ ，使1122m m b λαλαλα=++则向量b 是向量组A 的一个线性组合，称向量b 能由向量组A 线性表示。
4、 定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(,,,)m A ααα= 的秩等于矩阵12(|)(,,)m A b a a a b = ，，的秩。
第四章第1节 向量组及其线性组合
(
)
称为列向量。 称为列向量。 列向量 它们的区别 只是写法上 的不同。 的不同。 称为行向量。 称为行向量。 行向量
分量全为零的向量 ( 0,0,⋯ ,0 ) 称为零向量。 称为零向量 零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等： 向量相等：如果 n 维向量 α = a1 , a2 ,⋯ , an 的对应分量都相等， 的对应分量都相等，即 ai = bi
B能由A线性表示，即对每一个向量β j ( j = 1, 2,⋯ , l ) 存在k1 j , k2 j ,⋯ , kmj 使 k1 j k2 j β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + ⋯ + kmjα m = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) ⋮ kmj
则方程组的向量表示为 x1α 1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b
6. 向量组等价
定义3： 定义 ：如果向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 中的每一个向量 ) α i ( i = 1, 2,⋯ , m 都可以由向量组 B : β 1 , β 2 ,⋯ , β s 线性表示，那么就称向量组 可以由向量组 线性表示。 可以由向量组B线性表示 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组 线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示 线性表示， 若同时向量组 也可以由向量组 线性表示，就称 向量组A与向量组 等价。 与向量组B等价 向量组 与向量组 等价。 即
5. 线性组合与线性表示
定义1： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 对于任何一组实数 k1 , k2 ,⋯ , km , 向量 k1α 1 + k2α 2 + ⋯ + kmα m 称为向量组 的一个 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 线性组合，k1 , k2 ,⋯ , km 称为这个线性组合的系数。 定义2： 定义 ：给定向量组 A : α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m , 和向量 β 如果存在一组实数 λ1 , λ2 ,⋯ λm , 使得 β = λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λmα m 则称向量
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例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第1个分量 第2个分量 第n个分量
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,
通常用a, b, , 等表示, 如:
=
aaan12 .
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
a11 a21
a12 a22
A=
ai1
ai2
am1 am2
a1n a2n
T 1T 2aFra bibliotekn T i
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
n个m维列向量 所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
线性表示：给定向量组A: 1, 2, ···, m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ···+ mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量
组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ···+ mm = b
a1 x1 a2 x2 an xn = b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
四、线性组合与线性表示
定义2: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何
一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ···+ kmm 称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1,
A = (a1 ,a2 , ,an )
m个n维行向量
所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
A
=
T 1 T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn = b1
a21 x1 a22 x2
a2n xn
= b2
am1 x1 am2 x2 amn xn = bm
几何形象:可随意平 行移动的有向线段
向量
线性代数
坐
有次序的实数组成的数组
标
代数形象:向量 的坐标表示式
系
r = ( x, y, z)T
空间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
几何形象:空间 曲线、空间曲面
坐
向量空间:向量的集合
标
代数形象:向量
系
空间中的平面
{( x, y, z)ax by cz = d} {r= ( x, y,z)T ax by cz = d }
三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
a1
a11 A = a21
a2
a12
a22
aj
a1 j a2 j
an
a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
有解 由上章定理5
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表 示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)与矩阵 B=(1, 2, ···, m, b)的秩相等.
定义3: 设有两向量组
A: 1, 2, ···, m 与 B: 1, 2, ···, s .
若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
T = (a1,a2, ,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当 作列向量.
二、向量空间
当 n 3 时,
解析几何
既有大小又有方向的量
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几 何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } 叫做n 维向量空间.
第四章 向量组的线性相关性
n元非齐次线性方程组 Ax = b
R(A) = R(B) = n Ax = b有唯一解; R(A) = R(B)< n Ax = b有无穷多解.
n元齐次线性方程组 Ax = 0
R(A) = n Ax = 0只有零解; R(A) < n Ax = 0有非零解.
第一节 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念 二、向量空间 三、向量组与矩阵 四、向量的线性组合和线性表示
§4.1 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.
例如:确定飞机的状态, 需要以下6个参数:
机身的仰角 ( );
2
2
机翼的转角 (-<);
机身的水平转角 (0 2);
飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).
所以确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , , )表示.
在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用 向量来进行描述.
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组 B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2,···,
s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ···+ kmj m
= { x = ( x1, x2 , , xn )T | a1 x1 a2 x2 an xn = b }
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空 间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空 空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).
第1个分量 第2个分量 第n个分量
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,
通常用a, b, , 等表示, 如:
=
aaan12 .
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
a11 a21
a12 a22
A=
ai1
ai2
am1 am2
a1n a2n
T 1T 2aFra bibliotekn T i
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
n个m维列向量 所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
线性表示：给定向量组A: 1, 2, ···, m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ···+ mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量
组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ···+ mm = b
a1 x1 a2 x2 an xn = b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
四、线性组合与线性表示
定义2: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何
一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ···+ kmm 称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1,
A = (a1 ,a2 , ,an )
m个n维行向量
所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
A
=
T 1 T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn = b1
a21 x1 a22 x2
a2n xn
= b2
am1 x1 am2 x2 amn xn = bm
几何形象:可随意平 行移动的有向线段
向量
线性代数
坐
有次序的实数组成的数组
标
代数形象:向量 的坐标表示式
系
r = ( x, y, z)T
空间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
几何形象:空间 曲线、空间曲面
坐
向量空间:向量的集合
标
代数形象:向量
系
空间中的平面
{( x, y, z)ax by cz = d} {r= ( x, y,z)T ax by cz = d }
三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
a1
a11 A = a21
a2
a12
a22
aj
a1 j a2 j
an
a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
有解 由上章定理5
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表 示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)与矩阵 B=(1, 2, ···, m, b)的秩相等.
定义3: 设有两向量组
A: 1, 2, ···, m 与 B: 1, 2, ···, s .
若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
T = (a1,a2, ,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当 作列向量.
二、向量空间
当 n 3 时,
解析几何
既有大小又有方向的量
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几 何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } 叫做n 维向量空间.
第四章 向量组的线性相关性
n元非齐次线性方程组 Ax = b
R(A) = R(B) = n Ax = b有唯一解; R(A) = R(B)< n Ax = b有无穷多解.
n元齐次线性方程组 Ax = 0
R(A) = n Ax = 0只有零解; R(A) < n Ax = 0有非零解.
第一节 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念 二、向量空间 三、向量组与矩阵 四、向量的线性组合和线性表示
§4.1 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.
例如:确定飞机的状态, 需要以下6个参数:
机身的仰角 ( );
2
2
机翼的转角 (-<);
机身的水平转角 (0 2);
飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).
所以确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , , )表示.
在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用 向量来进行描述.
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组 B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2,···,
s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ···+ kmj m
= { x = ( x1, x2 , , xn )T | a1 x1 a2 x2 an xn = b }
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空 间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空 空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).