向量组及其线性组合1b

一、n 维向量的概念 二、向量空间 三、向量组与矩阵 四、向量的线性组合和线性表示
§4.1 向量组及其线性组合
一、n 维向量的概念
定义1: n 个有次序的数a1, a2, ···, an所组成的数组 称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个 数ai 称为第 i 个分量.
分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的 向量称为复向量.
有解 由上章定理5
定理1: 向量b能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表 示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)与矩阵 B=(1, 2, ···, m, b)的秩相等.
定义3: 设有两向量组
A: 1, 2, ···, m 与 B: 1, 2, ···, s .
若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量 组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可 以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组.
例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:
a1
a11 A = a21
a2
a12
a22
aj
a1 j a2 j
an
a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2,···, an称为矩阵A的列向量组.
若记A=(1, 2, ···, m)和B=(1, 2, ···, s), 向量组 B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2,···,
s ), 存在数k1j, k2j, ···, kmj , 使
j = k1j 1+ k2j 2 + ···+ kmj m
例如: (1, 2, ···, n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, ···, n+(n+1)i )为 n 维复向量.
第1个分量 第2个分量 第n个分量
写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,
通常用a, b, , 等表示, 如:
=
aaan12 .
写成一行的 n 维向量, 称为行向量, 也就是行矩阵,
a1 x1 a2 x2 an xn = b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.
四、线性组合与线性表示
定义2: 给定向量组A: 1, 2, ···, m, 对于任何
一组实数k1, k2, ···,km, 向量
k11 + k22 + ···+ kmm 称为向量组A: 1, 2,···, m的一个线性组合, k1,
第四章 向量组的线性相关性
n元非齐次线性方程组 Ax = b
R(A) = R(B) = n Ax = b有唯一解; R(A) = R(B)< n Ax = b有无穷多解.
n元齐次线性方程组 Ax = 0
R(A) = n Ax = 0只有零解; R(A) < n Ax = 0有非零解.
第一节 向量组及其线性组合
A = (a1 ,a2 , ,an )
m个n维行向量
所组成的向量组1T, 2T,···, mT 构成一个mn矩阵
A
=
T 1 T 2
T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn = b1
a21 x1 a22 x2
a2n xn
= b2
am1 x1 am2 x2 amn xn = bm
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几 何空间的名词. 但其意义更为广泛.
Rn = { x = ( x1, x2 , , xn )T | x1, x2 , , xn R } 叫做n 维向量空间.
类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:
a11 a21
a12 a22
A=
ai1
ai2
am1 am2
a1n a2n
T 1
T 2
ain
T i
amn
T m
向量组1T, 2T,···, mT 称为矩阵A的行向量组.
反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一 个矩阵.
n个m维列向量 所组成的向量组a1, a2,···, an构成一个mn矩阵
例如:确定飞机的状态, 需要以下6个参数:
机身的仰角 ( );
2
2
机翼的转角 (-<);
机身的水平转角 (0 2);
飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).
所以确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , , )表示.
在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用 向量来进行描述.
通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:
T = (a1,a2, ,an ).
注意:
1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当 作列向量.
二、向量空间
当 n 3 时,
解析几何
既有大小又有方向的量
= { x = ( x1, x2 , , xn )T | a1 x1 a2 x2 an xn = b }
叫做n维向量空间Rn中的n–1维超平面.
例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空 间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空 空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).
k2, ···, km称为这个线性组合的系数.
线性表示：给定向量组A: 1, 2, ···, m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ···,m, 使
b = 11 + 22 + ···+ mm
则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量
组A线性表示. 即线性方程组
11 + 22 + ···+ mm = b
几何形象:可随意平 行移动的有向线段
向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性代数
坐
有次序的实数组成的数组
标
代数形象:向量 的坐标表示式
系
r = ( x, y, z)T
空间
解析几何
线性代数
点空间:点的集合
几何形象:空间 曲线、空间曲面
坐
向量空间:向量的集合
标
代数形象:向量
系
空间中的平面
{( x, y, z)ax by cz = d} {r= ( x, y,z)T ax by cz = d }