4-1向量组及其线性组合

第一节
向量组及其线性组合
n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量，
第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
b12 b1n b22 b2 n k s 2 k sn
同时，C的行向量组能由 B的行向量组线性表示 ,A 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
向量、向量组与矩阵的关系
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
a12 a 22 am 2
a1 s 1 T T a 2 s 2 T a ms s
设矩阵A经初等行变换变成 B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合 ，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示 . 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由 B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价 .
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
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定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义3 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
值得注意的是，此处表达式的形式不唯一。
1 3 例2 设 1 1 A (a1 , a2 ), 其中a1 , a2 , 1 1 1 3 2 1 3 0 1 1 B (b1 , b2 , b3 ), b1 , b2 , b3 1 0 2 1 2 0
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
所以，方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义2 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
例3 设
n维向量组A：a1 , a2 am构成矩阵A (a1 , a2 am ), n阶单位矩阵E (e1 , e2 en )的列向量叫做 n维单位坐标向量
证明：n维单位坐标向量组E能由向量组A线性表示的充分必要 条件是R(A)=n. 证明：据定理2，知向量组E能由向量组A线性表示的充要条件 是R(A)=R(A,E), 一方面，R(A,E)>=R(E)=n, 另一方面，矩阵（A，E）含n行，因此有：R(A,E)＜=n, 合起来有R(A,E)=n, 因此， R(A)=R(A,E)就是R(A)=n。
证明向量b能由向量组A线性表示，并求出表达式
分析：据定理1，知只要证:R(A)=R(A,b),为此，对矩阵(A,b) 作初等行变换，容易得到(A,b)的行最简形矩阵为：
1 0 0 0 0 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0
(A,b) ~
显然，R(A)=R(A,b)=2
证明向量组B与向量组A等价。 分析：据定理2的推论，只要证:R(A)= R(B) =R(A,B), 为此，对矩阵(A,B)作初等行变换，观察计算出的与 (A,B) 等价的行阶梯形矩阵:
1 0 (A,B)~ 0 0
3 2 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
3 1 0 0
作业
P106 ------1 P107 ------2
四、小结
１． n 维向量的概念，实向量、复向量；
２．向量的表示方法：行向量与列向量， 向量组与矩阵的关系， ； ３．向量组的线性组合、一个向量由一个向量组 线性表示的定义；
４．一个向量能由一个向量组线性表示的充要条件；
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
a1 n a2n a in a mn
T 2
T 1


T i T m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组 1 , 2 , , m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )
T 1 T 2
mn
按行划分成 m个n维行向量
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
T m
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
若记A （ 1 , 2 ,, m )和B （ b1 , b2 ,, bs ). B 能由A线性表示，即对每个向 量b j ( j 1,2,, s )存 在数k1 j , k 2 j ,k mj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
例1 设
1 1 1 1 1 2 1 0 A (a1 , a2 , a3 ), 其中a1 , a2 , a3 ,b , 2 1 4 3 2 3 0 1
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n 维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 aT , bT , T , T 等表示，如： a T (a1 , a 2 ,, a n ) n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a , b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
对方程组A的各个方程做线性运算 所得到的 一个方程就称为方程组 A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组 A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称 这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
要求出 x1 , x2 , x3 ,使下列表达式成立，即：
b x1a1 x2 a2 x3a3 , 即b a1
a2
x1 a3 x2 AX x 3
这个问题最终成了解线性方程组AX＝b。
解此方程组可得：
b (3c 2)a1 (2c 1)a2 ca3 ，其中c可取任意值
定理2 向量组B：b1，b2， , bl能由向量组A : a1，a2， , am 线性表示的充分必要条 件是矩阵 A (1， 2， , m )的秩 等于矩阵( A, B) (a1，a2， , am , b1，b2， , bl )的秩. 即R (A)＝R( A, B)
推论 向量组 B：b1，b2， , bl 与向量组A : a1，a2， , am 等价的充分必要条件是 R (A)＝R(B)＝R( A, B)
k1 j k2 j （ 1 , 2 ,, m ) , k mj
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,, bs ) （ 1 , 2 ,, m ) k m1
k12 k 22 km 2
知，R(A)=R(A,B)=R(B)=2
定理3 向量组B：b1，b2， , bl能由向量组A : a1，a2， , am 线性表示，则 R (B) R( A)
证： 记A＝（a1，a2， , am），B＝（b1，b2， , bl )
根据定理2有 R(A) R(A,B)，而R(B) R(A,B)， 因此 R(B) R(A)
k1 s k2s k ms
矩阵Kms (kij )称为这一线性表示的系数矩阵
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， B为这一表示的系数 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) （ 1 , 2 ,, s ) b s1