人教版数学高一人教B版必修四学案倍角公式

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高中数学倍角公式有哪些

高中数学倍角公式有哪些高中数学倍角公式1、tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a高考数学复习技巧1、数学复习应避免题海战术，最好能将课本上的知识分章节梳理清楚，选作典型题，类型题，把注意力放在提高准确率上，另外还可以把从前做过的错题集中处理一下，通过改正错误，填补自己的知识漏洞，并将复杂习题的解题思路重新领会，加强对常用解题法的掌握。

2、不要过多地提问。

数学是一门需要自己静思感悟的学科，如果一味地去问别人，你永远不会得到真正意义上的提高。

一道题有自己想懂和被别人讲懂，你的理解感悟差距是很大的。

当然，这不是说不问，而是要在自己认真思考却始终得不到答案后再去询问。

高中数学有什么答题技巧1.首先就是要熟悉基本的解题步骤和方法，平时的练习和考试是一样的，要注意每个步骤，解题的过程是一个思维过程，注意了高度集中不要让自己的思维跑偏，而我们一般是沿着自己的思维，并且按照熟悉的步骤就可以很容易找到答案.2.在拿到题时认真的审题，这点很重要，直接决定你答题的正确性和速度，如果你的知识具备了，题审错了，会让你走很多弯路，浪费很多时间，并且还会做错，得不偿失，所以审题时很重要，读懂每个已知的条件，分析问题和条件之间的联系，然后在进行思维运算，开始答题.3.平时认真的做好归纳总结，这样讲题型分类，考试时会很容易。

往往同类型题会有共同点甚至给你同样的思维，能够使你对解题方法进行很好的归纳总结，然后起到举一反三的效果，这样当你在看到相同类型的题时，可以大大的缩短答题的时间.4.学会画图这点也很重要，人的大脑对图的记忆比文学好，所以学会利用已知条件来假设场景，画出对应的图，这样非常有利于解题，而且正确率是比较高的，一般情况题都****于生活中，来解决实际问题，这样也有助于你将课本知识和实际联系在一起提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性。

人教版数学高一人教B版必修4学案倍角公式

3．2.1 倍角公式预习课本P143～144，思考并完成以下问题(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式是什么？公式如何推导？(2)联系已学公式，考虑cos 2α，sin 2α有哪几种变形方法？[新知初探] 二倍角公式[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225D.2425答案：D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32答案：D4．已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝________.答案：－247给角求值问题[典例] 求下列各式的值： (1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)cos 20°cos 40°cos 80°. [解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°) ＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单．而(4)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．[活学活用]求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°. 解：(1)∵sin3π8＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π8＝cos π8， ∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24.(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. 化简问题[典例] 化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.[解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1.(1)化简三角函数式的常用方法：①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①特殊角的三角函数与特殊值的互化；②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分；③对于二次根式，注意倍角公式的逆用； ④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等；⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等． [活学活用]化简：(1)1cos 2θ－tan θtan 2θ；(2)sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β.解：(1)1cos 2θ－tan θtan 2θ＝1cos 2θ－sin θsin 2θcos θcos 2θ＝cos θ－2sin 2θcos θcos θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝cos 2θcos 2θ＝1.(2)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.给值求值[典例] 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. [一题多变]1．[变设问]本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．[变条件，变设问]若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925，∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925，即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725.解决条件求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．层级一学业水平达标1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°解析：选B cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. 3．已知α为第三象限角，且cos α＝－55，则tan 2α的值为( ) A ．－43B.43C ．－34D ．－2解析：选A 由题意可得，sin α＝－1－cos 2 α＝－255，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，故选A.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αsin α等于( )A ．2cos αB ．2sin α C.12D ．cos α解析：选A 原式＝4sin αcos α1＋2cos 2α－1·cos 2αsin α＝2cos α.5．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．75° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.6．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 解析：∵tan x ＝2， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.答案：347．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝____________，cos 2θ＝____________.解析：∵sin θ2＋cos θ2＝233，∴⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43，即1＋2sin θ2cos θ2＝43，∴sin θ＝13，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 798．求值：1sin π18－3cos π18＝________.解析：原式＝cos π18－3sin π18sin π18·cos π18＝2⎝⎛⎭⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4·sinπ9sin π9＝4.答案：49．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22(sin α＋cos α)2sin αcos α＋2cos 2α＝2(sin α＋cos α)4cos α(sin α＋cos α). ∵α为第二象限角，且sin α＝154， ∴sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴原式＝24cos α＝－ 2.10．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值．解：∵β为锐角，且cos β＝255，∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43.∴0<2β<π2，0<α＋2β<π，又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1，∴α＋2β＝3π4. 层级二应试能力达标1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.2．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78 B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12，所以cos α－sin α＝24，平方得1－2cos αsin α＝18，所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78. 3．化简：sin 235°－12sin 20°＝( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：选B 原式＝1－cos 70°2－12sin 20°＝－cos 70°2sin 20°＝－sin 20°2sin 20°＝－12.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 5．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 答案：4596．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. ∵α为锐角，∴sin α≠0，∴2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan β tan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1. ∵β为锐角，∴β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)tan α＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.答案：π47．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值． (2)求sin 2αsin α－cos α的值．解：(1)因为m 与n 为共线向量，所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以(sin α－cos α)2＝2－⎝⎛⎭⎫232＝169. 又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43. 因此，sin 2αsin α－cos α＝712.8．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0， ∴tan x 2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x ) ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin xsin x＝2×1＋tan xtan x ＝24.。

高中数学人教版必修四学案：3.2.1 倍角公式

3．2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．[知识链接]1．两角和公式与二倍角公式有联系吗？答有联系．在S α＋β，C α＋β，T α＋β中，令β＝α即可得S 2α，C 2α，T 2α.2．什么情况下sin 2α＝2sin α，tan 2α＝2tan α？答一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6，只有当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．只有当α＝k π(k ∈Z )时，tan 2α＝2tan α成立．[预习导引]1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos_α，sin 2α2cos α＝sin_α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin_2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.要点一给角求值问题例1 求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. (5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20° ＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18. 规律方法此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较为简单，而(4)小题分式一般先通分，再考虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解．而(5)小题通过观察角度的关系，发现其特征(二倍角形式)，逆用正弦二倍角公式，使得问题中可连用正弦二倍角公式，所以在解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．跟踪演练1 求下列各式的值．(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°； (3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°.解 (1)∵sin 3π8＝sin(π2－π8)＝cos π8， ∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°，∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32. 要点二给值求值问题例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213. ∴原式＝2×1213＝2413. 规律方法在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余关系．特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符号．跟踪演练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4，于是可由cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35得到sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45. 即22cos α－22sin α＝35，22sin α＋22cos α＝－45. 两式相加得cos α＝－210，两式相减得sin α＝－7210. 而cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)， cos 2α＝⎝⎛⎭⎫－2102－(－7210)2＝－2425， sin 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－210×⎝⎛⎭⎫－7210＝725. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 要点三给值求角问题例3 已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan α＝13>0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1，又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π. 规律方法在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．跟踪演练3 已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4， ∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12， ∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4.1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )A.62B.32C.54 D ．1＋34答案 C解析原式＝sin 215°＋cos 215°＋12sin 30°＝1＋14＝54. 2．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 B解析原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 答案 1－32 解析原式＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·tan 15°＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝1－32. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是____________．答案 3解析因为sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－12，sin α＝1－cos 2 α＝32，所以tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)． 2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.。

高中数学人教B版必修4学案3.2.1 倍角公式 Word版含解析

倍角公式和半角公式
倍角公式
.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系.
.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理倍角公式
阅读教材内容，完成下列问题.
.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
.
.正弦的二倍角公式的变形：
() αα＝α，α＝αα).
()±α＝(α±α).
.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )
()存在角α，使得α＝α成立.( )
()对于任意的角α，α＝α都不成立.( )
【解析】()×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋π(∈)且α≠±＋π(∈)，故此说法错误.
()√.当α＝π(∈)时，α＝α.
()×.当α＝时，α＝α.
【答案】()×()√()×
.已知α＝，则α等于.
【解析】由α＝，得α＝α－＝×－＝－.
【答案】－
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
化简求值.
()－；
() ··；
()－ °；
() °＋° °).。

高一数学人教B版必修4课件3-2-1 倍角公式

求解．
[解析]
sin2θ＋1－cos2θ 解法一：左边＝ sin2θ＋1＋cos2θ
2sinθcosθ＋2sin2θ sinθcosθ＋sinθ ＝ 2 ＝ 2sinθcosθ＋2cos θ cosθcosθ＋sinθ ＝tanθ＝右边． sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ 解法二：左边＝ 2 sin θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ sin2θ＋2sin2θ ＝ sin2θ＋2cos2θ 2sinθsinθ＋cosθ ＝＝tanθ＝右边． 2cosθsinθ＋cosθ
2
2α
2α
③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 经常用于消除式子中的“1”． C2α 公式的不同形式的逆用，在三角函数的化简、求值、证明中应用广泛．
[解析]
解法一：因为
π π sin4＋α· sin4－α
π π 1 ＝sin4＋αcos4＋α＝6，
[点评] 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三
角函数值求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论．应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要掌握拆角、拼角等技巧．
已知
π 3π π 2 cosx－4＝ 10 ，x∈2， 4 .
3．2 倍角公式和半角公式
3.2.1
倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：sin2α＝ C2α：cos2α＝ . 2α 1－2sin 2sinαcosα . 2cos2 α－1 ＝ cos2α－sin2α ＝
T2α：tan2α＝
.

新人教B版高中数学(必修4)3.2.1《倍角公式》word学案

§3.2.1《倍角公式》学案【学习目标】1. 学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程 2. 能记住二倍角公式及相关变形 3. 能用二倍角公式进行化简，求值【重难点】重点：二倍角公式的推导及应用难点：二倍角公式的变形式的应用【学法指导】自主探究公式的内在联系【知识链接】两角和的正弦、余弦、正切公式cos(βα+)= sin(βα+)= tan(βα+)= 【学习过程】阅读课本第132页到133页的内容，尝试回答下面的问题知识点1.二倍角公式的推导在上面和角公式中，若令αβ=，会得到怎样结果α2sin = α2cos = tan α2=（其中tan α有意义α≠ ，tan α2有意义α≠ ）知识点2.二倍角公式的变形由sin2α+cos 2α=1，你能填写下面的结果吗cos2α=αα22sin cos -= =它们还可以写成α2c o s1+ = α2cos 1- = α2sin =α2cos =基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？化简求值：(1)2015cos 15sin (2)cos8sin 822ππ-(3)0205.22tan 15.22tan - (4)15.22cos 202-例题分析：例题1.已知5sin ,132πααπ=<<,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值问题：若条件5sin 13α=改为sin α+cos α=713-，怎么做？变式练习：已知sin α+cos α=31,0<α<π,求sin2α,cos2α,tan2α. 分析导引：1.先根据条件可以求sin2α 2.求cos2α的两种思路（1）sin α+cos α=)1,0()4sin(2∈+πα，故有)22,0()4sin(∈+πα，所以4πα+的范围是，从而得到α2的范围故cos2α的符号为负，由平方关系即可求解（2）你能分析ααcos ,sin 的符号，结合条件计算sin α-cos α的值吗，从而联立方程算出ααcos ,sin ，再由倍角公式求α2cos小结：sin α+cos α，sin α-cos α,sin ααcos ,知一求二,但要注意符号的判断例题2. 在△ABC 中，cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值思路1：先求tan2A,tan2B思路2：先求tan(A+B),2A+2B 是A+B 的倍角问题：若求tan(A+2B)的值呢？你能写出几种思路？【当堂检测】化简(1)θθtan 11tan 11+-- (2)αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+【学习反思】本节课我最大的收获是什么？【课后练习】一．选择题1.已知θπθ2sin -1),4,0(则∈为（）A.θθsin cos -B.θθcos sin -C.θcos 2D.θcos 22.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（）A.247B.245-C.724D.724-3.已知则),2,4(,412sin ππαα∈=ααsin cos -= ( )A.23-B.43C.23 D.43-二．填空题1. (1)sinxcosxcos2xcos4x= (2)sin100sin300sin500sin700=2. 若tan()4πα+=223+，则αα2sin 2cos 1- =3.已知=-=+)232cos(,31)6sin(απαπ则 4.已知=∈=αππαααtan ),,2(,2cos sin 则5.函数x x x f 2sin cos 2)(2+=的最小值是三．解答题1.已知sin()4απ+sin()4απ-=61,且),2(ππα∈，求sin α42.已知)4sin(21sin 2cos 2),,2(2,222tan 2θθθππθθ+--∈-=求3.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

人教B版教材数学必修4第3章第2节《倍角公式》导学案

倍角公式【教学内容】人教B 版教材数学必修4第3章第2节第一课【教学目标】1掌握公式α2S ，α2C ，α2T 的推导，明确α的取值范围2能熟练运用二倍角公式进行简单的求值、化简3.通过公式推导，了解他们的内在联系，从而培养逻辑思维能力4.通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力【教学重点】二倍角的正弦、余弦、正切公式及公式2C α的两种变形【教学难点】倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式诱导公式和角公式的综合应用【学情】此阶段学生已具备一定的分析问题、解决问题的能力，但学生深层挖掘公式变形与综合运用能力还相对薄弱。

【教法】讲练结合法【学法】自主学习法、探究学习法、合作学习法【教学过程】一、复习回顾（复习两角和的正弦，余弦，正切公式，达到温故而知新）=+)sin(βα)(βα+S=+)cos(βα)(βα+C=+)tan(βα)(βα+T二、公式的推导［问］请大家想一想，在公式S αβ+,C αβ+,T αβ+中对αβ，如何合理赋值，才能出现α2sin ，α2cos ，α2tan 的表达式？并请同学们把对应的公式写出来【板书】［问］对于公式22tan tan 21tan ααα=-，我们要注意些什么？公式中的α有限制吗？分析探讨结论：［问］对于22cos 2cos sin ααα=-，你还能写出其他的形式吗？三、自评检测0012sin15cos15=（）222cos sin =88ππ-（）232sin 1=8π-（） 22tan 22.54=1tan 22.5-（）想一想①2α是的二倍； α3是的二倍；α4是的二倍②引申1、8sincoscoscos2424126ππππ=③引申2、cos 20cos 40cos80=四、典例点拨 ☆梯度一：给值求值题例1、已知5sin 13α=，(,)2παπ∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值变式1、43cos ,,,sin ,cos ,tan 2522ααππααα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭已知求：的值变式2、3sin 2,,,1cos 22sin 4,cos 4,tan 4542ππαααααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭已知求值（）（）☆梯度二：解三角形问题及角的拼凑变形例2、()11tan ,tan ,tan 273ABC A B A B ∆==+在中，已知求的值变式3、()()443,cos ,(,),(,2)5522ππαβαβαβπαβπ-=-+=-∈+∈已知cos cos 2α求的值变式4、()11tan ,tan ,tan 2223βααβαβ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知求的值五、归纳小结本节课，同学们都学到了那些？请归纳六、布置作业：教材P144 A 组4 ； B 组1 4。

人教B版数学必修倍角公式

8.2.3 倍角公式学习目标核心素养1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α . T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角等．1.sin 15°sin 75°的值为( )A ．12B ．14C ．32D ．34B [原式＝sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 2.计算1－2sin 222.5°的结果为( ) A ．12 B ．22 C ．33D ．32B [1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.]3.已知cos α＝13，则cos 2α等于________．－79 [由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.]利用二倍角公式化简求值(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． [解](1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2 ＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24cos π12＝12sin π12cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12cos π12＝14sin π6＝18， ∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12， ∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2 150°2tan 150°＝1－tan 2 150°2tan 150°＝1tan (2×150°)＝1tan 300°＝1tan (360°－60°)＝－1tan 60°＝－33， ∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2 α＋cos 2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2 α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1.求下列各式的值： (1)sin π8cos π8； (2)2sin 2π12＋1； (3)cos 20°cos 40°cos 80°.[解](1)原式＝2sin π8cos π82＝sin π42＝24.(2)原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2π12＋2＝2－cos π6＝4－32. (3)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决条件求值问题A ．2B ．－2C ．34D ．－34 (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( )A ．79 B ．13 C ．－79D ．－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值． [思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α求值；(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)． (1)D (2)C [(1)因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.](3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2 α＝－74，所以sin 2α＝2sin αcos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378.②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2 β＝－53，cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin α(或cos α)―――――――――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α)．(2)sin α(或cos α)――――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1)． (3)sin α(或cos α)――――――→同角三角函数的关系⎩⎪⎨⎪⎧cos α(或sin α)，tan α――――→二倍角公式tan 2α.2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值．(1)－45 35 －43 [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.](2)[解] 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－(－22)2＝427.利用二倍角公式证明【例3】求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. [思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．[证明] 法一：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．法二：左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tan α21－tan 2α2＝ 12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．3.求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ． [解] 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立.倍角公式的灵活运用1.在化简1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α时，如何灵活使用倍角公式？ [提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，原式＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2 ＝sin α2cos α2＋cos α2sin α2＝1sin α2cos α2＝2sin α. 2.如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ [提示] 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.【例4】求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[思路探究] 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间 [解] f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，所以当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式，再利用函数图像解决问题.4．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．[解] y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2α2n ＋1(n ∈N *)．2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos 2 α；②cos 2 α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2 α；④sin 2α＝1－cos 2α2.1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15B ．55C ．33D ．255B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2sin α＝cos α.又∵sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴sin 2α＝15.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55. 故选B ．]2.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32D [原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.]3.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________. －56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.]4．求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8.[解](1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。

数学人教B版必修4示范教案：3.2.1 倍角公式含解析精

示范教案整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究提出问题(1)还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)(2)你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？(3)在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？(4)细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？(5)能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？(6)让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin ( )＝2sin ( )cos ( )，cos ( )＝cos 2( )－sin 2( ).(7)思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？(8)请思考以下问题：sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ⇒sin2α＝2sinαcosα(S 2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ ⇒tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α)．这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sinαcosα(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tanα1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12kπ＋π4和α≠kπ＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋π2，k ∈Z 时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等．问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tanα(1－tan 2α)等等．问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k ∈Z )．若cos2α＝2cosα，则2cos 2α－2cosα－1＝0，即cosα＝1－32(cosα＝1＋32舍去)．若tan2α＝2tanα，则2tanα1－tan 2α＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k ∈Z )．讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1已知si nα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．解：因为s inα＝513，α∈(π2，π)，所以cosα＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sinαcosα＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.例 2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋co s2θ)＝2sinθcosθ＋(1＋1－2cos 2θ)2sinθcosθ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sinθcosθ＋1－cos 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθcosθ＋sin 2θsinθcosθ＋cos 2θ＝sinθ(cosθ＋sinθ)cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右，所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sinθ(sinθ＋cosθ)2cosθ(sinθ＋cosθ)＝tanθ＝右．方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sinθ·cosθ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sinθ＋cosθ)2－(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ) (sinθ＋cosθ)2＋(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝(sinθ＋cosθ)·2sinθ(sinθ＋cosθ)·2cosθ＝tanθ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116.例 2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值．活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A<π，0<B<π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34， tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34. 又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝2tan (A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117.课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．备课资料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cosαcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1. 4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0.(1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值． 7．已知cos(x －π4)＝210，x ∈(π2，3π4)． (1)求sinx 的值；(2)求sin(2x ＋π3)的值．参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin (30°－10°)sin20°＝4. 2．解：原式＝2sin36°cos36°·cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 5．解：(1)由题意，得m·n ＝sinA －2cosA ＝0，因为cosA ≠0，所以tanA ＝2.(2)由(1)知tanA ＝2，得f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32，因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]．当sinx ＝12时，f(x)有最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]． 6．∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2， ∴π2<α－β2<π. ∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7275， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729. 7．解：(1)因为x ∈(π2，3π4)，所以x －π4∈(π4，π2)．于是sin(x －π4)＝1－cos 2(x －π4)＝7210， sinx ＝sin[(x －π4)＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈(π2，3π4)，故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－(45)2＝－35， sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin(2x ＋π3)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.。

人教版数学高一B版必修4学案3.2.1倍角公式

3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式基础知识基本能力1．理解二倍角公式的推导过程，并了解倍角公式之间以及它们与和角公式之间的内在联系．(难点) 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形．(重点、易错点)1．能运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明．(重点)2．对于倍角公式不仅要会正用，还要会逆用及变形用，尤其是cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2作为降幂公式，更要会熟练应用．(难点、易错点)记法公式推导S 2αsin 2α＝2sin_αcos_α S α＋β――→令α＝βS 2α C 2αcos 2α＝cos 2α－sin 2αC α＋β――→令α＝βC 2αcos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α 利用sin 2α＋cos 2α＝1 消去sin 2α或cos 2αT 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2αT α＋β――→令α＝βT 2α名师点拨(1)T 2α只有当α≠kπ＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为： sin(2n mα)＝2sin(2n －1mα)cos(2n －1mα)；cos(2n mα)＝cos 2(2n －1mα)－sin 2(2n －1mα)；tan(2nmα)＝2tan 2n －1mα1－tan 22n －1mα. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番．图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×2sin 30°＋10°cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→tan2α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答．证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β. 当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。

高中数学：3.2.1 倍角公式教案新人教B版必修4

§倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握2,2,2S C T ααα公式的推导，明确α的取值X 围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力； (2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。

难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学
过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。

通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。

对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

sin sin αcos sin α±1tg tg tg tg αβ
αβ
±
师：今天，我们继续学习二倍角的正弦、余师生互动。

数学人教B版必修4课堂导学：3.2.1倍角公式含解析精

课堂导学三点剖析一、运用倍角公式求值对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变换成“已知角”.若角所在的象限没有确定,则应分情况讨论.【例1】已知cosα=-1312,α∈(π,23π),求sin2α,cos2α和tan2α的值. 思路分析:本题旨在考查二倍角公式的应用,做题时应注意已知角与所求角间的倍数关系和角的取值范围.解：∵cosα=-1312,α∈(π,23π), ∴sinα=135cos 12-=--α. ∴sin2α=2sinα·cosα=2×(135-)×(-1312)=169120, cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135-)2=169119, tanα=1191202cos 2sin =αα. 温馨提示在解题过程中,要注意根据问题的具体特点,适当地加以变形,同时要注意挖掘题中的隐含条件,特别是利用这些条件来确定某些三角函数值的符号,化简问题.各个击破类题演练 1已知sinα=54,求sin2α,cos2α,tan2α的值. 思路分析:∵sinα=54>0且α∈R ,∴α为第一、二象限角,解题时应分象限讨论. 解:∵α∈R 且sinα=54>0,∴α为第一象限或第二象限角. ①当α为第一象限角时,sin2α=2524,cos2α=257-,tan2α=724-. ②当α为第二象限角时,sin2α=2524-,cos2α=257-,tan2α=724-. 变式提升 1 求︒+︒50cos 350sin 1的值. 思路分析:仔细观察原式的结构,将原式通分后将有惊喜的发现.解:原式=︒︒=︒︒=︒∙︒∙︒+︒=︒︒︒+︒80sin 2180sin 2100sin 2180sin 250cos 50sin 221)50sin 2350cos 21(250cos 50sin 50sin 350cos =4.二、给值求角问题给值求角问题,其方法步骤是:(1)先求该角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一个三角函数值时,往往有一定规律:一般已知正切函数值,选正切函数;已知正,余弦函数值,选正弦函数或余弦函数.若角的范围是(0,2π),选正弦,余弦函数均可以;若角的范围是(-2π,2π),选正弦函数比选余弦函数好;若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好.【例2】已知α,β是锐角,且sinα=102,sinβ=1010,求α+2β的值. 思路分析:因为β∈(0,2π),所以2β∈(0,π).所以先求cos2β的值,然后再选用适当的三角函数求α+2β的值.解：∵sinβ=1010,∴cos2β=1-2sin 2β=54. 由β∈(0,2π)且cos2β=54>0,可推得2β∈(0,2π), ∴α+2β∈(0,π).∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β.∵α∈(0,2π)且sinα=102, 得cosα=1027sin12=-α, 又2β∈(0,2π)且cos2β=54, ∴sin2β=532cos 12=-β. ∴cos(α+2β)=2253102541027=⨯-⨯. ∴α+2β=4π. 类题演练 2已知tan(α-β)=21,tanβ=71-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 解：∵tanα=tan ［(α-β)+β］=31)71(211)71(21=-⨯--+,∴tan2α=43tan 1tan 22=-αα. ∵tanα=31>0且α∈(0,π),可推得α∈(0,2π). 又tan2α=43>0,可推得2α∈(0,2π), 同理,得β∈(2π,π). ∴2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=)71()43(1)71(43-⨯+--=1,∴2α-β=43-π. 变式提升 2已知tanα=43,cos(α+β)=1411-,α,β均为锐角，求β的值. 解：∵α,β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-, ∴2π<α+β<π,则sin(α+β)=1435. ∵tanα=43,∴sinα=734,cosα=71. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=21. ∴β=3π. 三、三角函数式的化简与证明三角函数式的化简,一般从减少角的种类,减少函数的种类,改变函数式的运算结构入手,对于根式形式的化简常以化去根号为目标,为此常使被开方的式子配成完全平方,化简时要注意角的范围.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,左右归一或变更论证.对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证等方法.常用定义法,化弦法,化切法,拆项拆角法,“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【例3】化简（1）cos72°cos36°;(2)cos20°cos40°cos60°cos80°.思路分析：利用二倍角正弦、余弦公式及诱导公式，将角度不同的三角函数转化为同一个角或互补、互余角的三角函数，再通过约分求出式子的值.解：（1）cos72°cos36°=4136sin 4144sin 36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=︒︒=︒︒︒=︒︒︒︒.(2)原式=21cos20°cos40°cos80°=︒︒︒︒=︒︒︒︒︒20sin 480cos 40cos 40sin 20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 16120sin 16160sin 20sin 880cos 80sin =︒︒=︒︒︒=. 温馨提示对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，如果分子、分母有公因式，通过约分把分式化简，这是解这类问题的常规思路.类题演练 3 化简αααα4cos 4sin 14cos 4sin 1-+++. 解法一：原式=ααααααααααααα2tan 1)2cos 2(sin 2sin 2)2cos 2(sin 2cos 22sin 212cos 2sin 2112cos 22cos 2sin 2122=++=+-+-++. 解法二：原式=αααααααααα2cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 24sin )4cos 1(4sin )4cos 1(22++=+-++ ααααααα2tan 1)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2=++=. 变式提升 3求证：［sinθ(1+sinθ)+cosθ(1+cosθ)］［sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)］=sin2θ.证明：左=（sinθ+sin 2θ+cosθ+cos 2θ)·（sinθ-sin 2θ+cosθ-cos 2θ）=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=(sinθ+cosθ)2-1=1+2sinθcosθ-1=2sinθcosθ=sin2θ=右.∴原式成立.温馨提示证明条件三角恒等式,首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构),从解决某一差异入手,采用条件转化法或条件代入法,条件转化法就是从已知条件出发,经过恰当的变换,推出被证式;条件代入法就是从已知条件出发,求出被证式中的某一个式子,然后代入被证式,化简证明.。

人教新课标版数学高一B版必修4课件倍角公式

1＋sin 2θ－cos 2θ
跟踪训练 2 化简：
.
1＋sin 2θ＋cos 2θ
1－cos 2θ＋sin 2θ 解方法一原式＝
1＋cos 2θ＋sin 2θ
2sin2θ＋2sin θcos θ ＝2cos2θ＋2sin θcos θ
2sin θsin θ＋cos θ
＝ 2cos
θcos
θ＋sin
＝
sin 20°
－sin 20° ＝ sin 20° ＝－1.
探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答二倍角的余弦公式 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
1－cos 2α 2sin2α 变形较多，应用灵活.其中 sin2α＝ 2 ，cos2α＝
3 2α
的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N*).
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用
广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α
1＋cos 2α
1－cos 2α
＝ 2 ，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝ 2 .
169 反思与感悟解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一
方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系式及诱导
公式是常用方法.
跟踪训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
解
原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
80°
＝2sin
70° 70°·cos
10°·

人教版高中必修4(B版)3.2.1倍角公式教学设计

人教版高中必修4(B版)3.2.1倍角公式教学设计一、授课目标本教学设计旨在帮助学生：1.掌握倍角公式的概念，能够运用倍角公式解决与三角函数相关的问题；2.培养学生的观察能力和分析问题的能力；3.培养学生的团队合作精神。

二、授课内容1.倍角公式的概念；2.倍角公式的推导；3.倍角公式的应用。

三、授课重难点1.掌握倍角公式的概念，能够正确地列出全部的倍角公式；2.能够熟练运用倍角公式解决相关的问题。

四、教学方法1.讲授法：通过老师讲解、演示、举例等方式，向学生介绍倍角公式的概念、推导和应用；2.组合拼图法：将倍角公式拆成若干部分，让学生分组进行合作，最后将各部分拼接起来，完成倍角公式的推导；3.问题解决法：通过老师提出相关问题，让学生自主思考并尝试解决，从而加深对倍角公式的理解和掌握。

五、教学过程第一步：概念介绍1.老师向学生介绍倍角公式的概念，并让学生列出全部倍角公式；2.学生讨论自己列出的倍角公式，并补充不足之处。

第二步：推导部分拆分1.老师将倍角公式拆分成若干部分，让学生分组进行合作；2.学生同组交流、讨论后完成各自的部分。

第三步：拼接部分1.学生将各自的部分进行汇报和展示；2.全班一起讨论和补充，最终完成倍角公式的推导。

第四步：应用实例1.老师提出一些与三角函数相关的问题，让学生自主思考并尝试解决；2.学生进行小组讨论，寻找最优解；3.各小组派代表进行总结和汇报，让其他小组进行评价和补充。

六、教学反思本教学设计创新性地运用了拼图法，让学生通过分工合作，完成整个倍角公式的推导过程。

同时，通过问题解决法，让学生在主动探究中加深对倍角公式的理解和掌握。

虽然这种教学方法需要较长的时间，但学生的学习热情和团队合作精神得到了充分调动，教学效果明显提高。

人教版数学高一B版必修4知识必备3.2倍角公式和半角公式

3.2倍角公式和半角公式知识梳理 1.倍角公式(1)公式：sin2α=2sinαcosα；(S 2α)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；(C 2α) tan2α=αα2tan 1tan 2- .(T 2α)(2)公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π(k ∈Z )时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α； cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-；(这两个公式称为降幂公式) 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.(这两个公式称为升幂公式)2.半角公式 (1)公式：sin2α=±2cos 1α-；cos2α=±2cos 1α+；tan2α=±ααcos 1cos 1+-=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +.(2)公式的理解①关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k ∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k ∈Z )之外，还必须有α≠2kπ(k ∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. ②对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角，23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角，正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.知识导学(1)要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；(2)学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；(3)选择二倍角余弦公式形式的策略：①加余弦想余弦；②减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：疑难突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析:难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题.突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值. 解法一：(用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理)∵α为第四象限的角，∴2α是第二或四象限的角. ∴tan2α＜0. ∴tan2α=-ααcos 1cos 1+-=-331331+-=-32-=-21348-=-212)26(-=262-. 解法二：(用tan2α=ααsin cos 1-来处理)∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααsin cos 1-=36331--=262-. 解法三：(用tan2α=ααcos 1sin +来处理) ∵α为第四象限的角，∴sinα＜0. ∴sinα=-α2cos 1-=-311-=-36.∴tan 2α=ααcos 1sin +=33361--=3336--=262-.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααcos 1sin +来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1-，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1-求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析:疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2+b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2,这个结论应用很广泛.。

高一数学倍角公式及推导过程

高一数学倍角公式及推导过程二倍角公式是数学倍角公式考察中最常见的，其他的公式作为大家的积累，防止遇到的时候手忙脚乱，手足无措。

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高一数学倍角公式及推导过程三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^512*cosA^6+304*cosA^4- 48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理,(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c 考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*虚部：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...对所有的自然数n, 1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示. 2. sin(nθ)：(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示.(2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是cosθ)的一次方无法消掉. (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)。