函数不动点、数学迭代法、求数值平方根算法的数学原理

浅论函数不动点与数学迭代法在求数值平方根中

的运用

By vista3344

摘要：函数不动点具有比较特殊的性质，特别是迭代趋近或者发散的现象，使得该部分成为数学中一个极为有意思的内容（这部分内容甚至已经渗入高考数年之久）。本文从函数不动点的定义出发，从数形结合的角度，着重而形象地分析迭代法求平方根的算法。

一、

首先，给出牛顿迭代法求平方根的公式。这是一个迭代公式，赋予x k一个初始值，之后通过迭代运算，使x不断逼近n的开方。

求n开方值的c语言代码如下[1]：

#include

#include

void main( )

{

double x, y, y0 ;

printf( "输入一个正数:") ;

do

{

scanf("%lf", &x );//格式lf

}

while( x<0 );

y = 1;

do

{

y0 = y;

y = 1.0/2*( y + x / y ); //1.0变浮点数

}

while ( fabs( y - y0 ) / y > 0.00001);

printf("Square root of %lf is%lf\n", x, y ); //格式lf

}

二、数学角度的算法分析

为了便于表述，这里我们设n=7。

（1）、首先介绍函数不动点的收敛性。取f（x）=0.5(x+7/x),同时取x0如图，为几何画板生成的函数图像：

不动点即y=x与函数的交点，如图：

解算方程：x=0.5(x+7\x)可知，方程的解正是根号7。同理，如果是n的话，其解也会是根号n，这就达到了通过不动点的转换求取无理数值的目的。那么，这个交点的求法如何？

（2）、关于函数不动点的收敛性。

如图所示，取x0=10后，得出f（10）。通过y=x的转换，得到x=f（10），在此将f（10）投影到f（x）上，则得到了f（f（10））。从图上显而易见，f（f（10））更加趋近于不动点。而且，随着迭代的不断进行，精度还可以逐步提高。最终使f n（x）与不动点之间的误差达到可以忽略掉的级别。而迭代本身这一繁复的运算则可以交由计算机执行，即上文中的do-while循环。

（由图可见，不断收敛的折线会逼近交点）

该算法在高等教育出版社《全国计算机等级考试二级教程—c语言程序设计（2013年版）》中作为了一个例题出现，使用了0.5a（即我们这里的0.5n）作为初始的x值，道理相同。

后记：将牛顿公式化简之后，即为x2=n，要注意两点。第一，本公式会计算出正负两

个值，要注意筛选。第二，笔者先前有一个疑惑，就是为什么不能采用x=n/x这个式子呢？事实上，如果采用那一个算式的话，不论代入的处置为何，都会进入死循环之中。其几何原理就是，y=n/x本身就是关于y=x对称的，即是说，不论代入什么初值，都会形成一个封闭的矩形而不会向交点收敛。从函数另一方面来说，y=n/x是其本身的反函

数，重复迭代是没有意义的。所以，只需要打破左右的形式就可以完成迭代计算，达到求解的目的。因而，牛顿开方公式本身的形式也是可以有多样化的。

资料参考：[1].百度知道页：

/link?url=OUd3gCRxv6V2vsRu8JuowSuqRsDJuSM67lcE6S gdgXivTN12OWapW4XLttY_GLKnKujQxXNf5u0ttQ3o1_UnFK