行程问题解析

，行程问题从运动形式上分可以分为五大类：
五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。

这其中的交织与综合不仅仅是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。

想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。

下面我们就以五大题型为主线，以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系统性梳理，并在例题的讲解中穿插解题方法的总结，让大家对小学阶段行程问题的题型与方法有一个总体把握。

每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。

每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。

1. 直线上的相遇与追及
上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。

一般情况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联系在一起。

这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。

例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。

问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）
「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。

那路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点32千米处相遇"这句话中。

大家不妨自己动手试着做一做。

除了像刚才例题1那样一次性的追及与相遇过程外，还有很多相遇与追及问题是在往返过程中多次发生的。

下面就是一道这样的例题：
例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006年小升初考题）「思路解析」相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示
直线上的相遇、追及是行程问题中最基本的两类问题，这两类问题的解决可以说是绝大多数行程问题解决的基石．只要是两个物体在同时运动，它们之间的关系一般都可以表示为相遇或追及．而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的．
2. 火车过人、过桥与错车问题
在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。

因为此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。

就拿火车过桥来说，如果题目考察的是火车过桥的整个过程，那么就应该从"车头上桥"开始到"车尾下桥"结束，对应的路程就等于"车长桥长"；如果题目考察的是火车停留在桥上的过程，那就应该从"车尾上桥"到"车头下桥"结束。

对应的路程就应该是"火车车长桥长".具体如下所示：
例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。

求列车与货车从相遇到离开所用的时间。

（仁华学校2005年五年级上学期期末考试试题）「思路解析」本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错车问题。

而这两者之间最关键的是第一个过程的分析，分析方法就是前面所说的四大方法中的第三点——"利用和差倍分关系进行对比分析"：250米的隧道比210米的隧道多40米，从而使得客车通过前者的时间比后者多了秒，由此即可得出客车的速度。

有了客车速度，再求客车长度以及错车时间就非常容易了。

大家不妨自己动手算算。

当然，火车问题并非只有火车，一个有长度的队列也是这类问题的常客。

下面这道题目就是一个队列问题，有兴趣的同学不妨自己动手尝试一下。

在必要时，还可以借助于方程进行求解。

例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。

一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学2008年小升初考题）
3. 多个对象间的行程问题
虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而是把这些对象两两进行对比。

因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之间的关系，转化为与其它对象有关的结论。

例题5. 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。

现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。

那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008"港澳数学奥林匹克公开赛"试题）「思路解析」本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后6分钟内，甲、乙两人的路程和。

这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。

只要明白了这一路程的双重身份，就能很快求出此题。

大家不妨画出图来，自己分析一下。

4. 环形问题与时钟问题
环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于"周期性"与"对称性".这是由环形跑道本身的特点决定的。

大家再分析环形问题时，一定要留意"周期性"与"对称性"在题目中的体现。

例题6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。

现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？（第十六届"全国小学数学奥林匹克"竞赛初赛试题）
「思路解析」本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。

像这种只给时间、求时间的问题，通常的做法就是——设数。

把路程或速度这两个未知量中的某一个量随便设个数，然后再进行求解。

本题就可以设环形公路的全程为6300米，接着便可求甲、乙两人的速度了。

接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。

例题7. 有一座时钟现在显示10时整。

那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届"迎春杯"决赛试题）「思路解析」时钟问题本质上说就是一个环形问题，只要给出合适的速度、路程、时间的表示，求解过程与一般环形问题没什么两样。

大家不妨自己动手做一做。

5. 流水行船问题
流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。

由于有水流的因素，船的速度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、顺水速度。

在分析流水行船问题时，一定要把水流的因素考虑到位，很多题目分析的关键本身就在水流上！
例题8. 甲、乙两船分别在一条河的A，B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。

相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米。

如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？（某重点中学2003年小升初考题）
「思路解析」甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。

调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。

「思路解析」本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问题。

本题的分析关键也在于速度，如果甲、乙两人的速度已知，那本题的求解就没有任何悬念了。

因此，分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。

大家只要注意到甲、乙的速度差恰好等于水速这一点，就不难进行分析了。

大家不妨动手试试。

上述9道例题可以说只是小升初行程问题的一个掠影，虽然每一道都是其所在类别里最为典型的例题，但稍加变化都会变出来很多新的模样。

而且，题目除了会在每一类中发生变化外，还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变化多端，而且在分析方法上也是花样迭出。

但是，我们需要关心的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。

行程问题固然变化多端，但无论怎么变，也逃不出本文一开始提到的那"五大题型"与"四大方法"，只是在题型上会更加综合，在题解上用到的方法会更多一些。

但只要这"五大题型"和"四大方法"掌握好，题目再怎么综合、方法再怎么多，也一样是小菜一碟。

1、甲乙两人在相距120米的直路上来回跑步，甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒。

如果他们同时分别从两端出发，且每人跑10分钟，问他们相遇了多少次？
解法1（4年级的解法）：甲每30秒跑一个单程，乙每2 4秒跑一个单程，240秒后，甲跑了8个单程，乙跑了10个单程，这时两人共相遇了9次（当120秒时，在端点相遇，看做2个单程相遇一次，共相遇10-1=9次），并且各自回到出发点，我们可以看做每240秒一个周期。

10×60÷240=2个周期...120秒
所以共相遇2×9+5=23次。

解法2（用比例的知识来解答）：
甲乙的速度比=4：5，路程比等于速度比，当甲行8个单程时，乙行了10个单程，两人共相遇（10-1=9次）。

10分钟内甲共行了10×6×5÷120=25个单程，
25÷10=2（个周期）...5个单程
所以共相遇2×9+5=23次
解法3：此题的相遇次数分为迎面相遇和追击相遇。

迎面相遇：第一次相遇两人合走一个单程，用时120÷(5+4)=40/3秒，以后每两个单程迎面相遇一次，用时40 /3×2=80/3秒。

10分钟内迎面相遇(10×6-40/3)÷80/3+1=23次
追击相遇：第一次追击相遇乙比甲多走一个单程，用时120÷(5-4)=120秒，以后乙比甲多走2个单程，就追击相遇一次。

10分钟内追击相遇(10×6-120)÷240+1=3次。

但需要注意的是，如果在端点相遇，那么这次相遇在迎面相遇和追击相遇里都被计算了一次，应去掉重复（经计算，共有3次端点相遇，时间分别是120秒后，360秒后，600秒后）。

所以总相遇次数=迎面相遇次数+追击相遇次数-端点相遇次数（去掉重复）
=23+3-3
=23次
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2、甲,乙两人在相距90米的直路上来回跑步.甲的速度是每秒钟跑3米,乙的速度是每秒跑2米.如果他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了10分钟,那么在这段时间内,第一个问:甲,乙共相遇了多少次?第二个问:甲,乙共迎面相遇了多少次?
解法1(好数老师提供)：
解法2：
第一次迎面相遇两人合走1个单程，用时90/(3+2)=18秒。

以后每合走2个全程，相遇一次，相遇时间为18*2=36秒。

10分钟内，两人共相遇(10*60-18)/36+1=17次。

第一次追击相遇甲比乙多走1个全程，用时90/(3-2)=90秒。

以后甲每追击2个单程，就相遇一次，相遇时间为90*2=180秒。

10分钟内共追击相遇(10*60-90)/180+1=3次。

通过计算，这3次都是在端点相遇。

所以5分钟内，甲乙两人共相遇了17+3-3=17次。

因为有3次是在端点相遇，我们也算在了迎面相遇里，所以迎面相遇实际为17-3=14次。

解法3：甲乙的速度比是3：2，当甲游6个全程，乙游4个全程时，两人各自回到出发点，可以看做一个周期。

在这个周期里共相遇了5次。

10分钟内甲（速度快）一共游了
(10*60*3)/90=20个单程，20/6=3...2。

一共有3个周期，共相遇了3*5+2=17 次。

第2问用这种方法我不会做。

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3.两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。

如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次?
解法1：
解法2：这里的相遇分为迎面相遇和追击相遇，需要分类计算。

迎面相遇：
第一次，合走1个全程迎面相遇1次，用时30/(1+0.6)=18.75秒，
以后每走2个全程相遇一次。

相遇一次用时18.75*2=37.5秒。

5分钟内共迎面相遇：(5*60-18.75)/37.5+1=8次。

追击相遇：
第一次，甲（速度快）追击1个全程与乙（速度慢）相遇一次，用时30/(1-0.6)=75秒，
以后甲每追击2个全程与乙相遇一次，用时75*2=150秒。

5分钟内共追击相遇：（5*60-75）/150+1=2次。

需要注意：如果相遇点在游泳池的两端，那么这次相遇在计算迎面相遇和追击相遇时都加了一次，所以应该去掉重复，有在端点相遇几次，就减几。

追击相遇里，第一次相遇是75秒后，第2次相遇是75+150=225秒。

75*1/30商不是整数，所以第一次不是在端点相遇。

第2次225*1/30商不是整数。

所以第2次也不是在端点相遇。

所以5分钟内共相遇8+2=10次。

解这类题的技巧：相遇总次数=迎面相遇次数+追击相遇次数-在端点相遇的次数（重复次数）
解法3（转）：甲乙都在池子里面游，不管怎么样在一个单程中总会见到另外一个人的，绝不可能出现一个单程碰不到另外一个人的情况，当然也不会有（快的）一个单程碰两次（慢的）的人的情况。

甲乙的速度比1：0.6=5：3，即当甲游5个单程时，乙游3个单程，两人正好在对方的出发点，所以不会出现端点相遇的情况。

甲5分钟游1*5*60/30=10个单程
乙5分钟游0.6*5*60/30=6个单程
一个单程相遇一次，因为甲（速度快）一共游了10个单程。

所以共相遇10次。