3种画圆算法的优劣分析

三种画圆算法的优劣分析学生姓名：杨晓瑜指导教师：张俊花摘要通过对Bresenham画圆法、正负画圆法、中点画圆法的算法分析，以及实现算法的程序运行速度和程序存储空间分析的比较。

对此3种算法进行综合的优劣分析。

关键词Bresenham 画圆法；正负画圆法；中点画圆法AbstractBy analysing the algorithms of Bresenham drawcirclc right-and-lose drawcircle and midpoint drawcircle，comparing their proceduze，run speeds and the small circle radiuses they display，the virtues and defects of the three algorithms are analysed synthetically．Key wordsBresenham drawcircle；right—and—lose drawcircle，o midpoint drawcircle1、引言图形通常是由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成．直线与曲线是组成图形的基本元素．其生成算法的优劣对整个图形系统的效率是至关重要的，因为在产生一幅图形的过程中要反复多次调用这些算法程序．曲线的生成算法可分为线生成和像素级(或称点)生成两类．所谓线生成就是以小的直线段来逼近和代替实际曲线而显示之；而点生成则是逐个像素地选择距离实际曲线最近的点而显示之．圆是一种基本的、常用的元素，其生成算法也有很多，围绕这些算法人们进行了讨论和探索，其核心无非是为了节省时间和空间。

本文仅以Bresenham画圆、正负画圆、中点画圆3种方法讨论圆的点生成算法，并对此3种算法进行优劣分析．2、3种圆的点生成算法2.1 Bresenham画圆法(1)只要画出圆上的1／8弧AB(设圆心在原点，A点是y轴正向与圆弧的交点，B点在第一限的圆弧上)，根据圆的对称性，即可画出整个圆．(2)在AB弧上取任一点。

像素为p i－1=（x i－1，y i－1），按顺时针方向生成圆时，为了最佳逼近该圆，根据圆弧的走向，下一点像素的取法只有两种可能的选择：正右方像素和右下方像素，分别记为H i和L i，H i点特征：( X hi=x i，Y hi=y i-1)，L i点特征：(X li=x i，Y Li=y i-1－1)(3)判断选择点由圆的方程标准形式(x-x c) ²+(y-y c) ² =R²可知，圆周上的实际位置的y值可由y²=R²-(x i-1+1)²=R²-x i²得到，这个y值和整数坐标值y i –1之间的关系，用下式d h和d l表示。

d h＝y i－1²－y²=y i－1²－R²＋x i²，d l＝y²－（y i－1－1）²＝R²－x i²－（y i－1－1）²d h和d l的差用一个参数d i来表示：d i=d h－d l=2 x i²+y i－1²+（y i－1－1）²－2R²。

故构造函数如下：D(p)=(x2+y2)-R2d i=D(H i)+D(L i)=(x hi2+y hi2-R2)+ (x li2+y li2-R2)如果d i为负，选择H i点；若d i=0，则选择H i或L i均可；否则，选择L i 点，再考虑H i与L i全在圆内的情况，实际是沿H i上方通过，则有d h<0，d l>0，且d i<0，故选择H i点，对H i与L i全在圆外情况，有d h>0，d l<0,且d i>0，故选择L i点。

各点坐标：P i-1(x i-1,y i-1) , H i(x i,y i-1), L i(x i,y i-1-1), H i+1(x i+1,y i),L i+1(x i+1,y i-1-1)；起点坐标：A（x0，y0），其中x0=0,y0=R,x1=x0+1=1。

（4）构造d i与d i+1的关系，不断选择点，直到生成第一个8分圆。

d1=D(H1)+D(L1)=(x12+y02-R2)+[x12+(y0-1)2-R2]=1+1+R2-2R+1-R=3-2Rdi=D(H i)+D(L i)=(x i2+y i-12-R2)+[x i2+(y i-1-1)2-R2]= 2x i2+2y i-12-2y i-1-2R2+1d i+1=D(H i+1)+D(L i+1)= (x i+12+y i2-R2)+[x i+12+(y i-1)2-R2]=( 2x i2+2y i-12-2y i-1-2R2+1)+4x i-1+6,(d i<0,取H i，y i=y i-1)，( 2x i2+2y i-12-2y i-1-2R2+1)+4（x i-1+y i-1）+10，（d i≥0，取L i,y i=yi-1-1）。

2.2正负画圆法（1）画出圆的1/4圆弧AB（第一象限，A点在Y轴上），利用对称性画出整个圆，在此仅考虑圆心在原点，半径为R的第一个4分圆。

（2）在AB上，设当前点像素为P（x p，y p），按顺时针方向生成圆弧式，为了最佳逼近圆弧，下一个像素只能是正右方的P1或正下方的P2两者之一，且P1（x p+1,y p）,p2(x p,y p-1)。

如果当前点P在圆内，则下一点选择正右方的P1；否则，选择正下方的P 2.。

(3)为判别P1或P2，构造函数：F( x，y)=x2+y2-R2。

理论上F( x，y)=0(点在圆上)。

又知F(x ，y)>0，点(x，y)在圆外；F(x，y)<0，点( x，y)在圆内。

结合(2)、(3)且将等号合并有F( x，y)>0，下一点选P2，F( x，y)≤0，下一点选P1。

(4)确定再下一个像素．为减少计算量，构造F(x ，y)的递推公式：各点坐标：P（x i，y i），P1(x i+1,y i)，P2(x i,y i-1)，起点坐标：A(x1,y1)=A(0,R),x i+1=x i+1,F(x1,y1)=x12+y12-R2=0，F(x i,y i)=x i2+y i2-R2,F(x i-1,y i-1)=x i-12+y i-12-R2，若F(x i,y i) ≤0，x i+1=x i+1,y i+1=y i,故F(x i+1,y i+1)=(x i+1)2+y i2-R2=x i2+y i2-R2+2x i+1=F(x i,y i)+2x i+1,若F(x i,y i)>0时，x i+1=x i,y i+1=y i-1,故F(x i+1,y i+1)=x i2+(y i-1)2-R2=x i2+y i2-R2-2y i+1=F(x i,y i)-2y i+1,再判断F(x i+1,y i+1)的符号，就可以确定其后续选择点。

2．3中点画圆法(1)与Bresenham类似，只要画出圆上的1／8弧AB，根据圆的对称性画出整个圆．仍考虑圆心在原点，半径为的第一个8分圆．(2)在弧AB上设当前点像素为P( X p，Y p)，按顺时针方向生成圆弧时，为了最佳逼近圆弧，下一个像素只能是正右方的P1，或右下方的P2两者之一。

如图1所示。

图1 中点画圆示意图（3）为判别P1或P2，构造函数F（X,Y）=X2+Y2-R2。

对于圆上的点，F(X,Y)=0；对于圆外的点F(X,Y)>0；而对于圆内的点，F(X,Y)<0。

假设M是P1和P2的中点，及M=（X p+1,Y p-0.5），那么，当F（M）<0时，M在圆内，这说明P1距离圆弧更近，应取P1作为下一个像素，而当F(M)>0时，P2离圆弧更近，应取P2，当F(M)=0时，在P1与P2之中随便取一个即可，我们约定取P2，即F(M)<0,应取P1，F(M)≧0，应取P2（4）为继续确定下一个像素，构造判别式：d=F(M)=F(X p+1,Y p-0.5)=（X p+1）2+（Y p-0.5）2-R2当d<0时，P1成为确定的当前像素，而且P1的下一个像素只能是A’或B’，如图1所示，判别式为：d=F(M1)=F(X p+2,Y p-0.5)=(X p+2)2+(Y p-0.5)2-R2=(X p+1)2+2(X p+1)+1+(Y p-0.5)2-R2=d+2X p+3,所以沿正方向，d的增量为2X p+3。

而当d≧0时，P2成为当前像素，而且P2的下一个像素只能是B’huoC’，如图1所示，其判别式为：d=F(M2)=F(X p+2,Y p-1.5)=(X p+2)2+(Y p-1.5)2-R2=(X p+1)2+2(X p+1)+1+(Y p-0.5)2-2(Y p-0.5)2+1-R2=d+2（X p- Y p）+5,所以沿着右下方向，d的增量为2（X p- Y p）+5。

3、3种算法的分析比较对于一个算法来说，其所用的空间和时间有时是两个对立的因素。

那么，空间和时间哪一个更重要呢?本文的观点是：对于图形学的基础算法来说，时间比空间更重要。

那么，如何比较图形学基础算法的速度呢?本文对算法速度比较的观点是：对图形学基础算法的比较应以分析算法的计算量为尺度。

该计算量应以算数运算及计算机操作的次数为单位。

Bresenham算法每生成一点的计算量为：循环语句的一次比较操作；d与0的一次比较操作；更新d值的一次移位操作和2次加法及每当y减1时增加的一次减法．这个减法在8分圆中共出现R-R/2次，而8分圆共有R/2个点，因此平均到每点的减法为2-1，约0.4次，则每生成一点的平均计算量为：2次比较，1次移位，2次加法及0.4次减法，共5.4次整数运算(不包含移动坐标值的加1及减1运算)。

同样地，分析正负画圆及中点画圆法后，可列表比较，见表1。

分析表1可知：中点画圆算法速度最快．为了进一步进行比较，编程分别用这3种算法对圆心在(70，70)，半径为50的圆画30 000次，使用的是同一环境(P4 2.0)，运行结果是：Bresenham算法用了8．001秒，正负法算法用了11．00秒，中点算法用了7．02秒圆生成算法（中点画圆、Bresenham画圆）#include <graphics.h>#include <math.h>void MidPointCircle(int r, int color);void CirclePoints(int x,int y,int color);void BresenhamCircle(int xc,int yc,int r,int color);void plot_cicle_point(int xc,int yc,int x,int y,int color);main(){int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode," ");cleardevice();setbkcolor(2);MidPointCircle(100,4);getch();cleardevice();BresenhamCircle(100,100,50,5);getch();closegraph();}void MidPointCircle(int r,int color) {int x,y;float d;x=0;y=r;d=1.25-r;CirclePoints(x,y,color);while(x<=y){if(d<0)d+=2*x+3;else{d+=2*(x-y)+5;y--;}x++;CirclePoints(x,y,color);}}void CirclePoints(int x,int y,int color){putpixel(x,y,color);putpixel(y,x,color);putpixel(-x,y,color);putpixel(y,-x,color);putpixel(x,-y,color);putpixel(-y,x,color);putpixel(-x,-y,color);putpixel(-y,-x,color);}void plot_circle_point(int xc,int yc,int x,int y,int color) {putpixel(xc+x,yc+y,color);putpixel(xc-x,yc+y,color);putpixel(xc+x,yc-y,color);putpixel(xc-x,yc-y,color);putpixel(xc+y,yc+x,color);putpixel(xc-y,yc+x,color);putpixel(xc+y,yc-x,color);putpixel(xc-y,yc-x,color);}void BresenhamCircle(int xc,int yc,int r,int color) {int x,y,d;x=0;y=r;d=3-2*r;while(x<y){plot_circle_point(xc,yc,x,y,color);if(d<0)d=d+4*x+6;else{d=d+4*(x-y)+10;y--;}x++;}if(x==y)plot_circle_point(xc,yc,x,y,color);}表1 三种算法每生成一点所需的计算量的比较Tab1 Compare of three algorithmic in which drawing one point通过实际的程序运行比较分析，结论是中点画圆法速度最快．就算法本身而言，该算法仍可在某些方面进行改进，如将其中的浮点运算改为整数运算等，执行速度将更快．生成直线和圆这类基础算法在编程时要被无数次的调用，可能每生成一帧画面就要被调用成百上千次，因此其执行速度是至关重要的．而这类基础算法的长度都很短，即使多用一些分支，多用一些变量和语句，一般来说只不过增加几十个语句．这样的空间增加与算法极重要的速度要求来比较是相对次要的因素，因此在开发图形学的基础算法时，如果有可能提高算法的速度，应不惜多占一些存储空间．参考文献【1】孙家广，计算机图形学[M]第三版，北京：清华大学出版社，1999。