能带理论 第六章 自由电子论 电子的输运性质

d 1
离开金属的电子能量
1 2
1 2
m 2 必须大于E0，由于
m 2 E F E0 E F
而 k BT 因此分布函数分母中的1可以忽略：
m E F / k B T m 2 / 2k B T dn 2 e e d h
3
设0x轴垂直金属表面，自由电子沿x方向离开金属，这 1 就要求沿x方向的动能 2 m 2 x 必须大于Ф ，而 z 和 y 的数 值是任意的。因此沿x方向的热发射电流密度为：
1 接触电势差
具有不同功函数fA和fB的两种块金属费米能级的高度差为fB－fA，当 它们相互接触或者用导线联结时，就会带电产生不同的电势VA和VB，功函 数的不同直接反映了它们费米能级的高低不同，当它们通过相互接触或 通过导线可以交换电子时，就会发生电子从费米能级较高的A金属流向费 米能级较低的B金属，使A表面带正电，B表面带负电，从而使它们产生静 电势：VA>0， VB<0。这样金属A和B的电子将分别产生附加的静电势能 qVA<0， -qVB>0，结果使两块金属的费米能级拉平，电子不再流动。
I


E
e
E EF k BT
0
dE 1
其中 E 分别为CE1/2和E3/2，作变量变换
z
则
I
E EF k BT
k BTdz k BTdz


E B
k BTz E F k BTz E F
e 1
z
z
k F T 0
e 1
z

当系统处于有限温度时，由
N


0
f E N E dE C


E1 / 2 e
E EF k BT
0
dE 1
可以确定系统的费米能，自由电子气的内能为：
U
Ef E N E dE C
0


E3/ 2 e
E EF k BT
0
dE 1
上述两个积分都可以写成下列形式：


设金属体是边长为L的立方体，周期性边界条件为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
满足自由粒子薛定谔方程和周期性边界条件的波函数是 n ,n ,n 平面行波形式的波函数：
x y z
k r Aeik r
而波矢k的分量必须满足：
2n y 2n x 2n z kx , ky , kz L L L
n为整数，包括零。
将波函数代入薛定谔方程可得波矢为k的量子态的能量：
2k 2 2 2 2 2 Ek kx k y kz 2m 2m
k k E k
1 k m
单位体积中，在 dk dk x dk y dk z 中的量子态数为：
m dk 2 d 3 8 h 2
3
则在 d 内统计平均自由电子数为：
m dn 2 h
3
1 e
m 2 / 2 E F k BT
电子的热容量为：
2 k BT U CV T Nk B 0 TV 2 EF
如果每个原子有Z个价电子，对于1摩尔金属，N0kB=R为 气体常数，则
ZFra Baidu bibliotek2 R 0 2 TF
称为电子比热系数。
§2
接触电势差 热电子发射
代入运动方程可得上式右边第二项为零：
k

1 q 1 0 q E q E k B k E k B k k 2
Vc dZ 2 3 4k 2 dk 8
利用能量E和波矢k之间的色散关系可得
2m dZ 4Vc 2 h
3/ 2
E 1 / 2 dE
因此能态密度为：
dZ 2m N E 4Vc 2 dE h
3/ 2
E 1 / 2 CE1 / 2
第六章
自由电子论
电子的输运性质
教学目的：
掌握费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的 相互作用、金属电导率；了解玻耳兹曼方程、电阻率的 统计模型等。
§1
电子气的费密能和热容量
1 费密能量
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作 用，各自独立地在平均势场中运动，通常取平均势场为能 量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功， 因此金属中自由电子的能态，可以从在一定深度的势阱中 运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属 中自由电子的平均势能为零，金属外电子的平均势能为无 穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
L 2
3
由于自由电子的能量和波矢的平方成正比，因此，在 波矢空间自由电子的能量等于某个定值的曲面是一个球面。 在能量E到E+dE之间的区域，是半径为k到k+dk两个球面之 间的球壳层，它的体积为：
4k dk
2
考虑对应于一个确定的k，可以容纳自旋相反的两个电子， 其中量子态的数目为：
其中常数：
2m C 4Vc 2 h
3/ 2
自旋为1/2的电子是费米子，自由电子气体中的电子遵从泡 利不相容原理，服从费米－狄拉克统计，在热平衡时，电子处 于能量为E的状态的几率为：
f E e
1
E EF k BT
1
其中EF具有能量的量纲，称为费米能，实际上等于这个系 统中电子的化学势。由系统中电子总数N决定：
这就是里查孙－杜师曼公式。
§3
玻耳兹曼方程
费米分布函数 f T 是系统处于统计平衡状态时，电 子占据量子态的几率。在恒定外场的作用下，电子达到 一个新的定态统计分布。这种定态统计分布也可以用一 个与平衡时相似的分布函数 f k 来描述。 ，就可以直接计算电流密度。 一旦确定了分布函数 f k 这种通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法， 就是分布函数法。在自由电子模型中，电子的输运过程与 在外场力作用下产生的漂移和电子和声子的碰撞有关。


对于波矢为k的行进波状态，电子有确定的动量：
p k r i k r k k r
在以kx, ky, kz为坐标轴的空间，即波矢空间，每个 量子态k在波矢空间占据的体积为：
2 2 2 2 L L L L
3
在k空间中量子态对应的点是均匀分布的，因此单位体 积中的量子态数为：


2

2

因此
2 0 EF EF 1 12
3 5 2 0 U NEF 1 5 12
k BT E0 F
k BT E0 F

2

2

2 2 x, y, z E x, y, z 2m
用分离变量方法解此薛定谔方程，设
x, y, z 1 x 2 y 3 z
2k 2 2 2 2 2 E kx k y kz 2m 2m
代入薛定谔方程可得三个方程：
d 21 x 2 k x 1 x 0 2 2dx d 2 y 2 k y 2 y 0 2 dy d 2 3 z 2 k z 3 z 0 2 dz
2


0
z dz z e 1
由定积分公式

可得

0
z 2 dz z 12 e 1
k BT E F
k BT E F
2 2 3/ 2 N CEF 1 3 8
5 2 2 5/ 2 U CEF 1 5 8
E k F BT


0
k BTz E F k
e 1
z
BTd


EF k BT
k BTz E F
e 1
0
k BTdz


0
k BTz EF k
e 1
z
BTd z
令
可得
I
1 1 1 e z 1 ez 1
EF

0
E dE k BT
j AT 2 e / k B T
m j 2q e EF / kBT h
3
3



d y




d z

2 mE0
e
m 2 / 2 k BT
x d x
m EF / kBT 2k BT = 2q e h m
3
2 mE0


0
EF k BTz EF k BTz dz
ez 1
在上式右方第二项中，考虑到
EF 1 k BT
可将积分限都取作无穷大，由于被积函数的分母使 对积分的贡献主要来自z小的范围，因此可以将被积函数 的分子展开为z的幂级数，只取z的一次项得：
I

EF
0
E dE 2k BT E F
vF 3n m
2 1/3
相应于费米能的温度称为费米温度
0 EF TF kB
绝对零度时电子气系统每个电子的平均能量，即平均动 能为： E
EK E 1 N

0
0 F
EdN
3 0 EF 5
费米面上的能态密度为：
/2 N E F CE1 F
3 N 0 2 EF
2. 金属中电子气的热容量
E0 EF
Ф 称为脱出功。
当金属丝被加热到很高温度时，有一部分电子获得的 能量多于f，它们就有可能逸出金属，产生热电子发射电流， 其电流密度的实验规律为：
j AT e
2 / k B T
上式称为里查孙－杜师曼公式。其中A为常数。根 据自由电子的速度分布计算热发射电流。
由自由电子的色散关系可得其速度为：
qVB qVA B A
在这种平衡条件下，电势差VA－VB就是两块金属的接触电势差：
V A VB
1 q
B A
2. 热电子发射
金属中的传导电子由于受正离子的吸引一般不会离
开金属，只有在外界给它提供足够的能量时，传导电子 才有可能脱离金属。按照自由电子气模型，自由电子在 深度为E0的势阱中运动，费米能级为EF，自由电子离开 金属至少需要从外界获得的能量为：
f E N
i i
系统中能量在E和E+dE之间的电子数为：
dN f E N E dE
在绝对零度，当E<EF时，f(E)=1；当E>EF时，f(E)= 0。
因此：
0 EF
N

0
8 2m f E N E dE Vc 2 3 h
3/ 2
E
e
m 2 / 2 k BT
x d x
m EF / kBT 2k BT k BT E0 / kBT = 2q e e h m m
mk BT 2 E F E0 / k BT 4q e 3 h AT 2e / k BT
0 3/ 2 F
2 0 2 2/3 其中积分上限 EF 3n 2m 表示绝对零度时系统的费米能。
2 0 令n=N/Vc，表示系统的电子浓度，则： E F 3n 2 2m




2/3
相应于费米能 E的波矢称为费米波矢 F
kF 3n
2 1/3

在波矢空间半径为kF的球面称为费米面，相应的动量称 为费米动量 2 1/3 pF 3n 相应的速度称为费米速度
漂移项 在存在恒定电场E和磁场B时，电子的状态改变为：
dk 1 1 qE q k E k B dt
分布函数相应的变化，可以看成在k空间流体密度
2 f k, t 和流速 dk / dt 满足的连续性方程：
dk dk dk 2 f k, t k 2 f k , t 2 f k , t 2 f k , t k k t dt dt dt