高数3-6边际与弹性

ER dR Q EQ dQ R
ER 式 中 ： 收 益 的 价 格 弹 性 ； EP
ER －－收益的销售弹性 . EQ
例 2 假设某产品的需求函数 P 100 X ，其中 X 为产量(假定等于需求量)，P 为价格，求收益的 价格弹性． 解： X 100 2 / P 2 , R( P ) PX 10 4 / P
显然甲商品涨价幅度比乙商品涨价幅度更大。如果乙 商品的涨价是由甲商品涨价引起的，则若甲涨价1%，乙 会涨价0.025%。
即乙商品相对于甲商品的平均相对变化率 (即弹性)为0.025。
1. 弹性的定义 定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
y f ( x0 x ) f ( x0 ) 称函数的相对改变量 y0 f ( x0 ) y y0 x 与自变量的相对改变量 之比 为函数从 x0 x x0
记作
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0 x0 . f ( x0 )
f ( x 0 )
弹性函数的定义
一般地，若函数y f ( x )在区间(a , b)内可导， 且f ( x ) 0，则称 Ey y / y y x x lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y
2)边际平均成本：
平均成本 C (Q )的 导 数 C (Q ) QC (Q ) C (Q ) C (Q ) 称为平均边际成本 . 2 Q Q
总成本 C (Q )等 于 固 定 成 本 C 0与 可 变 成 本 C 1 (Q )之 和 ， 即 ：C (Q ) C 0 C 1 (Q )
2Q Q (3)边际 成本函 数 C (Q ) ,当Q 900 1200 600 时的 边际成 本 C (Q ) Q 900 1.5
2. 边际收益
定义：总 收 益 函 数 R(Q )的 导 数
R R(Q Q ) R(Q ) R(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际收益函数 .
解 (1)生产900个单位时的总成本为 9002 C (Q ) Q 900 1100 1775 1200
平均成本为
C (Q)
Q 900
1775 1.99 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q) C (1000 ) C (900) 1993 1775 1.58 Q 1000 900 100
x0 到 x0 x 两点间的平均相对变化率，或称为 x0 与 x0 x 两点间的弹性．
y y0 当 x 0时， 称 的极限为函数 y f ( x ) x x0
在 x x0处的相对变化率，也就是相对导数，或称为 函数 y f ( x ) 在 x x0处的弹性(点弹性)。
第六节
边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数 y f ( x) 在 x0 处可导，则在( x0 , x0 x ) 内的
y 平均变化率为 ；在 x x0 处的瞬时变化率为 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ) ， x 0 x 经济学中称它为 f ( x) 在 x x0 处的边际函数值.
R 与边际收益 R 。 6．某产品的需求量 Q 关于价格 P 的函数为
Q 75 P 2 ，求 P=4 时的边际需求，并说明其经济
意义。
三、弹性的概念
甲商品每单位价格5元，涨价1元；
绝对改变量
相对改变量
乙商品每单位价格200元，也涨价1元；
与原价相比，甲商品涨价20%，乙商品涨价0.5%。
L(Q ) Q 20 L( 20 ) 50
L(Q) Q25 L(25) 0
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
( p) Ed
Q dP
Q 100P 3000 ，求 例1 某 需 求 曲 线 为 ： 当P 20时 的 弹 性 ．
解
dQ 100 dP
当P 20时 ，Q 1000
20 所以E P 100 2. 1000
2. 收益弹性
ER dR P EP dP R
而边际成本则为：
(Q) C(Q) [C0 C1 (Q)] C1
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产 Q 单位的总成本为 Q2 C ( Q ) 1100 1200 ， 求：(1) 生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2) 生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3) 生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
设P为价格， P P (Q)，因此 R(Q) PQ Q P (Q)，R(Q) P(Q) QP (Q)
例3
P 为 设某产品的需求函数为P 20 Q ， 其中
5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率．
求：（1）边际函数； （2）Q=3,Q=5 时的边际函数值。并说明经济 意义 2. 就下列各函数求其 MR 函数，并在 Q=4 和 Q=5 时求其值：
(a ) P Q 2 2Q （ 1 供给函数 ) (b)Q 36 2 P (需 求 函 数 )
解： (1)C (Q ) 6Q 7 (2) L(Q ) 2Q 13 (3) R(Q ) 12 2Q
为函数y f ( x )在区间(a , b)内的点弹性函数，简称 弹性函数.
x y 弹性反映的是 x的变化幅度 对f ( x )变化幅度 大小 x y
Ey x y y Ex y y x
的影响，即 f ( x )对x变化反应的强烈程度或灵敏度。
弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。
解 Q( P ) dP 2 P ,当P 4时的边际需求为
dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
练习题
1. 试就下列各总函数：
(1)C （Q ） 3Q2 7Q 12
(2) L(Q) Q2 13Q 78 (3) R(Q) 12Q Q2 (4)C(Q) 35 5Q 2Q2 2Q3
。 C C(Q) 1000 7Q 50 Q , Q 0,1000
求：(1)当日产量为 1000 吨时的边际成本； (2)当日产量为 1000 吨时的平均单位成 本。
5．某产品的价格 P 与需求量 Q 的关系为
P 10 Q 5 ，求需求量为
30 时的总收益 R，平均收益
定义1 设函数 y f ( x) 在 x 处可导，则称导数 f ( x)
为 f ( x) 的边际函数． f ( x ) 在 x0 处的值 f ( x0 )为边 际函数值．即当 x x0 时， x 改变一个单位， y 改 变 f ( x0 )个单位．
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
L(Q) Q35 L(35) 100
4. 边际需求
定义 若Q f ( P )是需求函数，则需求量Q对价格P
dP 的导数 f ( P)称为边际需求函数. dQ
2 Q Q ( P ) 75 P 例 6 某商品的需求函数为 ，求 P 4
时的边际需求，并说明经济意义．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本函数 C (Q )的 导 数 C C (Q Q ) C (Q ) C (Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q
解
销售 15个 单 位 时 总收益 R Q 15
Q2 总收益为 R QP(Q ) 20Q 5
Q2 ( 20Q ) 5
255
Q 15Fra Baidu bibliotek
平均收益 R Q 15
R(Q ) Q

Q 15
255 17 15
边际收益 R(Q ) Q 15
2 ( 20 Q ) 14 5 Q 15
Q 2
R(Q ) PQ 10Qe 解 收益函数

Q 2
(0 Q 6)
Q 2
边际收益函数 R (Q) 5(2 Q )e
(0 Q 6)
3. 边际利润 定义：总 利 润 函 数 L(Q )的 导 数
L L(Q Q ) L(Q ) L(Q ) Lim Lim Q 0 Q Q 0 Q 称为边际利润 .
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析 后，得出总利润 L(Q ) (元)与每月产量 Q (吨)的关
2 L L ( Q ) 250 Q 5 Q 系为 ，试确定每月生产 20 吨，
25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释． L(Q) 250 10Q, 则 解 边际利润为
四、 经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性 需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起 的需求量的反应程度.用公式表示为
Q P dQ P E P lim . p0 P Q dP Q
注 因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，
需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方 便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常 用符号 表示。 P dQ
当销 售量 从 15个单 位增 加到 20个单 位时 收益的 平均 化率 变 为 R R( 20) R(15) 320 255 13 Q 20 15 5
例4.当某厂家打算生产一批 商品投放市场，已知该 商品 的需求函数为P P (Q ) 10e ，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量 为6．求该商品的收益函数 和边收益际函数．
2 (4)C (Q ) 5 4Q 6Q C (3) 25, L(3) 7 R(3) 6, C (3) 47
3．就下列各平均函数求其边际函数。
46 18 (a) AC 1.5Q 4 (b) AC 0.1 0.5Q 0 Q Q
4．某化工产日生产能力最高为 1000 吨，每 日产品的总成本Ｃ(单元:元)是日产量 Q(单 元:吨)的函数：
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，总利润函 数L(Q )等于总收益函数 R(Q )与总成本函数 C (Q )之差．即
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 入边 际 成 本 决 定 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0