第六节 边际与弹性

第六节 边际与弹性
教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。

教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。

教学难点：需求弹性的计算
教学内容：
一、边际概念
在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数．
在点0x 处，当x 改变x ∆时，相应的函数()=y f x 的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆．当1=∆x 个单位时，)()1(00x f x f y -+=∆，如果单位很小，则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==．
这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时，函数)(x f 的增量y ∆．当x 有一个单位改变时，函数)(x f 近似改变了)(0x f '．
二、经济学中常见边际函数
1．边际成本
总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数，简称边际成本．
边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．
在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．
例1： 已知生产某产品x 件的总成本为2
0010409000)C(x x x .++=(元)，
(1)求边际成本)(x C '，并对)1000(C '的经济意义进行解释．
(2)产量为多少件时，平均成本最小？
解： (1)边际成本x x 002040)(C .+='． (1000)400.002100042C '=+⨯=．
它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；
(2)平均成本
x x
x x 0010409000C )(C .++==
，
00109000)(C 2
.+-
='x x ， 令=')(C x 0，得 x = 3000(件)．由于318000C (3000)03000''=>，故当产量为3000件时平均成本最小．
2．边际收入
总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数，简称边际收入．
边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．
例2：设产品的需求函数为p x 5100-=，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及70,50,20=x 时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．
解： 根据p x 5100-=得5
100x p -= 总收入函数)100(5
15100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(5
1)(x x R -=' 8)70(0)50(12)20(-='='='R R R ，，
即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为
50个单位时，
扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位．
3．边际利润
总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数，简称边际利润．
边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润． 由于)()()(x C x R x L -=，所以()()()L x R x C x '''=-．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．
例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为
202.02100)(x x x C ++=（元）与201.07)(x x x R +=（元）
求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．
解： 总利润函数100501.0)()()(2
-+-=-=x x x C x R x L
边际利润函数为502.0)(+-='x x L
日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是
1)200(='L （元）
，0)250(='L （元），1)300(-='L （元）
其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．
二、弹性概念
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．
例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．
定义：设函数)(x f y =在点x 处可导．则函数的相对改变量
y y ∆与自变量的相对改变量x x ∆之比，当0→∆x 时的极限： )()(lim
0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性，记作Ey Ex 或()Ef x Ex
，即 ()()
Ey x f x Ex f x '=． 由定义知，当%1=∆x
x 时，%y Ey y Ex ∆≈．可见，函数)(x f y =的弹性具有下述意义：函数)(x f y =在点0x 处的弹性0
x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时，函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0
%x x Ey
Ex =．
四、经济学中常见的弹性函数
1. 需求价格弹性
设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数()Q Q p =，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：d p dQ E Q dp
= ．
2. 供給价格弹性
设某商品的供给量为W ，价格为p ，供給函数()W W p =，则该商品供給对价格的弹性（简称供給价格弹性）为：s p dW E W dp = 3．需求弹性与总收益的关系
总收益()R pQ p =，
所以()()()[1()]()[1]()
p R Q p pQ p Q p Q p Q p Q p η'''=+=+⋅=-
例4：:某商品需求函数为2
10Q -
=，求（1）当3=P 时的需求弹性； (2)在3=P 时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少？它将变化多少？
解： (1)1220102
EQ P P P Q P EP Q P ⎛⎫'==-⋅= ⎪-⎝⎭-． 当3=P 时的需求弹性为
3317
P EQ EP ==-18.0-≈． (2)总收益2
102
P P PQ R -==，总收益的价格弹性函数为 22(10)(10)20102
ER dR P P P P P EP dP R P P -=⋅=-⋅=--， 在3=P 时，总收益的价格弹性为
33
2(10)0.8220P P ER P EP P ==-=≈-． 故在3=P 时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0， 总收益将增加， 总收益约增加%82.0．。