无损耗传输线

§14.5 无损耗传输线
14.5.1 无损耗传输线的特点
如果传输线的电阻0R 和导线间的漏电导0G 等于零，这时信号在传输线上传播时，其能量不会消耗在传输线上，这种传输线就称为无损耗传输线，简称无损耗线。

当传输线中的信号的ω很高时，由于00R L >>ω、00G C >>ω，所以略去0R 和0G 后不会引起较大的误差，此时传输线也可以被看成是无损耗线。

因为00=R ，00=G ，所以无损耗传输线的传播常数γ
000000))((C L j C j L j Y Z ωωωγ===
即0=α，00C L ωβ=，可见无损耗线也是无畸变线。

无损耗传输线的特性阻抗c Z 为
00C L Y Z Z c =
=
为纯电阻性质的。

因为0=α，所以依式（14-8）可知无损耗线上的电压和电流相量为
)
sin()cos()
sin()cos(2222x Z U j x I I x I jZ x U U c
c '+'='+'=ββββ （14-10） 其中x '为传输线上一点到终端的距离。

从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为
c c c
in Z x jZ x Z x jZ x Z I U Z )
sin()cos()sin()cos(22'+''+'==ββββ （14-11）
其中，2
22I U
Z =为终端负载的阻抗。

14.5.2 终端接特性阻抗的无损耗线
当传输线的终端阻抗与传输线相匹配，即c Z Z =2时，由式（14-10）可求得无损耗线上的电压和电流相量为
x I x j x I x Z U j x I I x U x j x U U x I jZ x U U c
c '∠='+'='+'='∠='+'='+'=ββββββββββ2
2222222)]sin()[cos()sin()cos()]sin()[cos()sin()cos(
其电压、电流的时域表达式为
)
sin(2)sin(22222i u x t I i x t U u ϕβωϕβω+'+=+'+=
其中，2u ϕ和2i ϕ分别为终端电压和电流的初相。

可见，传输线上的电压和电流均为无衰减的入射波，没有反射波分量。

没有反射波分量的原因在前面定义“匹配”这一概念的时候已经解释过了，而入射波无衰减的原因则是因为无损耗线的00=R ，00=G ，无法消耗入射波的能量，故入射波是无衰减的。

匹配的无损耗线还有一个特点，由式（14-11）不难看出，从线上任一位置向终端看进去的输入阻抗
c in Z Z =
即从线上任一位置向终端看进去的输入阻抗都是相同的，都等于特性阻抗c Z 。

14.5.3 终端开路或短路的无损耗线 1. 终端开路的无损耗线
当无损耗线的终端开路时，∞→2Z ，02
=I 。

此时，由式（14-10）可求得无损耗线中的电压、电流相量为
)sin()cos(22x Z U j I x U U c
'='=ββ 其时域表达式为
)cos()sin(2
)sin()cos(222
22u c
u t x Z U i t x U u ϕωβϕωβ+'=+'= 其中，2u ϕ为终端电压的初相。

可见，此时传输线上的电压和电流是一个驻波。

结合β
π
λ2=不难推得，在 23,
,2
,
0λλλ
='x 处会出现电压的波节和电流的波峰；在 4
5,43,4λ
λλ='x 处会出现电压的波峰和电流的波节。

其电压电流分布曲线如图14-12所示。

i
u ,
图14-12 空载无损耗线的电压和电流分布曲线
对于电压和电流是驻波的原因可以从能量的角度来加以解释。

一般而言，电压、电流的行波才能传输有功功率，驻波是不能传输有功功率的。

对于终端开路的无损耗线而言，其线上和终端处都没有消耗电路的有功功率，其上的电压、电流是驻波的形式正意味着没有有功功率被消耗在线上或终端处。

显然，当终端接纯电抗时，传输线上也会出现电压和电流的驻波。

终端开路时，由式（14-11）可求得从距终端x '处向终端看进去的输入阻抗为
)2cot()cot(x jZ x j I U Z c in '-='-==λ
π
β （14-12）
上式表明输入电阻为一个纯电抗，以
4
λ为间隔而变号，即从40λ<'<x 、 432λ
λ<
'<x 位置看进去，in Z 为虚部为负的纯虚数，传输线对外表现出电容的性质；从2
4λ
λ<'<x 、
λλ
<'<x 4
3位置看进去，in Z 为虚部为正的纯虚数，传输线对外表现出电感的性质。

从距终端 45,43,
4λλλ='x 位置看进去时，0=in Z ，传输线相当于短路；从 2
3,,2λ
λλ='x 位置看进去时，∞=in Z ，传输线相当于开路。

如图14-13所示。

图14-13 空载无损耗线的输入阻抗
2. 终端短路的无损耗线
当无损耗线的终端短路时，02=Z ，02
=U 。

由式（14-10）可得传输线上的电压、电流相量为
)
cos()sin(2
2x I I x I jZ U c '='=ββ
其时域表达式为
)
sin()cos()
cos()sin(2222i i c t x I i t x I Z u ϕωβϕωβ+'=+'=
其中，2i ϕ为终端电流2
I 的初相。

可见，短路无损耗线上的电压和电流也是驻波。

其电压和
电流的分布曲线如图14-14所示。

i
u ,
图14-14 短路无损耗线的电压和电流分布曲线
由式（14-11），从距终端x '处往终端看进去的输入阻抗in Z 为
)2tan()tan(x jZ x jZ I U Z c c in '='==λ
π
β （14-13）
可见，输入阻抗也是一个纯电抗。

输入阻抗随x '的变化情况如图14-15所示。

图14-15 短路无损耗线的输入阻抗
3. 开路（短路）无损耗线的一些应用
开路（短路）无损耗线输入阻抗的一些特点在高频技术中得到了一定的应用。

下面做一个简要的介绍。

（1）在高频情况下，通常的线圈和电容器已经无法作为电感和电容使用了。

所以在高频技术中，常使用长度小于
4λ的开路无损耗线来代替电容，用长度小于4
λ
的短路无损耗线来替代电感。

可根据需要的电容和电感由式（14-12）和（14-13）可计算出应使用多长的无
损耗线。

（2）长度为
4
λ
的无损耗线，还可以用来接在传输线和负载之间，使负载和传输线相匹配。

下面介绍一下其工作原理。

2
Z
图14-16 无损耗线作为阻抗变换器
如图14-16所示，设传输线的特性阻抗为c Z ，负载的阻抗为2Z ，且2Z Z c ≠。

一般来说，实际中的c Z 和2Z 一般都是不可变的，为使负载和传输线匹配，可将负载和传输线用一段长度为
4
λ
的无损耗线连接起来。

设无损耗线的特性阻抗为1c Z ，此时从ab 端口看进去的输入阻抗为
1
2121
)4
2tan()
42tan(c c c in Z jZ jZ Z Z Z ++=λλπλ
λπ 为达到匹配的目的，应使c in Z Z =，从而有
21Z Z Z c c =
可见，只要选择一段特性阻抗为2Z Z c 、长度为4
λ
的无损耗线接在负载和传输线之间，就可以实现匹配。

§14.6 无损耗线方程的通解及其波过程
14.6.1 无损耗线方程的通解
在前面我们讨论了均匀传输线上的电压和电流的入射波及反射波。

在本节中，将以无损耗线为例，简要分析一下无损耗线上的电压和电流的动态过程，即从0=t 时刻开始，传输线上的电压和电流的传播过程，以进一步加深对传输线上的入射波和反射波这两个概念的理解。

因为无损耗线的00=R ，00=G ，所以由均匀传输线方程，即式（14-1）有
t
i C x i t
i L x u
∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-00 （14-14） 上式即为无损耗线的方程，是均匀传输线方程在00=R ，00=G 的情况下的一个特例，式
中的x 为到始端的距离。

可以证明，该偏微分方程的通解具有以下形式：
-
+-
+-=+--=+=++-=i
i vt x f vt x f Z t x i u u vt x f vt x f t x u c
)]()([1),()()(),(2121 式中的0
01
C L v =。

1f 和2f 均为待定的函数，需根据边界条件和初始条件确定。

在此不讨论如何待定1f 和2f ，仅对上式作一个定性分析。

对于)(1vt x f u -=+分量，这是一个以速度v 传播的正向电压行波；)(2vt x f u +=-分
量为以速度v 传播的反向电压行波。

同理，c
c Z u vt x f Z i +
+
=
-=)(11分量是以速度v 传播的正向电流行波，c
c Z u Z vt x f i -
-
=
+=)(2分量为以速度v 传播的反向电流行波。

可见，传输线上的电压电流也是由入射波和反射波叠加而成的，这一点和正弦稳态情况是相同的，只不过
当激励源不是正弦信号时，入射波和反射波不是正弦形式而已。

14.6.2 无损耗线的波过程
下面以直流激励下的开路无损耗线为例来阐述电压波或电流波从0=t 时刻开始沿传输线传播的过程。

如图14-17所示，设无损耗线的长度为l ，终端开路，在0=t 时刻将直流激励源0U 接入到传输线的始端，在0=t 时沿线的电压和电流均为零。

图14-17接直流激励的无损耗线电路
在v
l
t <
<0的时间内，电压波和电流波从0=t 时刻开始以速度v 由始端向终端传播，如图14-18（a ）所示。

此时传输线上只有电压的第一次入射波01U u =+
和电流的第一次入
射波011
I Z u i c
==++，反射波尚未产生。

当v
l
t =
时，电压和电流的入射波到达终端，由于终端开路，所以电流的第一次反射波必为01I i =-，即发生全反射，这样才能使得电流的反射波和入射波在终端处叠加后的值为零，从而满足开路处电流为零这一终端的边界条件。

此时，电压的反射波011U i Z u c ==-
-
亦
为全反射。

在
v
l
t v l 2<<的时间内，电压和电流的反射波将以速度v 由终端向始端传播。

电流的反射波使其所到之处的电流变为零（011=-=-+i i i ），电压的反射波使其所到之处的电压变为02U （0112U u u u =+=-+）。

如图14-18（b ）所示。

在v
l
t 2=
时电压和电流的反射波到达始端，电压和电流的反射波在始端处将再次发生反射。

由于电压源使始端处的电压始终为0U （始端的边界条件），故始端处的电压的反射波即
第二次电压入射波必为02U u -=+，从而满足始端的边界条件。

相应的，电流的第二次入射波为02
2
I Z u i c
-==+
+。

在
v
l t v l 32<<的时间内，+2u 所到之处的电压变为0U （0211U u u u u =++=+
-+），+2i 所到之处的电流变为0I -（0211I i i i i -=++=+
-+）。

如图14-18（c ）所示。

当v
l t 3=
时，+2u 和+
2i 到达终端，在终端处产生反射，为满足终端处的边界条件，必有02I i -=-。

此时，022U i Z u c -==--。

在
v
l t v l 43<<的时间内，-2u 所到之处的电压变为零（02211=+++=-+-+u u u u u ），-
2i 所到之处的电流也变为零（02211=+++=-
+
-
+
i i i i i ）。

如图14-18（d ）所示。

当v l t 4=时，全线的电压和电流均为零，又回到0=t 的状态。

接着又重复v
l
t 40<<的过程。

v l
(a)
v l 2<
(b)
v
l
t 3
<
(c)
v
l t 4<
（d ）
图14-18 电压波和电流波在开路线上多次入射和反射
以上就是开路无损耗线上的波过程，可结合上述分析更好的理解正弦稳态时电压和电流的入射和反射问题。

在上述的分析中省略了求方程通解的过程。

选择开路无损耗线为例的目的主要是为了方便分析，当考虑传输线的0R 和0G 时且传输线的终端接任意负载时，其波过程会较复杂，在本书中不再深入讨论。