高数A函数的极限

f ( x) A 表示 f ( x) A任意小; 0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
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1.定义 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,存在常
数A， 0, 0当, 0 x x0 时, 有 f (x) A
n)}必收敛 且
lim
n
f (xn )
lim
xx0
f
(x)
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), 为函数f ( x)
定理1 如果lim f (x)(或 lim f (x))存在，那么极限是惟一的
xx0
x
定理2 如果 lim f (x) A ，那么存在常数M>0和δ>0， xx0
使得当0<|x-x0|<δ 时，有|f(x)|≤M.
证明 因为f(x)A(xx0) 所以对于 1 0 当0|xx0|时 有|f(x)A| 1 于是当 0|x x0 |时
第三节
函数的极限
lim
n
xn
a
0, 正整数N
0,当n
N时，
有 xn
a
.
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于一个确定数 A.
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) 有
y
A
A
A
y f (x)
x0 x0 x
这表明:
极限存在 函数局部有界
(P36定理2)
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例1. 证明
证:
f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
因此
例4. 证明
不证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
例5. 证明: 当 时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
x
f (x) A
时, 有
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
二、函数极限的性质 唯一性,局部有界性,局部保号性,传染性
例2
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例3. 证明
证:
2 x 1
0, 欲使
只要
取 2 , 则当 0 x 1 时 , 必有
当x a时的子列.
定理
若 lim xa
f
(x)
A,数列f
( xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列, 则有lim n
f
( xn )
A.
不证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0 ( P39 题11 )
例6. 设函数
f
(
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x 1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y
A
A
y f (x)
A
X o 直线 y = A 为曲线
X
x
的水平渐近线
例7. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
即 就有
注:
y
y
1
x
ox
两种特殊情况 :
lim f (x) A 0, X 0, 当
|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|
局部保号性定理
定理3 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f (x) 0. (P37定理3) ( f (x) 0)
证: 已知
即 0,
当
时, 有 当 A > 0 时, 取正数
则在对应的邻域
上
定理3`若: 时, 有
则存在
不证，分析:
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x0
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设
大于某一正数时有定义, 若存在常数A，
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
因此
lim
x x0
x
x0
o x x0
x
3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当
时, 有
x ( x0 , x0 )
右极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理
lim f (x) A
与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 .
(同样可证 f (x) 0 的情形)
思考: 若定理 中的条件改为 f (x) 0, 是否必有 A 0?
不能! 如
定理4(函数极限与数列极限的关系)
如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的
定义域内任一收敛于x0的数列 且
满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列{f(x
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
思考与练习
1.
若极限 lim
x x0
f (x)存在,
是否一定有 lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
？
2. 习题1,2,3
p38: 3； 4 ; 5 （3）; 7;
若取 A , 则在对应的邻域
2
上
A 0:
A f (x) 3A
2
2
A 0: 3 A f (x) A
2
2
使当
推论 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
(A 0)
证: 用反证法.
假设 A < 0 , 则由定理 1,
存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内