材料力学第七章弯曲变形
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yB ( F1, F2 , , Fn ) yB1 ( F1 ) yB 2 ( F2 ) yBn ( Fn )
三、叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；
2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
单辉祖：材料力学Ⅰ 15
q
a
单辉祖：材料力学Ⅰ
a
5qL4 5qa4 y qC 384EI 24EI16
c)叠加
A
a2 (3F 4qa) FA qA 12EI
y C y FA yqA
5qa4 Fa3 24EI 6 EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
17
例：求图示梁C截面的挠度。 解：1、载荷分解如图 AA
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角 Fb Fb 2 2 y x L (3L 4b ); y x L L2 4b 2 2 2 48 EI 24 LEI 两端支座处的转角—— A Fab ( L b) ; B Fab ( L a) 单辉祖：材料力学Ⅰ 6 LEI 6 LEI
10
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
0 x1 0 左 1max y1 侧 Fab( L b) 段： 1max A 6 LEI
Fb l
右 2 max y2 0 x2 L 侧 Fab( L a) 段： 2 max B
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) F ( L x)
b) 写出微分方程并积分
L
F
y
c)
应用位移边界条件求积分常数
x=0, y = 0 ; θ =0
1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
单辉祖：材料力学Ⅰ d) 确定挠曲线、转角方程
F y ( x) 3Lx 2 x 3 6 EI F y x 2 2 Lx 2 EI
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形
§4 叠加法计算梁的变形
§5 简单超静定梁
单辉祖：材料力学Ⅰ 1
§7-1 梁变形的基本概念
度量梁变形的参数--梁的挠度，横截面的转角。
挠度和转角
F
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
ql qx2 q M ( x) x (lx x 2 ) 2 2 2
ql/2
q
ql/2 B
A
b)写出微分方程并积分
q (lx x 2 ) 2 q lx 2 x 3 EIy ( ) C1 2 2 3 q lx 3 x 4 EIy ( ) C1 x C2 2 6 12 EIy
F
q
例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.
解、a)载荷分解如图 b)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 FL2 Fa2 FA 16EI 4 EI
3 FL Fa3 y FC 48EI 6 EI
3 qL qa3 qA 24EI 3EI
AA
a
C a F
=
a
a
+
(b)
18
单辉祖：材料力学Ⅰ
例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。 解：1) 结构分解如图 A 2) 查梁的简单载荷变形表 L C qa4 y Ba ; 8EI 1 （a） ( qa2 ) L 3 qa L y Bb Cb a 2 a 3EI 6 EI 3) 叠加
q a
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等 于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2 , , Fn ) B1 (F1 ) B2 (F2 ) Bn (Fn )
d y EI M ( x) 2 dx
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及 ( y) 对变形的影
2
单辉祖：材料力学Ⅰ
响
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
5
§7-3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy( x) M ( x) EI y( x) M ( x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C1 x C2 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 PF
A
C
B
D
P
边界条件： y A 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
yB 0
yD 0 D 0
6
连续条件：yC 左 yC 右
C左 C右
5ql 4 384EI
13
max
A ql 3 B 24EI
§7-4
Me
叠加法计算梁的变形
q
梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。
2 qx B 弯矩： M M Fx e 2
A
F
Me
x
l
q
Fs
M
弯矩的叠加原理----
A
梁在几个载荷共同作用下 的弯矩值，等于各载荷单独 作用下的弯矩的代数和。
L x d)确定挠曲线和转角方程 qx 3 y (l 2lx 2 x 3 ) 24EI q y (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24EI e)最大挠度及最大转角
y max
x L 2
C
c)应用位移边界条件求积分常数 x=0 , y=0 ; x=L , y=0 . ql3 单辉祖：材料力学Ⅰ C1 , C2 0 24
c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数 x = 0 , y = 0 ; x = L , y = 0 . x1 = x2 = a ，y1 = y2 ；y'1 = y'2 Fb 2 C1 C2 ( L b 2 ); D1 D2 0 6L d) 确定挠曲线和转角方程 Fb L 3 3 2 2 Fbx1 2 2 2 y2 ( x2 a) x2 ( L b ) x2 y1 L b x1 6LEI b 6 LEI Fb Fb L 2 2 1 2 2 2 2 y2 ( x a ) x ( L b ) 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 2 2 2LEI b 3 6 LEI
e) 自由端的挠度及转角
FL3 y ( L) 3EI
x
EIy M ( x) F ( L x) 1 EI y F ( L x) 2 C1 2 1 EIy F ( L x) 3 C1 x C2 6
FL2 ( L) 8 2 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角 Fb （EI=常数）a b l l 解：a)建立坐标系并写出弯矩方程
x Biblioteka Baidu x1
ymax y1
Fb (l 2 b 2 ) 3 9 3LEI
11
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
a
A
F C
b
B
A FL2 max ; B 16EI
ymax yC
x L 2
FL3 48EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
12
例：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角 ( EI = 常数 ） 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
6 LEI
a
x1
F
b
C
Fa l
当 a＞b 时——
A
B
x2
Fab ( L a) max B 6 LEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
L2 b 2 a (a 2b) 3 3
ymax y 0 x1 x1 a
单辉祖：材料力学Ⅰ
最大挠度一定在左侧段
B
+
L
=
q
C qa
B
y B y Ba y Bb qa4 qa3 L 8 EI 6 EI qa3 (3a 4 L) 单辉祖：材料力学Ⅰ 24EI
（b）
M=qa/2
C
19
A
B
§7—5 梁的刚度计算
一、梁的刚度条件
ymax y ymax ymax L L
Fb M ( x1 ) x1 L Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) L
a
x1
F C
b
Fa l
A
B
x2
右侧段（a≤x2≤L）：
b)写出微分方程并积分 左侧段（0≤x1≤a）：
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L 2 Fb F ( x a ) Fb 2 2 2 EIw2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 9D2 1 单辉祖：材料力学Ⅰ 6L 6L 6
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
单辉祖：材料力学Ⅰ
7
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
3 2 2
y 1, →→
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系：
联立（1）、（2）两式得
M ( x) y EI
4
单辉祖：材料力学Ⅰ
EIy M( x)
M>0
x
x
y ( x ) 0
y y 结论：挠曲线近似微分方程——
2
y ( x )
M<0
>
0
EIy M ( x)
q
C L/2 L/2
2、查梁的简单载荷变形表
=
5(q ) L4 2 yCa ; yCb 0 384EI 3、叠加
q/2
AA
L/2
q/2
C L/2
yC yCa yCb yCa 0
4 5(q ) L4 5 qL 2 384EI 768EI
(a)
+
AA
L/2
C q/2 L/2
max
其中[]称为许用转角；[δ /L]称为许用挠跨比。 二、刚度计算
、校核刚度： 、设计截面尺寸；
、确定外载荷。
（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位。特殊构件例外）
单辉祖：材料力学Ⅰ 20
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
tg y
挠曲线为一条平坦的曲线
§7-2 挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系： M r EI 1
1 M ( x) r ( x) EI z
……（1 ）
1 y r ( x)
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1 r ( x)
y
1 ( y)
x
C
y
二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 用“y” 表示。 三、转角：横截面绕中性轴转过
单辉祖：材料力学Ⅰ
的角度。用“” 表示。
2
F
挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 用“y” 表示。
x
x
y
转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。
C
四、挠度和转角的关系 y = y（x） ……挠曲线方程。 θ =θ (x) …… 挠度向下为正；向上为负。 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。 dy tg y( x ) y 3 单辉祖：材料力学Ⅰ dx
M M1 M 2 M 3
F
x
EIyi M i ( x)
M 1 ( x) EIy1 M 2 ( x) EIy2 M 3 ( x) EIy3
14
单辉祖：材料力学Ⅰ
叠加法计算梁的变形
EIy M ( x)
y2 y3 y y1 M ( x) M 1 M 2 M 3
三、叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；
2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
单辉祖：材料力学Ⅰ 15
q
a
单辉祖：材料力学Ⅰ
a
5qL4 5qa4 y qC 384EI 24EI16
c)叠加
A
a2 (3F 4qa) FA qA 12EI
y C y FA yqA
5qa4 Fa3 24EI 6 EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
17
例：求图示梁C截面的挠度。 解：1、载荷分解如图 AA
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角 Fb Fb 2 2 y x L (3L 4b ); y x L L2 4b 2 2 2 48 EI 24 LEI 两端支座处的转角—— A Fab ( L b) ; B Fab ( L a) 单辉祖：材料力学Ⅰ 6 LEI 6 LEI
10
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
0 x1 0 左 1max y1 侧 Fab( L b) 段： 1max A 6 LEI
Fb l
右 2 max y2 0 x2 L 侧 Fab( L a) 段： 2 max B
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x ) F ( L x)
b) 写出微分方程并积分
L
F
y
c)
应用位移边界条件求积分常数
x=0, y = 0 ; θ =0
1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
单辉祖：材料力学Ⅰ d) 确定挠曲线、转角方程
F y ( x) 3Lx 2 x 3 6 EI F y x 2 2 Lx 2 EI
第七章 弯曲变形
§1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §2 挠曲线近似微分方程 §3 积分法计算梁的变形
§4 叠加法计算梁的变形
§5 简单超静定梁
单辉祖：材料力学Ⅰ 1
§7-1 梁变形的基本概念
度量梁变形的参数--梁的挠度，横截面的转角。
挠度和转角
F
一、挠曲线：梁变形后的轴线。
性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。
ql qx2 q M ( x) x (lx x 2 ) 2 2 2
ql/2
q
ql/2 B
A
b)写出微分方程并积分
q (lx x 2 ) 2 q lx 2 x 3 EIy ( ) C1 2 2 3 q lx 3 x 4 EIy ( ) C1 x C2 2 6 12 EIy
F
q
例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.
解、a)载荷分解如图 b)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。 FL2 Fa2 FA 16EI 4 EI
3 FL Fa3 y FC 48EI 6 EI
3 qL qa3 qA 24EI 3EI
AA
a
C a F
=
a
a
+
(b)
18
单辉祖：材料力学Ⅰ
例：求图示梁B截面的挠度（EI 已知）。 解：1) 结构分解如图 A 2) 查梁的简单载荷变形表 L C qa4 y Ba ; 8EI 1 （a） ( qa2 ) L 3 qa L y Bb Cb a 2 a 3EI 6 EI 3) 叠加
q a
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等 于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。
B (F1, F2 , , Fn ) B1 (F1 ) B2 (F2 ) Bn (Fn )
d y EI M ( x) 2 dx
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”以及 ( y) 对变形的影
2
单辉祖：材料力学Ⅰ
响
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
5
§7-3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIy( x) M ( x) EI y( x) M ( x)dx C1
EIy ( x ) ( M ( x ) dx ) dx C1 x C2 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 PF
A
C
B
D
P
边界条件： y A 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
yB 0
yD 0 D 0
6
连续条件：yC 左 yC 右
C左 C右
5ql 4 384EI
13
max
A ql 3 B 24EI
§7-4
Me
叠加法计算梁的变形
q
梁上有分布载荷，集中力与 集中力偶。
2 qx B 弯矩： M M Fx e 2
A
F
Me
x
l
q
Fs
M
弯矩的叠加原理----
A
梁在几个载荷共同作用下 的弯矩值，等于各载荷单独 作用下的弯矩的代数和。
L x d)确定挠曲线和转角方程 qx 3 y (l 2lx 2 x 3 ) 24EI q y (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24EI e)最大挠度及最大转角
y max
x L 2
C
c)应用位移边界条件求积分常数 x=0 , y=0 ; x=L , y=0 . ql3 单辉祖：材料力学Ⅰ C1 , C2 0 24
c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数 x = 0 , y = 0 ; x = L , y = 0 . x1 = x2 = a ，y1 = y2 ；y'1 = y'2 Fb 2 C1 C2 ( L b 2 ); D1 D2 0 6L d) 确定挠曲线和转角方程 Fb L 3 3 2 2 Fbx1 2 2 2 y2 ( x2 a) x2 ( L b ) x2 y1 L b x1 6LEI b 6 LEI Fb Fb L 2 2 1 2 2 2 2 y2 ( x a ) x ( L b ) 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 2 2 2LEI b 3 6 LEI
e) 自由端的挠度及转角
FL3 y ( L) 3EI
x
EIy M ( x) F ( L x) 1 EI y F ( L x) 2 C1 2 1 EIy F ( L x) 3 C1 x C2 6
FL2 ( L) 8 2 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角 Fb （EI=常数）a b l l 解：a)建立坐标系并写出弯矩方程
x Biblioteka Baidu x1
ymax y1
Fb (l 2 b 2 ) 3 9 3LEI
11
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
a
A
F C
b
B
A FL2 max ; B 16EI
ymax yC
x L 2
FL3 48EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
12
例：求分布载荷简支的最大挠度 和最大转角 ( EI = 常数 ） 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
6 LEI
a
x1
F
b
C
Fa l
当 a＞b 时——
A
B
x2
Fab ( L a) max B 6 LEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
L2 b 2 a (a 2b) 3 3
ymax y 0 x1 x1 a
单辉祖：材料力学Ⅰ
最大挠度一定在左侧段
B
+
L
=
q
C qa
B
y B y Ba y Bb qa4 qa3 L 8 EI 6 EI qa3 (3a 4 L) 单辉祖：材料力学Ⅰ 24EI
（b）
M=qa/2
C
19
A
B
§7—5 梁的刚度计算
一、梁的刚度条件
ymax y ymax ymax L L
Fb M ( x1 ) x1 L Fb M ( x2 ) x2 F ( x2 a ) L
a
x1
F C
b
Fa l
A
B
x2
右侧段（a≤x2≤L）：
b)写出微分方程并积分 左侧段（0≤x1≤a）：
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L 2 Fb F ( x a ) Fb 2 2 2 EIw2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 9D2 1 单辉祖：材料力学Ⅰ 6L 6L 6
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
单辉祖：材料力学Ⅰ
7
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
3 2 2
y 1, →→
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系：
联立（1）、（2）两式得
M ( x) y EI
4
单辉祖：材料力学Ⅰ
EIy M( x)
M>0
x
x
y ( x ) 0
y y 结论：挠曲线近似微分方程——
2
y ( x )
M<0
>
0
EIy M ( x)
q
C L/2 L/2
2、查梁的简单载荷变形表
=
5(q ) L4 2 yCa ; yCb 0 384EI 3、叠加
q/2
AA
L/2
q/2
C L/2
yC yCa yCb yCa 0
4 5(q ) L4 5 qL 2 384EI 768EI
(a)
+
AA
L/2
C q/2 L/2
max
其中[]称为许用转角；[δ /L]称为许用挠跨比。 二、刚度计算
、校核刚度： 、设计截面尺寸；
、确定外载荷。
（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属 地位。特殊构件例外）
单辉祖：材料力学Ⅰ 20
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
tg y
挠曲线为一条平坦的曲线
§7-2 挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系： M r EI 1
1 M ( x) r ( x) EI z
……（1 ）
1 y r ( x)
二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1 r ( x)
y
1 ( y)
x
C
y
二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 用“y” 表示。 三、转角：横截面绕中性轴转过
单辉祖：材料力学Ⅰ
的角度。用“” 表示。
2
F
挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 用“y” 表示。
x
x
y
转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。
C
四、挠度和转角的关系 y = y（x） ……挠曲线方程。 θ =θ (x) …… 挠度向下为正；向上为负。 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。 dy tg y( x ) y 3 单辉祖：材料力学Ⅰ dx
M M1 M 2 M 3
F
x
EIyi M i ( x)
M 1 ( x) EIy1 M 2 ( x) EIy2 M 3 ( x) EIy3
14
单辉祖：材料力学Ⅰ
叠加法计算梁的变形
EIy M ( x)
y2 y3 y y1 M ( x) M 1 M 2 M 3