高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量

高中数学必修4知识点总结

第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r ．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；③00a a a +=+=r r r r r ．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r

r ．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r

r ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．

19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr

． ①

a a λλ=r r

；

②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r

的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．

设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线．

21、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r

，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r

．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基

b r

a r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

底）

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12

λP P =PP u u u r u u u r

时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

．

（当时，就为中点公式。）1=λ 23、平面向量的数量积：

⑴(

)

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o o

r r

r r r

r r r

．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ⋅=r r r r ；当a r 与b r

反

向时，a b a b ⋅=-r r r r ；22a a a a ⋅==r r r r

或a =r a b a b ⋅≤r r r r ．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r

．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r

，()22,b x y =r

，则1212a b x x y y ⋅=+r

r ．

若(),a x y =r ，则222

a x y =+r ，

或a =r ． 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则

12120a b x x y y ⊥⇔+=r

r ．

设a r

、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，

则

cos a b

a b θ⋅==r

r r r ．

第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-