中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题(含答案)
特殊平行四边形的翻折折叠问题(含答案)
,;【解析】分析：根据翻折的性质可得∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，然后求出四边形ABEB 1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB ，然后根据CE=BC-BE ，代入数据进行计算即可得解． 详解：∵沿AE 对折点B 落在边AD 上的点B 1处，∴∠B=∠AB 1E=90°，AB=AB 1，，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC-BE=8-6=2cm．故选：D．点睛：本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．，。
【>【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE 是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．详解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，？∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，[∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，~∴C选项不正确，故选：C．*~*。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图所示 在长方形ABCD 中 610AD AB ==， 若将长方形ABCD 沿DE 折叠 使点C 落在AB 边上的点F 处 则线段CE 的长为（ ）A ．13B ．1730C ．103D ．102．如图 在ABCD 中 将ADC △沿AC 折叠后 点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处．若=60B ∠︒ 1AB = 则ABCD 的周长为( )A ．4B ．43C ．6D ．33．如图 在ABC 中 已知8AB = 点DE 、分别在边AC AB 、上 现将ADE 沿直线DE 折叠 使点A 恰好落在点F 处 若将线段BC 向左平移刚好可以与线段EF 重合 连接CF 若215BC CF += 则2BC CF -的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图 矩形ABCD 中 3AB = 4BC = 点E 是BC 边上一点 连接AE 把B ∠沿AE折叠 使点B 落在点B '处 当CEB '为直角三角形时 BE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．3或1.55．如图 将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后 若170=︒∠ 则2∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒6．如图 在平面直角坐标中 矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD == 将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置 线段1OD 恰好经过点B 点C 落在y 轴的点1C 位置 点E 的坐标是（ ）A ．()1,2B ．1,2C ．)1,2D ．()12 7．如图 在平面直角坐标系中 已个纸片OACB 顶点10006A B （，），（，）点P 为BC 边上的动点 将OBP 沿OP 折叠得到OPD 连接CD AD 、．则下列结论中：①当45BOP ∠=︒时 四边形OBPD 为正方形 ①当30BOP ∠=︒时 OAD 的面积为15 ①当P 在运动过程中CD 的最小值为5 ①当OD AD ⊥时 2BP =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图 把一张长方形纸片沿对角线折叠 若30EDF ∠= 则长方形纸片的长宽比为( )A ．2：1B 2：1C 31D ．23二 填空题9．在平行四边形ABCD 中 点E F 在BC 边上 把ABE 沿直线AE 折叠 CDF 沿直线DF 折叠 使点B C 落在对角线AC 上的点G 处 若110AGD ∠=︒ 则B ∠的度数为 ．10．如图 点O 是矩形ABCD 的中心 E 是边AB 上的点 沿CE 折叠后 点B 恰好与点O 重合 若9BC = 则折痕CE 长度为 ．11．如图 将长方形ABCD 沿EF 折叠得到两个全等的小长方形 1210AB BC ==，， 点G 在AB 上运动 当点 A 关于DG 的对称点A '落在右侧长方形BCEF 内部(含边界)时 则AG 的长度 m 的取值范围为 ．12．如图 菱形ABCD 的边5AB = 高4CE = F 是边CD 上一动点 将四边形AEFD 沿直线EF 折叠 A 点的对应点为P 当CP 的长度最小时 CF 的长为 ．13．如图 把正方形纸片ABCD 进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF 连接CE 将CB 折叠到CE 上 点B 对应点H 得折痕CG ．那么AG BG= ．三 解答题14．如图1 点E 为矩形ABCD 边BC 上一点 且CE CD = 把ABE 沿着AE 折叠 点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上．(1)求证：≌AFD DCE(2)如图2 延长CF 交AE 于点G 交AB 于点H ．①求证：GE DF GF CD ⋅=⋅①求:GH GA 的值．15．如图 沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边 使点D 落在BC 边上一点F 处．若6AB = 且ABF △的面积为24 则：(1)BF 的长为_______________(2)BC 的长为________________(3)求EC 的长．16．如图1 已知长方形纸片ABCD 点E 在边AD 上 F 为AB 上的一个动点 G 为DC 上的一个动点 将长方形ABCD 沿直线EF EG 、折叠 点A D 、的对应点分别是点A '和点D ．(1)如图2 当点A '落在ED 上时 求FEG ∠的度数(2)如图3 若54A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(3)如图4 若10A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(4)若A ED n ''∠=︒直接写出FEG ∠的度数（用含n 的代数式表示）17．如图 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒ 点D 是ABC 外一点连接AD BD将ABD △沿DB 折叠使点A 落在边BC 上的点1A 处 连接1A D 若1A D AC ⊥．(1)求证：四边形1ABA D 是菱形(2)连接1AA DC 若2AB = 求四边形1ADCA 的面积．18．综合探究：如图 四边形ABCD 是正方形 点M 在边AD 上 直线MN AB ∥．将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 MN 与BD 交于点P 连接AP A P ' A P '交CD 与点F ．(1)连接PC 猜想PC 与PA '的数量关系为________ A PC '∠=________°(2)连接B D ' CA ' 两线段交于点O 移动直线MN 若CD 平分PCA '∠ 求证：CP B D '∥(3)移动直线MN 若6=BC 2B C '= 直接写出PAD ∠的度数．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．75︒10．11．10103m ≤≤ 12．41314．（1）解：证明：CD CE =CDE ∴为等腰直角三角形45CDE FDA ︒∴∠=∠= ABE 沿AE 折叠得到AEF △ 且四边形ABCD 是矩形 AB AF CD ∴== 90AFE AFD B ∠=∠=∠=︒ 在AFD △与ECD 中AFD ECD CDE FDA AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFD DCE ∴≌．（2）①证明：AFD DCE ≌△△AD DE ∴= AF DF DC CE ===()11804567.52DCF DFC ∴∠=∠=︒-︒=︒ 45DEC ∠=︒ 180135BED DEC167.52AEF AEB BEF ∴∠=∠=∠=︒ GEF DCF ∴∠=∠ GFE DFC ∠=∠GEF DCF ∴∽GE GF DC DF∴= GE DF GF CD ∴⋅=⋅．①在Rt CED 中 45CDE ∠=︒DE ∴=DF DC CE ==)()2121EF DE DF CD CE ∴=-== 21EF CE ∴ 由①知：67.5BEA DFC ∠=∠=︒18067.5112.5EFC GEC ∴∠=∠=︒-︒=︒ECF GCE ∠=∠CEG CFE ∴△∽△21GE EF GC CE∴==． 15．（1）由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == ABF △的面积为24 ①1242ABF S AB BF =⨯⨯= ①24224286BF AB ⨯⨯=== 故答案为：8（2）在（1）中已得8BF =由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == AD BC = 由折叠的性质可得：AF AD BC == 由勾股定理可得：22228610BC AF BF AB =++= 故答案为：10（3）由（1）（2）可得2CF BC BF =-=根据折叠的性质有：EF DE =设CE x = 则6EF DE x ==-在Rt CEF △中 222CE CF EF +=即()22226x x +=- 解得83x = 即83CE =．16．（1）解：由翻折得：12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①180AEA DED ''∠+∠=︒ ①()111809022FEG A EF D EG AEA DED ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）解：由 (1) 知12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①54A ED ''∠=︒①126AEA DED ''∠+∠=︒①()1632A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=⨯∠+∠=︒ ①5463117FEG A ED A EF D EG ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ （3）解：①10A ED ''∠=︒ ①()()11180109522A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒ ①951085FEG A EF D EG A ED ''''∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒ （4）解：如图3 ①A ED n ''∠=︒①()180180AEA DED A ED n ''''∠+∠=︒-∠=-︒ ①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒-︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒-︒︒+︒''''∠=∠+∠+∠=+︒= 如图4 ①180AEA DED A ED ''''∠+∠-∠=︒ ''A ED n ∠=︒ ①180AEA DED n ''∠+∠=︒+︒①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒+︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒+︒︒-︒''''∠=∠+∠-∠=-︒= 综上 FEG ∠的度数为1802n ︒+︒或 1802n ︒-︒． 17．（1）证明：如图1 连接1AA 设1A D 交AC 于点E由折叠的性质得：1AB A B = 1AD A D =90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒903060ABC ∴∠=︒-︒=︒1ABA ∴是等边三角形1AB AA ∴= 160BAA ∠=︒11906030CAA BAC BAA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1A D AC ⊥190AEA ∴∠=︒1903060AA D ∴∠=︒-︒=︒∴1AA D △是等边三角形1AD AA ∴=11AB A B AD A D ∴===∴四边形1ABA D 是菱形（2）解：如图2由（1）可知 四边形1ABA D 是菱形 12A D AB ∴==90BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒24BC AB ∴==22224223AC BC AB ∴--1A D AC ⊥∴四边形1ADCA 的面积=1AA C ADC S S + 111111232232222AC A E AC DE AC A D =⋅+⋅=⋅=⨯= 18．（1）解：①四边形ABCD 是正方形 ①AB BC CD DA === 90BAD ABC BCD CDA ∠∠∠∠====︒ 四边形ABCD 是轴对称图形 BD 所在直线是其一条对称轴①45ADP ∠=︒ PA PC = PAM PCF ∠∠= ①MN AB ∥①90PMD BAD ∠∠==︒①MN AD ⊥18090A DF CDA '∠=︒-∠=︒①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN AA '⊥①点A D A '三点共线同理：点B C B '三点共线①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①PA PA '= PA D PAM PCF '∠=∠=∠ 90CB A B A D ABC BAD ''''∠=∠=∠=∠=︒ ①PC PA '=①90A DF '∠=︒ 180A DF PA M DFA PCF PFC A PC ''''∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ PA M PCF '∠=∠ DFA PFC '∠=∠ ①90A D A PC F '∠=︒'∠=故答案为：PC PA '= 90（2）证明：由（1）得PC PA '= 90A PC '∠=︒ ①45PCA PA C ''∠=∠=︒①CD 平分PCA '∠①22.5OCD PCD ∠=∠=︒①90CB A B A D ''''∠=∠=︒ 90A DF '∠=︒ ①四边形A B CD ''是矩形①OA OD OB OC ''===①ODC OCD ∠∠==22.5︒①45A ODC O A OD PC CD ''∠=︒=∠+∠=∠ ①CP B D '∥（3）解：如图 在AN 上取一点N 使得AN =①四边形A B CD ''是矩形 ①2,A D B C ''=①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN 垂直平分AA ' ①62MA MA +'== 90PMD PMN ∠∠==︒ ①MN AM AN =-=6232662+-=①45PDM ∠=︒ ①904545MPD PDM ∠∠=︒-︒=︒= ①PM DM AD AM ==-62626+-==①在Rt PMN 中6232tan 326PM PNM MN -∠===-①30PNM ∠=︒ ①262N PN PM A === ①PAD APN ∠∠==130152⨯︒=︒．。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
2024年中考数学总复习考点培优训练第七章专项5与特殊四边形有关的折叠问题
(2)若DE＝5，△GDF的周长为20，求四边形BCDE的周长．
(2)解：由折叠的性质得GF＝CF，DG＝DC，
∵△GDF的周长为20，
∴GF＋FD＋GD＝20，
∴CF＋DF＋DC＝20.
∵四边形BFDE是平行四边形，DE＝5，
∴BE＝DF，BF＝DE＝5，
第7题图
∴四边形BCDE的周长为BC＋CD＋DE＋BE＝BF＋
5 )2，
∴点F到AB的距离为1；
第5题解图
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
(2)求CE的长． (2)由(1)知FM＝1，
∴AM＝BM＝2，FN＝ 5－1.
∵∠BFE＝90°，∴∠BFM＋∠EFN＝90°.
∵MN⊥CD，∴∠FNE＝90°，
∴∠EFN＋∠FEN＝90°，∴∠BFM＝∠FEN.
∵∠BMF＝∠FNE＝90°，∴△BMF∽△FNE，
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝ 5 ，E为CD边上一点，将
△BCE沿BE折叠，使得点C落到矩形内点F的位置，连接AF，tan ∠BAF
＝
1 2
.
(1)求点F到AB的距离；
解：(1)如解图，过点F作MN∥AD，分别交AB，
CD于点M，N，则MN⊥AB，MN⊥CD. 由折叠的性质，得EC＝EF，BC＝BF＝ 5 ，
第4题图
专项5 与特殊四边形有关的折叠问题
解题关键点 观察设问：求DE的长； 观察题干：▱ABCD，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，△ABE折叠得 △A′BE，点A′落在EC上； 关键点：如图，过点C作CH⊥AD交AD的 延长线于点H，构造Rt△CDH求得HC的 长；连接EC，构造Rt△ECH求得DE的长．
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
(完整版)中考数学几何图形折叠试题典题及解答
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.（德州市）如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）A．4B．3C．4D．82.（江西省）如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3.（乐山市）如图，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P 点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20Ｂ．22Ｃ．24Ｄ．304.（绵阳市）当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD 上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A 落在BC上，折痕EF交AD于F．则∠AFE =（）A．60°B．67.5°C．72°D．75°5. （绍兴市）学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)～(4)）.从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④6.（贵阳市）如图6-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图6-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.（成都市）如图，把一张矩形纸片ABCD沿E F折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠B EG°．8. （苏州市）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．三、解答题9.（荆门市）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△P EQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．10. （济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC 上？为什么？11.（威海市）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长．12. （烟台市）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．14.（孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？15.（邵阳市）如图①，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C 重合（图②）．（1）在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E，连结CD．（画图工具不限，不要求写画法）（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）16.（济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ. 求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？17.（临安市）如图，△OAB 是边长为的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由.18.（南宁市）如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x 的函数关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？19.（宁夏回族自治区）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线B D折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BF=DF；（2）AE∥BD．参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.648.50°三、9. 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠OPE＋∠APB= 90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时，y 有最大值．由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c ，则∴y=．由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．10. 证明：（1）∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE～△QAB.（2）∵△PBE～△QAB ，∴∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能叠在直线EC上.由（2）得，∠AE B＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合.11. 解：(1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连结AC，交EF于点K，则AK＝CK．∵AB∥CD，∴BH＝CD，BD＝CH．∵AD＝BC，∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB，∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．（2）解：由（1）得BH∥CD，EF∥BD，∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7，CD＝3，∴AH＝10．∵AE＝CE，AE＝EH，∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB，∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD，∠AEF＝∠ABD，∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：(1)由折纸过程知0＜5x＜26，,0＜x ＜.（2）图④为轴对称图形，∴A M ＝.即点M与点A的距离是（13－x）cm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝A D′，∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC，∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形．14. 解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB，∴AN = BN.由折叠知AB = BN ，∴AN = AB = BN，∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =9 0°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP.在Rt△BNP中，BN = BA =a，∠PBN =30°，∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC =60°，∴∠ABM′=90°－60°= 30°.在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(，2). 代入y=kx中，得k== .设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD 内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′，∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中，A′H =A′B =1 ，BH=，∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解：(1)如图.等腰三角形DAC.16.（1）证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB，∴△PBE∽△QAB.（2）∵△PBE∽△QAB，∴. ∵B Q＝P B，∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE～△BAE.（3）点A能折叠在直线EC上.由（2）得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE 重合.17. 解：（1）由已知可得∠A'OE=60o , A'E= AE.由A′E//x轴,得△OA'E是直角三角形.设A′的坐标为（0，b），则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是（0，1）与（，1）.（2）因为A'、E在抛物线上，所以所以函数关系式为y =.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是（-，0）与（，0）.（3）不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10（1），重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴，即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0＜x≤3）.②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图10（2），重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x, A'H＝A'F－FH＝x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.（2）当0＜x≤3时，y的最大值；当3＜x＜6时，由,可知当x=4时，y的最大值y2=9.∵y1＜y2，∴当x=4时，y有最大值y最大＝9．19. 证明：（1）能正确说明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）,∴BF=DF.（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BD A）,∴AE∥BD.。
初中数学基础测试专项训练： 特殊四边形相关的折叠问题(含答案)
特殊四边形相关的折叠问题 一、选择题1. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）A. 53B. 35C. 43D.343．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A.3B. 4C. 5D.6二、填空题4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_______.三、解答题7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.求证：OA=OE8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形（2）若BE 平分∠ABC ，求证：222BE AE AB +=9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《特殊平行四边形中的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 在矩形纸片ABCD 中 将BCD △沿BD 折叠 C 点落在C '处 则图中共有全等三角形（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2．如图 对折矩形纸片ABCD 使AB 与DC 重合得到折痕EF 将纸片展平 再一次折叠 使点D 落到EF 上点G 处 并使折痕经过点A 展平纸片后DAG ∠的大小为（ ）A ．40︒B ．60︒C ．55︒D ．75︒3．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8BC = 点E 和F 是边BC 上的两点 连结AE DF 、 将ABE 和CDF 沿AE DF 、折叠后 点B 和点C 重合于点M 则EF 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．1.5D ．44．如图 在矩形纸片ABCD 中 已知8AD = 折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合 点B 落在点F 处 折痕为AE 且3EF = 则ABE 的面积为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．75．如图 在矩形OABC 中 9OA = 15AB = E 是BC 上一点 沿AE 折叠 使点B 恰好落在x 轴的点D 处．E 点坐标是（ ）A ．()5,15B ．()3,15C ．()15,2D ．()15,4 6．如图 在矩形ABCD 中 点E 是边CD 的中点 将ADE 沿AE 折叠后得到AFE △ 且点F 在矩形ABCD 的内部 将AF 延长后交边BC 于点G 且45CG GB = 则AB AD 的值为（ ）A ．43B ．56C ．1D ．77．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ≌△△C ．EB ED = D ．30ABE ∠=︒ 8．如图 在一张菱形纸片ABCD 中 2AB = 30B ∠=︒ 点E 在BC 边上（不与B C 重合）将ABE 沿直线AE 折叠得到AFE △ 连接BF EF DF 有以下四个结论：AE EF =① 105BFD ∠=︒② ③当AE BC ⊥时 FD AC = ④当FE 平分AFB ∠时 则23FD = 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 正方形纸片ABCD 的边长为12 E 是边CD 上一点 连接AE 折叠该纸片 使点A 落在AE 上的点G 并使折痕经过点B 得到折痕BF 点F 在AD 上．若5DE = 则GE 的长为 ．10．将一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠 AE AF 为折痕 点B D 折叠后的对应点分别为B' 'D 若''4B AD ∠=︒ 则EAF ∠的度数为 ．11．如图 在长方形ABCD 中 3AD = 2AB = 点F 是AB 上一点 1AF = 点E 是BC 上一动点 连接EF 将BEF △沿EF 折叠 记点B 的对应点为点B ' 连接DB ' 则FB DB '+'的最小值是 ．12．如图 在矩形ABCD 中 5AB = 8AD = 边AD 上有一动点P 连结BP 把ABP沿BP 折叠当点A 的对应点A '刚好落在BC 的垂直平分线上时 点A '到AD 的距离为 ．13．如图所示 在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中 8AB = 16BC = 将上面的矩形纸片折叠 使点C 与点A 重合 折痕为EF 点D 的对应点为点G 连接DG 则图中阴影部分的面积为 ．三 解答题14．如图 正方形纸片ABCD 的边长12AB = E 是DC 上一点 5CE = 折叠正方形纸片 使点B 和点E 重合 折痕为FG 试求FG 的长．15．如图 把一张长方形纸片ABCD 折叠起来 使其对角顶点A 与C 重合 D 与G 重合 若长方形的长BC 为8 宽AB 为4(1)求DE 的长(2)求阴影部分的面积．16．如图1 将矩形纸片()ABCD AD AB >折叠 使点C 刚好落在线段AD 上 且折痕分别与边BC AD 相交 设折叠后点C D 的对应点分别为点G H 折痕分别与边BC AD 相交于点E F ．（1）求证：四边形CEGF 是菱形（2）如图2 若3AB = 9BC = 当点G 与点A 重合时 求折痕EF 的长.17．如图 在四边形纸片ABCD 中 AD BC ∥ AD CD > 将纸片沿过点D 的直线折叠 使点C 落在AD 上的点C '处 折痕DE 交BC 于点E 连接C E '．(1)请确定四边形CDC E '的形状 并说明理由(2)若30BCD ∠=︒ 2CE = 过点C '作C F BC '⊥于F 连接CC '交DE 于点M 连接FM ： ①四边形CDC E '的面积为①2FM = ．18．已知矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点P 是边AD 的中点．(1)如图1 连接BP 并延长 与CD 的延长线交干点F 问：线段CF 上是否存在点Q 使得PFQ △是以PF 为腰的等腰三角形 若存在 请直接写出DQ 的长 若不存在 请说明理由．(2)①如图2 把矩形ABCD 沿直线MN 折叠 使点B 落在点D 上 直线MN 与AD BD BC 、、的交点分别为M H N 求折痕MN 的长．①如图3：在①的条件下 以点A 为原点 分别以矩形ABCD 的两条边AD AB 、所在的直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系 若点R 在x 轴上 在平面内是否存在点S 使以R M N S 为顶点的四边形是菱形？若存在 请求出点S 的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图4：若点E 为CD 边上的一个动点 连结PE 以PE 为边向下方作等边PEG △ 连结AG 则AG 的最小值是______．（请直接写出答案）参考答案：1．C2．B3．B4．B5．D6．A7．D8．B9．491310．43︒111012．213．72514．解：如图 过点F 作FM BC ⊥ 垂足为M 连接BE ．①四边形ABCD 为正方形①AB BC CD AD === 90A ABC C D ∠=∠=∠=∠=︒①90A ABC BMF ===︒∠∠∠①四边形ABMF 为矩形①12MF AB BC ===①将正方形纸片ABCD 折叠 使点B 落在边CD 上的点E 折痕为FG ①90C FMG ∠=∠=︒ BE FG ⊥①90BNG C ∠=∠=︒①90MGF CBE BEC CBE ∠+∠=∠+∠=︒ ①MGF CEB ∠=∠在FMG 和BCE 中 MGF CEB FMG C FM BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS FMG BCE ≌①MG CE =．又①5CE =①5MG =．在Rt MFG 中 根据勾股定理得13FG == 即FG 的长是13．15．（1）设DE EG x == 则8AE x =- 在Rt AEG △中 222AG EG AE +=所以()22168x x +=-解得：3x =即3DE =（2）过点G 作GM AD ⊥于M 则1122AG GE AE GM ⨯=⨯4AG AB == 5AE = 3GE = 所以1143522GM ⨯⨯=⨯⨯所以125GM = 所以11825CED S GM DE =⨯=△． 16．解：（1）证明：①四边形ABCD 是矩形 ①AD ①BC①①GFE =①FEC①图形翻折后点G 与点C 重合 EF 为折线 ①①GEF =①FEC FG =FC EG =EC ①①GFE =①FEG①GF =GE①GE =EC =CF =FG①四边形CEGF 为菱形（2）当G 与A 重合时 由折叠的性质得AE =CE ①①B =90° AB =3 BC =9 BE =9-CE ①Rt ①ABE 中 AE 2=AB 2+BE 2即CE 2=32+(9-CE )2解得 CE =5．AC 222239310AB BC ++=由（1）知四边形CEGF 为菱形 ①12CEGF S EF AC CE AB =⨯=⨯菱形 ①10310EF == 17．（1）解：四边形CDC E '是菱形 理由如下： 根据折叠的性质可得：CD C D C DE CDE '∠=∠ CE C E '= ①AD BC ∥①C DE CED '∠=∠①CDE CED ∠=∠①CD CE =①CD C D C E CE ''===①四边形CDC E '为菱形（2）①①四边形CDC E '是菱形 ①2C E CE '== C E CD '∥ CM C M '= ①30C EF DCB '∠=∠=︒ ①C F BE '⊥ ①112C F C E ''== EF F '=①四边形CDC E '的面积212CE C F '=⨯=⨯= 故答案为：2①①EF = 2CE =①2CF =①(2222218C C C F CF ''=+=+=+①C F BC CM C M ''⊥=， ①12FM C C '=①22124FM C C '==故答案为：2 18．（1）解：存在 理由如下： 四边形ABCD 是矩形 90A ADC ∴∠=∠=︒ AB CD = 90FDP ∴∠=︒点P 是边AD 的中点 AP DP ∴=又APB DPF ∠=∠ ()ASA ABP DFP ∴△≌△ PF PB ∴= AB DF = 4,6AB AD ==4DF AB ∴== 132AP PD AD === 90A ∠=︒在Rt ABP 中：2222345PB AB AP +=+=5PF ∴=PFQ △为等腰三角形 以PF 为腰的等腰三角形分为两种情形： ①当PF PQ =时 此时点Q 与点C 重合 故4DQ DC == ①当FP FQ =时 如图：5PF = 5FQ = FD =4541DQ FQ FD =-=-=综合①① DQ 的长为：4或1（2）解：①如图：连接BM DN根据题意可知：MN 垂直平分BD ,MN BD BH DH ∴⊥= ,NB ND MB MD == 四边形ABCD 是矩形AD BN ∴MDH HBN ∴∠=∠ 又MHD NHB ∠=∠MHD NHB ∴△≌△MH HN ∴= MD NB =∴四边形MBND 是菱形设AM b = 则6MD MB b ==-在Rt AMB △中222BM AM AB =+即：222(6)4b b -=+ 解得：53b = 5513,6333AM BM ∴==-= 在Rt △ABD 中BD 12BH BD ∴=MH BD ⊥∴在Rt MHB △中MH ==2MN MH ∴== ①建立平面直角坐标系如图：由①知：53AM = 133BN MD MB ===4AB = MN = ①5130433M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， R M N S 为顶点的四边形是菱形 点R 在x 轴上当MR 为对角线时 MR NS ⊥,M R 都在x 轴上 ∴,N S 关于x 轴对称 1343S ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 当MN 为对角线时 MN RS ⊥ 由（2）知 四边形MBND 是菱形 则S 与点B 重合 ∴此时(0,4)S -当MS 为对角线时 则MR SN ∥ MR SN =MN = 13(,4)3N -①1343S ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭综上可知 存在点S 使得以R M N S 为顶点的四边形是菱形 点S 坐标为：134134⎫--⎪⎪⎝⎭ 134134⎫+-⎪⎪⎝⎭ 13,43⎛⎫⎪⎝⎭ (0,4)- （3）解：如图：分别以PD PC 为边向下方作等边,PDF PCH △△ 过点F 作FI AD ⊥垂足为I 连接AF HF P 为AD 中点 ∴132AP PD AD ===PDF △为等边三角形1322PI PD ∴== 60DPF ∠=︒ PD PF =PA PF = 60DPF ∠=︒30PAF PFA ∴∠=∠=︒120APF ∴∠=︒92AI AP PI ∴=+=点E 为CD 边上的一个动点 以PE 为边向下方作等边PEG △ 当点E 与点D 重合时 点G 与点F 重合 当点E 与点C 重合时 点G 与点H 重合 ∴点G 在线段FH 上运动 当AG HF ⊥时 AG 最小 PEG △为等边三角形60EPG ∴∠=︒ PE PG =60 FPG FPE FPE EPD∴∠+∠=∠+∠=︒FPG DPE∴∠=∠∴FPG DPE△≌△PDE PFG∴∠=∠90PDE∠=︒∴90PFG∠=︒PF FH∴⊥当AG HF⊥时AG PF120,30APF PAF∠=︒∠=︒18012060PAG∴∠=︒-︒=︒603030 FAG PAG PAF∠=∠-∠=︒-︒=︒IAF GAF∴∠=∠FI AD⊥90AIF∴=︒在AFI和AFI中AIF AGFAF AFFAG FAI∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASAAFI AFI≌AG AI∴=∴当AG HF⊥时92AG AI==故答案为：92．。
2019届中考数学专题复习演练：折叠问题含答案
折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 75°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B. C. D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B. 4 C. D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9.10.5.811.3 12.50°13.80°14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EA B′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，E B′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。
2020年中考数学动态问题-折叠中有关计算题型(含答案)
专题04 动点折叠类问题中有关计算题型一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.下面我们从几个例题中展开论述，逐层拨开它的神秘面纱.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为cm ．例2. 如图，矩形ABCD中，AB=36BC=12，E为AD的中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落在CF上的点G处，则折痕EF的长是例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝62MP；④BP＝22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD=2，将∠A向内折叠，点A落在BC上，记为A’，折痕为DE. 若将∠B沿EA’向内折叠，点B恰好落在DE上，记为B’，则AB=例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 522B. 21-C. 12D. 22例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233B ．7213C ．7D ．13例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州） 如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG.（1）求证：四边形CEFG 是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG 的面积.二、精品例题解析题型一：图形折叠中的计算例1.（2019·青岛）如图，在正方形纸片 ABCD 中， E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD ＝4 cm ，则 CF 的长为 cm ．【答案】625-【分析】要求CF 的长，观察图形，发现CF 在Rt △CEF 中，想到用勾股定理求解，然而EF 的长度是未知的，求解难度较大；再观察图形，发现CF=BC －BF ，只要求出BF 长度即可，而BF=GF ，进而想到利用面积法来求解，设CF=x ，BF=GF=4－x ，列方程求解x 即可.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=4，∠C=∠D=90°，设CF=x ，由折叠知：BF=GF=4－x ，∵E 是CD 中点，∴DE=2，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE=5ADE ABF AEF CEF ABCD S S S S S =+++△△△△正方形 即：()()111116424425422222x x x =⨯⨯+⨯⨯-+⨯-+⨯⨯ 解得：x=65-，故答案为：65-. 例2. 如图，矩形ABCD 中，AB=36BC=12，E 为AD 的中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落在CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【分析】EF 在Rt △AEF 中，求出AF 的长即可利用勾股定理求解折痕EF 的长度；连接CE ，可证△CEG ≌△CED ，得EF ⊥CE ，设AF=x ，利用CF 2=BF 2+BC 2，CF 2=EF 2+CE 2，列出方程求解AF 的长. 【答案】215.【解析】解：∵E 是AD 的中点，∴AE=ED ，由折叠知：AE=EG ，∴EG=DE,连接CE ，在Rt △CDE 和Rt △CDG 中，CE=CE ，EG=AE=DE∴Rt △CDE ≌Rt △CDG∴∠GEC=∠DEC ，∴∠FEC=90°，设AF=x ，则BF=36x ，BC=AD=12，在Rt △EFC 和Rt △BFC 中，由勾股定理得：222222AE AF DE CD BF BC +++=+即：(()22222266363612x x +++=-+，解得：x=26， ∴()22626215+=故：答案为215.例3.（2019·连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝6MP；④BP＝2AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B.【解析】解：由折叠性质知：∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝12×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；由折叠知：∠D＝∠MEC＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，即点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2，设AB＝x，则AD＝2，由折叠知：DM＝12AD2x，由勾股定理得：CM3x，∵∠PMC ＝90°，MN ⊥PC ，∴△CMN ∽△CPM ，∴CM 2＝CN •CP ，∴CP 22x =，∴PN ＝CP ﹣CN ＝2x ，由勾股定理得：PM x ，∴PC PM=即PC MP ，故③错误；PB x ，AB PB=∴PB ＝2AB ，故④正确， 由折叠知：CD ＝CE ，EG ＝AB ，AB ＝CD ，∴CE ＝EG ，∵∠CEM ＝∠G ＝90°，∴FE ∥PG ，∴CF ＝PF ，∵∠PMC ＝90°，∴CF ＝PF ＝MF ，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确；故答案为：B ．例4.（2019·潍坊）如图，在矩形ABCD 中，AD=2，将∠A 向内折叠，点A 落在BC 上，记为A ’，折痕为DE. 若将∠B 沿EA ’向内折叠，点B 恰好落在DE 上，记为B ’，则AB=【答案】232 33+.【解析】解：由折叠知：∠AED=∠DEA’=∠BEA’，而∠AED+∠DEA’+∠BEA’=180°，∴∠AED=∠DEA’=∠BEA’=60°，∴∠EDA=∠EDA’=∠CDA’=30°,∵AD=2，∴A’E=AE=323 33AD=，∴BE=32'33A E=,即AB=AE+BE=2323+.例5.（2019·天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为【答案】49 13.【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，AD=AB ，由折叠性质知：AE ⊥BF ，∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，即∠DAE=∠ABF ，∴△ADE ≌△BAF ，∴AF=DE=5，由勾股定理得：AE=BF=13，∴AG=2×51213⨯=12013， ∴GE=AE －AG=4913. 故答案为：4913. 例6.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合.以下结论错误的是（ ） A.52102+=AH B.215-=BC CD C.EH CD BC ⋅=2 D.515sin +=∠AHD【答案】D.【解析】解：由折叠知：四边形BADH 为菱形，∴EH=BE+BH在Rt △ABE 中，由勾股定理得：225BE AE +=∴5，5，在Rt △AEH 中，由勾股定理，得：AH 2=()2222512=1025EH AE +=+++， 故A 正确；CD=AD －AC=5－1，BC=2，∴51CD BC -=，故B 正确； BC 2=4，CD ×EH=（5－1）×（5+1）=4， 故C 正确；∵∠AHD=∠AHE ，∴515sin sin +≠=∠=∠AH AE AHE AHD 故D 错误，即答案为D.例7.（2019·金华）如图，将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线减去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕，若正方形EFGH 与五边形MCNGF 面积相等，则FMGF 的值是（ ）A. 52-B. 21C. 12D. 22【答案】A.【解析】解：设正方形ABCD 的边长为a ，连接HF ，GE 交于点O ，则GE ⊥HF ，∠GFH=45°，∴2, 由题意知：正方形EFGH 、与其它四个五边形的面积均相等，∴正方形EFGE 面积为：25a ， 即GF=55a ， ∴FO=2251022GF a a =⨯= FM=OM －FO=102a a - ∴105221025a a FM GF a --==， 故答案为A.例8.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC'，DC ’与AB 交于点A ’，连结AC'，若AD =AC ’=2，BD =3，则点D 到BC 的距离为（ ）A ．233 B ．7213 C ．7 D ．13【答案】B.【解析】解：如图，连接CC ’，交BD 于M ，过D 作DH ⊥BC ’于H ，∵AD=AC ’=2，AD=CD=2，由翻折知：CD=DC ’=2，∠DBC=∠BDC ’，∴△ADC ’为等边三角形，DH 即为所求，∴∠ACC ’=∠DC ’C=30°，∴DM=1，C ’M= 3 ∵BD=3， ∴BM=BD －DM=2，在Rt △BMC ’中，由勾股定理得：BC ’= 22'7C M BM +=,∵'11''22BC D S BD MC BC DF =⋅=⋅△ ∴DH=3217， 故答案为：B.例9.（2019·重庆）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1. 连接DE ，将△ADE 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G. 则四边形DFEG 的周长为（） A. 8 B. 42 C. 224+ D. 322+【答案】B.【解析】解：∵∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AD ＝BD ，∴∠GBD+∠C ＝90°，∵∠EAD+∠C ＝90°，∴∠GBD ＝∠EAD ，∵∠ADB ＝∠EDG ＝90°，∴∠ADB ﹣∠ADG ＝∠EDG ﹣∠ADG ，即∠BDG ＝∠ADE ，∴△BDG ≌△ADE ，∴BG ＝AE ＝1，DG ＝DE ，∵∠EDG ＝90°，∴△EDG 为等腰直角三角形，∴∠AED ＝∠AEB+∠DEG ＝90°+45°＝135°，∵△AED 沿直线AE 翻折得△AEF ，∴△AED ≌△AEF ，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，ED ＝EF ，∴∠DEF ＝360°﹣∠AED ﹣∠AEF ＝90°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴EF ＝DE ＝DG ，在Rt △AEB 中，由勾股定理得：BE ＝，∴GE ＝BE ﹣BG ＝﹣1，在Rt △DGE 中，DG ＝DE=2GE ＝2﹣2，∴EF ＝DE ＝2﹣2， 在Rt △DEF 中，DF ＝DE ＝﹣1，∴四边形DFEG 的周长为：GD+EF+GE+DF ＝2（2）+2（1）＝+2，题型二：图形折叠中证明、计算题例10.（2019·滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积.【分析】（1）由翻折性质并借助全等三角形的性质和菱形的判定方法证明结论成立；（2）由勾股定理，可以求得AF的长，并求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．【答案】见解析.【解析】（1）证明：由题意可得：△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，专题04 动点折叠类问题中有关计算题型∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2，设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，在Rt△FDE中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得，x＝10 3，即CE＝10 3，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝103×2＝203．。
(精心整理)2017年中考数学复习专题图形折叠问题及答案
2017年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，则点 D 的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。
四边形中的折叠结构(人教版)(含答案)
四边形中的折叠结构（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.已知一张矩形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，使得顶点C落在AB边上的点E处．若AD=6，∠CDF=30°，则折痕DF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，∠AEG=( )度.A.55B.65C.70D.75答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半3.如图，将宽为的长方形纸条沿BC折叠，若∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质4.如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E的位置处，AE交CD 于点F,若AF=,则AD的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( )A.6B.5C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法6.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若AB=16，BC=32，则AE的长为( )A.19B.17C.16D.15答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题的分类讨论、存在性问题》测试卷(带答案)
中考数学专题复习《四边形的折叠问题的分类讨论存在性问题》测试卷（带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．图1是一张菱形纸片ABCD 点,E F 是边,AB CD 上的点．将该菱形纸片沿EF 折叠得到图2 BC 的对应边B C ''恰好落在直线AD 上．已知60,6B AB ∠=︒= 则四边形AEFC '的周长为（ ）A ．24B ．21C ．15D ．122．如图 在菱形ABCD 中 60A ∠=︒ 点E F 分别在,AB AD 上 沿EF 折叠菱形 使点A 落在BC 边上的点G 处 且EG BD ⊥于点M GF 交BD 于点N 若27AB =2 1.4 3 1.7） 则GN 长是（ ）A ．7B ．172C ．17D ．183．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠 恰好得到菱形AECF 若6AD 则菱形AECF 的面积为（ ）A ．3B ．43C ．4D ．84．如图 四边形ABCD 为一矩形纸带 点E F 分别在边AB CD 上 将纸带沿EF 折叠点A D 的对应点分别为A ' D 若236∠=︒ 则1∠的度数为（ ）A ．74︒B ．54︒C ．78︒D ．72︒5．矩形纸片ABCD 中 E 为BC 的中点 连接AE 将ABE 沿AE 折叠得到AFE △ 连接CF ．若4AB = 6BC = 则CF 的长是（ ）A ．3B ．175C ．72D ．1856．如图 把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠 设重叠部分为EBD △ 则下列说法错误的是（ ）A ．AB CD = B ．BAE DCE ∠=∠C ．EB ED = D ．ADB ADC ∠=∠ 7．如图 把长方形ABCD 沿EF 按图那样折叠后 A B 分别落在G H 点处 若140∠︒＝ 则AEF ∠的大小是（ ）A ．120︒B ．115︒C ．110︒D ．105︒8．如图 将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠 使点C 落在C '处 BC '交AD 于点E ．若6AB = 8AD = 那么点E 到BD 的距离为（ ）A ．154B ．754C ．165D ．325二 填空题9．如图 在ABCD 中 43AB = 12AD = 30C ∠=︒ 点M N 分别在边BC AD 上 沿MN 折叠平行四边形 使点C 与点A 重合 则线段BM 的长度为 ．10．如图 将ABCD 沿对角线AC 折叠 使点B 落在B '处 1242∠=∠=︒ 则B ∠= ．11．将矩形ABCD 纸片按图所示方式折叠 M N 、分别为AB CD 、的中点 点B 的对应点B '恰好落在MN 上．若10,AB AB BC =< 则DN 的长为 折痕AE 长为 ．12．把一张长方形的纸片沿对角线BD 折叠 若AFD △的周长为12 则长方形ABCD 的周长是 ．13．如图 在矩形ABCD 中 3AB = BC m = 点E 在边BC 上 且32BE EC =::．连接AE 将ABE 沿AE 折叠 若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的CD 边上 则m 的值为 ．三 解答题14．如图 一张矩形纸片ABCD 10cm AB = 8cmAD =将纸片折叠使点B 落在CD 边上的点E 处 折痕为AF ．(1)求线段DE 的长(2)求折痕AF 的长．15．如图 已知矩形ABCD 中 E 是边AD 上一点 将BDE △沿BE 折叠得到BFE △ 连接DF ．(1)如图1 BF 落在直线BA 上时 求证DFA BEA ∽(2)如图2 当2AD AB= BF 与边AD 相交时 在BE 上取一点G 使,BAG DAF AG ∠=∠与BF 交于点H ．①求AF AG的值 ①当E 是AD 的中点时 若15FD FH ⋅= 求AG 的长．16．如图1 有一块长方形纸板ABCD 它的边6AB = 8BC =．点E F 分别为AD CD 上的点 把长方形沿EF 折叠使得点D 落到D 满足EF AC ∥．设DF x =．(1)当x 为多少时 点D '落在AC 上(2)当x 为多少时 点D '落在BC 上(3)设D EF '和ABC 存在重叠部分 重叠部分的面积记为S 当点D '落于ABC 内部时 求S 关于x 的函数解析式 并写出x 的取值范围．17．如图 已知正方形ABCD 边长为10cm 点M 从C 到D 以1cm/s 的速度运动 将正方形ABCD 折叠 使顶点A 与点M 重合 折痕交AD 于E 交BC 于F 边AB 折叠后与BC 边交于点G ．设点M 的运动时间为t (010)t << 单位：s ．(1)求证：DEM CMG ∽(2)当5s t =时 求DEM 的周长(3)当510t <<时 求CMG 的周长．18．如图正方形纸片ABCD的边长为8 E是AB边上的动点．折叠纸片使点D与点E重合折痕为FG DC的对应边EC'交BC于点H．(1)如图1 当点E是AB的中点时则AF的长______．(2)如图2 设AE的长为x四边形CDFG面积为S．①求DF的长度（用含x的代数式表示）①求S关于x的函数关系式并求S的最小值．(3)如图3 过点D作EC'的垂线垂足为M DM交FG于点N．①求BHE的周长．∠的值．①当BHE与MNE的周长之差为2时请直接写出sin EHB参考答案：1．C2．D3．B4．D5．D6．D7．C8．A9．8310．117︒/117度11． 512．241314．1）解：①10cm AE AB == 222AD DE AE += ①264100DE +=①6cm DE =（2）解：设cm BF x = 则8CF BC BF x =-=- ①1064cm EC DC DE =-=-= 且222EF EC CF =+ ①()2222168EF EC CF x =+=+- ①EF BF x ==①()22168x x =+-解得5cm x =①222AF AB BF =+①AF =．15．（1）证明：如图1 延长BE 交DF 于点G根据折叠性质得到,BF BD EF ED == ①直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DGE ∠=︒①四边形ABCD 是矩形①90DAF BAE ∠=∠=︒①DEG BEA ∠=∠①ADF ABE =∠∠①DFA BEA ∽．（2）解：①延长BE 交DF 于点T根据折叠性质得到,BF BD EF ED == ①直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DTB ∠=︒ DT TF =①四边形ABCD 是矩形①90DAB ∠=︒①DET AEB ∠=∠①ADF ABE =∠∠①BAG DAF ∠=∠①DFA BGA ∽ ①AF AD AG AB = ①2AD AB =①2AF AG①根据解析①可知：直线BE 是DF 的垂直平分线 ①90DTB ∠=︒ DT TF =①四边形ABCD 是矩形①90DAB ∠=︒①90DAG BAG ∠+∠=︒①BAG DAF ∠=∠①90DAG DAF ∠+∠=︒①90GAF ∠=︒①点E 为AD 的中点①DE EA = ①12FE DE EA AD === ①EDF EFD ∠=∠ EFA EAF ∠=∠ ①DFE EFA EAF EDF ∠+∠=∠+∠ ①180DFE EFA EAF EDF ∠+∠+∠+∠=︒ ①90DFE EFA EAF EDF ∠+∠=∠+∠=︒ ①90AFD ∠=︒①90GTF AFT GAF ∠=∠=∠=︒ ①四边形AGTF 是矩形①AG FT DT == 90AGT ∠=︒ AF TG = AG FT ∥ ①90AGB ∠=︒①BAG DAF ∠=∠ 90AGB AFD ∠=∠=︒ ①DFA BGA ∽ ①AF AD DF AG AB BG== 设AG FT DT x === 则2DF x =①AD AB =①2AF x AD BG Bx A ===①AF BG =①12AF BG GT BT ====根据勾股定理得：AB =①AD =①根据勾股定理得：3BD x ==①AG FT ∥ BG GT =①1BG BH GT HF ==①113222BH FH BF BD x ==== ①15FD FH ⋅= ①32152x x ⋅= 解得5,5x x ==- 故5AG =16．（1）解：①长方形纸板ABCD 6AB = 8BC =①6CD = 8AD = 90ADC BCD B ∠=∠=∠=︒如图1 连接DD ' 交EF 于O由翻折的性质可知 DD EF '⊥ 12DO D O DD ''==①EF AC ∥①DD AC '⊥由勾股定理得 2210AC AB BC =+ ①1122ACD S CD AD AC DD '=⋅=⋅ 即11681022DD '⨯⨯=⨯⋅ 解得 245DD '= ①125DO D O '==①DFO ACD ∠=∠ DOF ADC ∠=∠①DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即125108x = 解得 3x =①当3x =时 点D '落在AC 上（2）解：如图2AI同理（1）DD EF '⊥ 12DO D O DD ''== DD AC '⊥ ①90CDD CD D CD D BCA '''∠+∠=︒=∠+∠ 即CDD BCA '∠=∠ ①90DCD B '∠=∠=︒①DCD CBA '∽ ①DD CD AC BC '= 即6108DD '= 解得 152DD '=①154DO = 同理（1）DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即154108x = 解得 7516x =①当7516x =时 点D '落在BC 上 （3）解：如图3 记DD '交AC 于H D E '交AC 于M D F '交AC 于NAI由（1）可知245DH = 同理（1）DFO ACD ∽ ①DF DO AC AD = 即108x DO =解得 45DO D O x '==①85DD x '= 82455D H DD DH x ''=-=- ①EF AC ∥①DEF DAC ∽ ①DE DF AD DC= 即86DE x = 解得 43DE x = ①2142233D EF DEFS S x x x '==⋅⋅= ①MN AC ∥①D MN D EF ''∽ ①2D EF S D H S D O '⎛⎫= ⎝''⎪⎭ 即22824552435x S x x ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 整理得 ()2833S x =- ①当点D '落于ABC 内部时 S 关于x 的函数解析式为()2833S x =- 75316x <<． 17．（1）根据折叠的性质知：90EMG A ∠=∠=︒①90DME CMG ∠+∠=︒①90DME DEM ∠+∠=︒ ①DEM CMG ∠=∠①90D C ∠=∠=︒①DEM CMG ∽（2）根据折叠的性质知:EM EA =当5t =时 5DM CM == ①DEM 的周长为：15cm DM DE EM DM DE EA DM DA ++=++=+= （3）依题意得：10CM t DM t ==-， 设EM EA x == 则]10DE x =- 在Rt DEM 中 222EM DE DM =+ 即()()2221010x x t =-+- 解得：210,20t x t =-+ ①21020t DE x t =-=- DEM CMG ∽ME GM DE CM ∴= 即 10x GM t t=- 解得： 22002020t t GM t-+=- 同理可得： 2002020t CG t-=- CMG ∴的周长为：2200202002020cm 2020t t t CM CG MG t t t--+++=++=--． 18．（1）解：四边形ABCD 是正方形90A ∴∠=︒ 8AB AD ==当E 为AB 的中点时 142AE AB == 设AF x =则8EF FD AD AF x ==-=-在Rt AEF 中 222AE AF EF += 则()22248x x +=-解得：3x =3AF ∴=故答案为：3（2）①如图 过点G 作GK AD ⊥ 则四边形CGKD 是矩形连接ED 交FG 于点PE D 关于FG 对称ED FG ∴⊥90FPD FKG ∴∠=∠=︒ADE DFP FGK DFP ∴∠+∠=∠+∠90=︒ADE KGF ∠=∠由正方形性质可知KG CD AD ==ADE KGF ∴≌设AE x = 则FK x = 8DF FE AF ==-()2228x AF AF ∴+=-21416AF x ∴=-∴218416DF AF x =-=+ ①由矩形的性质可得21416CG KD FD FK x x ==-=+- ∴四边形CDFG 面积为()22111844421616S CG FD x x x ⎛⎫=+⨯=+-++ ⎪⎝⎭ 214322x x =-+ ()214242x =-+ ()214242S x ∴=-+ 最小值为24 （3）①如图 由（2）可得AE x = 21416AF x =- 21416EF x =+ 则8BE x =-在正方形ABCD 中由于对折可知 90ADC FEH ∠=∠=︒①1290∠∠=︒＋又①90A B ∠=∠=︒①1390∠∠=︒＋①23∠∠=①AEF BHE ∽ ①AF AE EF BE BH EH== ①8BE AB AE x =-=-()281618416x x AE BE x BH AF x x -⋅===+- ()222184641618416x x BE EF x EH AF x x ⎛⎫-⋅+ ⎪⋅+⎝⎭===+- ①BHE 的周长216648168x x BH EH x x BE +++-=+==＋＋ 即：BHE 的周长为16①连接EN由折叠可知 DFN EFN ∠=∠ =EF FD EF EC '⊥ DM EC '⊥EF DM ∴∥MNG EFN ∴∠=∠ FEN ENM ∠=∠ DFN MNG ∴∠=∠①FND MNG ∠=∠DFN DNF ∴∠=∠DF DN ∴=EF ND ∴=∴四边形EFDN 是平行四边形 EN FD ∴∥ EN FD =EF FD =∴四边形EFDN 是菱形EF EN ∴=EN AD ∴∥FEN AFE ∴∠=∠AEF BHE ∽∴EHB NEM ∠=∠DM EH ⊥90NME B ∴∠=∠=︒EMN HBE ∴∽ BHE 的周长为16当BHE 与MNE 的周长之差为2时 则MNE 的周长为14或18 147168EN EH ∴==或189168EN EH == EF EN =78EF EH ∴=或98AEF BHE ∽EF AF EH BE∴= BHE AEF ∠=∠ 78AF BE ∴=或98 8BE x =- 21416AF x =- 21471688x x -∴=-或21491688x x -=- 解得16x = 28x =或18x = 210x = 08x ≤≤6x ∴=∴6AE =2197441644AF x ∴=-=-= 21925441644EF x ∴=+=+= 774sin sin 25254AF EHB AEF EF ∴∠=∠===．。
人教版八年级数学下册 第18章 《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题 (含答案)
《四边形》利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第1题)矩形的折叠问题2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第2题)菱形的折叠问题3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°(第3题)(第4题)正方形的折叠问题4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊．．．到一般的思想．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训3 全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．三个图形图形1矩形1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第1题)图形2菱形2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；(2)求线段BD的长．(第2题)图形3正方形3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF；(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．(第3题)4．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(第4题)三个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分的周长．(第5题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第6题)技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )(第7题)A．5B．10C．15D．208．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．(第8题)答案专训1(第1题)1．解：设AE与BC相交于点F，如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝12×6＝3.又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.(第2题)2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.易得四边形AEA′D是正方形，∴A′E＝AD.∴EG＝CH.(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.∴A D＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠3.由(1)知，AE＝BC.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FB C＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.(第4题)5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠BPH＝∠PBC.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)解：△PDH的周长不发生变化．证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由(1)知∠APB＝∠QPB，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．(第5题)专训21．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠C FO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，(第2题)在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5 cm.(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P 的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝4 3 .∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43 .3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.(第3题)(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.由(1)知∠BCD＝120°.又∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形．(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．∵BE瘙綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．∴直线EG必过正方形的中心．专训31．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．(2)解：四边形AECF是矩形，理由：∵AE＝12AB，CF＝12CD，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．2．解：(1)AC⊥BD.证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠ACB＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.(第3题)根据题意知：∠F′AE＝90°，DE＝AF＝AF′，∴∠F′AE＝∠AED＝90°.即∠F′AE＋∠AED＝180°.∴AF′∥DE.∴四边形AE DF′为平行四边形．又∠AED＝90°，∴四边形AEDF′是矩形．∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°.∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠DAF＝∠ABE.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14.∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.7．B 点拨：因为DF ＝12DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6，∴AC＝2AG＝2×6＝12.∴菱形ABCD的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96.(第8题)(2)OE＋OF的值不发生变化．理由：如图①，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO＋S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF，解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连结AO，则S△ABD ＝S△ABO－S△AOD，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF，即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF，解得OE－OF＝9.6.。
2022年中考数学专题复习 折叠题(含解析)
2022年中考数学专题复习：折叠题1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有以下四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是〔〕A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF〔ASA〕，∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．应选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，假设EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．以下结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤假设，那么．以上命题，正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，那么G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，那么有y2+〔2y﹣2x〕2=〔2y﹣x〕2，解得x1=y〔不合题意舍去〕，x2=y．那么，故正确．故正确的有3个．应选B．点评：此题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答此题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为〔〕A．3B．2C．2D．2解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．应选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．那么以下结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG 和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的选项是〔〕A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=〔CW+FJ〕=WC=〔BH+HE〕=BE；易证：△ABE≌△DAQ〔SAS〕，∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；应选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是〔〕A．B．C．D．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．应选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，那么∠A′的大小是〔〕A．40°B．36°C．32°D．30°解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．应选B．点评：此题考查了折叠的性质，解答此题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意此题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB 与AC重合，得△AB′D，那么△ABC与△AB′D重叠局部的面积为〔〕A．B．C．3﹣D．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=〔2﹣2〕×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC•DE=×2×=．应选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，那么BD的长度为〔〕A．B．C．D．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，那么CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．应选B．点评：此题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔〕A．1 B．C．D．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×〔﹣1〕+×〔﹣1〕〔﹣1〕=1．应选A．点评：此题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。
专题1.5 特殊四边形中的折叠问题的四大题型(北师大版)(原卷版)
专题1.5 特殊四边形中的折叠问题的四大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！【题型1矩形中的折叠问题】1．（2023春·吉林长春·九年级统考期末）综合与实践【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．∠DPM=60°，则∠MBC的大小为 度．【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．（1）判断△MBQ与△CBQ的关系并证明．（2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为 ．2．（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知长方形ABCD(对边平行且相等，四个角都是直角)中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．(1)如图1，当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；(2)如图2，将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在长方形ABCD的内部，延长P B′交直线AD于点F．①证明FA=FP，并求出在(1)条件下AF的值；②连接B′C，求△PCB′周长的最小值．3．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）如图，将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠，使点C刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC、AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F．(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论．(2)若CD=2，GD=16，求DF的长．4．（2023春·江苏南京·九年级校联考期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．问题解决：（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：①△CDM与△AD1M的关系为，线段AC与线段MN的关系为，小强量得∠MNC=50°，则∠DAN=．②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明．拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片ABCD中，BC=2AB=6cm，BM=4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你直接写出线段ND的长：．综合探究：（3）如图3，ABCD是一张矩形纸片，AD=1，AB=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M（不与A和B点重合），在边CD上取一点N（不与C和D点重合），将纸片沿MN折叠，使线段MB与线段DN交于点P，得到△MNP，请你确定△MNP面积的取值范围．5．（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）【问题背景】矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点P在AB 边上，点Q在BC边上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．【初步认识】（1）如图1，折痕的端点P与点A重合．①当∠CQE=50°时，∠AQB=__________°；②若点E恰好在线段QD上，则BQ的长为__________；【深入思考】（2）若点E恰好落在边AD上．①如图2，过点E作EF∥AB交PQ于点F，交BC于点G，连接BF．请根据题意，补全图2并证明四边形PBFE 是菱形；②在①的条件下，当AE=3时，求PQ的长；【拓展提升】（3）如图3，若DQ⊥PQ，连接DE，若△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形，求BQ的长．6．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图①所示的长方形纸条ABCD，其中AD=BC=2，AB=CD=10．然后在纸条上任意画一条线段MN，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图②所示：【基础回顾】(1)在图②中，若∠1=52°，∠MKN ＝______°；（直接写出答案）【操作探究】(2)改变折痕MN 位置，△MNK 始终是______三角形，请说明理由；(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK 的面积时，发现KN 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出△KMN 的面积最小值为2，此时∠1的大小可以为______；【拓展延伸】(4)小明继续动手操作进行折纸，发现了△MNK 面积存在最大值，请你求出这个最大值．7．（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图1，AD >CD ）沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图2）；再沿过点D 的直线折叠，使得点C 落在AD 边上的点N 处，点E 落在AE 上的点M 处，折痕为DG （如图3）．若第二次折叠后，点M 正好在∠NDG 的平分线上，连接DM ，且CD =1，则AD ＝ ．8．（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 在边BC 上，且满足 AB =2BE ，把△ABE 沿直线AE 折叠，使点B 落在点F 处，EF 的延长线与边CD 交于点G ．若CG =DG ，则CE BE = ．【题型2菱形中的折叠问题】1．（2023春·安徽淮南·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，BC=4，∠B=120°，点E是AD的中点，点F是AB上一点，以EF为对称轴将△EAF折叠得到△EGF，以CE为对称轴将△CDE折叠得到△CHE，使得点H落到EG上，连接AG．下列结论错误的是（）A．∠CEF=90°B．CE∥AG C．FG=1.6D．CFAB =1452．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF=；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．3．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，M 为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为．4．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6，菱形ABCD的面积为24，点E是边AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B′、C′，若∠BEB′=90°，则点C′到BC的距离为．5．（2023春·广西来宾·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，AD=6，则BE的长为．6．（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，M为边AB上的一点，将菱形沿DM 折叠后，点A恰好落在BC的中点E处，则AM=．7．（2023春·广东肇庆·九年级统考期末）如图1，菱形纸片ABCD的边长为6cm，∠ABC=60°，将菱形ABCD 沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上的点P（如图2）．若AE=2BE，则六边形AEFCHG 的面积为cm2．【题型3正方形中的折叠问题】1．（2023春·陕西西安·九年级校考期末）在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE⊥AG于H，交直线AD于点E．（1）当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段EF与AG的数量关系是________．（2）若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，请直接写出折痕PQ的长．2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）综合与实践问题情境：在数学综合与实践活动课上，老师以“正方形的折叠问题”为主题开展数学活动.如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使得边AB与CD重合，展开铺平，折痕为PQ.然后，再将正方形纸片沿着过点C的直线折叠，此时点B 恰好落在折痕PQ的点F处，展开铺平，设CE与PQ交于点G，连接BG，得到图2.(1)操作发现：小康发现，四边形BGFE是菱形，请说明理由；(2)问题解决：若正方形ABCD的边长为6，求FQ的长；(3)问题拓展：如图3，M是正方形ABCD的边AD上一点，正方形ABCD的边长为8，连接BM，将△ABM沿着BM折叠，使得点A落在正方形ABCD的内部点K处，连接DK，求出DK的最小值.3．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）【模型建立】如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF，AE与BF相交于点P．AE，BF有什么数量关系?请说明理由．【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）（1）以AB为边画正方形ABCD；（2）取CD中点E，连接AE：（3）在AD上找点G，连接BG，使BG=AE．【拓展提升】如图3，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A′，D′，使得点A′始终落在边BC上，A′D与CD相交于点G．（1）若AB=5，BA′=2，求DF的长度；（2）点E，F在边AB，CD上运动时，连接AG，则∠A′AG的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．4．（2023春·河南南阳·九年级统考期末）动手操作：利用“正方形纸片的折叠”开展数学活动，探究在正方形折叠的过程中图形的变化及其蕴含的数学思想方法．折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB=6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M 落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF．思考探究：（1）图1中，与△ABE全等的三角形有________个，∠EAF=________，BE、EF、DF三者的数量关系是________．转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF．证明推理：（2）图2中，BE、EF、DF三者的数量关系是________，并给出证明．开放拓展：（3）如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为________．5．（2023春·江苏南京·九年级校联考期中）点E．F分别为正方形ABCD边AD．AB上的点，连接CE，DF交于点P．(1)如图1，若DE=AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．(2)如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP=BC．(3)若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A'落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的的边长为6，线段A'B=2，则DN的长为．6．（2023春·广东江门·九年级统考期末）综合与实践：如图1，已知正方形纸片ABCD．实践操作第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD 相交于点O．第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．问题解决（1）∠AGD的度数是______；（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；探索发现（3）如图3，若AB=1，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求MN2的值．7．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）已知正方形ABCD的边长AB=6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF．则∠EAF=°，BE的长为．【题型4坐标系中的折叠问题】1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期中）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(0,a)和(b,0)，且a，b满足b=++4．将矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E．(1)a=___________，b=___________；(2)试证明△ADE≌△COE，并直接写出点E的坐标；(3)若点F是线段AC上的一个动点，则EF+OF的最小值为___________；(4)平面内是否存在点M与点N使四边形ACMN为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2017春·北京丰台·九年级统考期中）已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C(1,2)，点A在x轴上，点M(0，2)．(1)点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值.(2)将直线y=−x−1向上平移，得到直线y=kx+b.①当直线y=kx+b与线段OC有公共点时，结合图像，直接写出b的取值范围.②当直线y=kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．（只需写出解题的主要思路，不用写出计算结果）.3．（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x 轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．4．（2023春·天津南开·九年级统考期末）将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O(0,0)，点B(10,6)，点A在x轴，点C在y轴．在AB边上取一点D，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在边OA上的点E处．(1)如图1，求点E坐标和直线CE的解析式；(2)点P为x轴正半轴上的动点，设OP=t．①如图2，当点P在线段OA（不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线l∥y轴，直线l被△CED截得的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．5．（2023春·广东惠州·九年级统考期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足：|OA−15|+=0，点N在OC上，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴上的点D处，且OD=3．(1)求点B的坐标；(2)求直线BN的解析式；(3)坐标平面内是否存在一点P，使以B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请说明理由并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023春·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期末）如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”一定是______三角形．(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4．当点F与点C重合，画出这个“折痕△BEF”，并求出点E的坐标．(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4，当“折痕△BEF”面积最大的时，求出此时点F的坐标．7．（2023春·湖北武汉·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A(a,0)，C(0,c)，且(c−8)2=0．点E从B点出发沿BC运动，点F从B点出发沿BA运动，点G从O点出发沿OC运动．(1)直接写出a，c的值；(2)如图1，将△AOF沿OF折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标；(3)如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使∠EOF=45°，设点E的横坐标为m，求m2+16m 的值；(4)如图3，已知点D(7.5,0)，若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接FG，作AH⊥FG于H，直接写出DH的最大值．8．（2023秋·四川达州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标x+6的图象分别与坐标轴交原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数y=34于点A，C．(1)如图①，将△ABC折叠使得点C落在长方形的边AB上的点E处，折痕为BD，求点B，E的坐标；(2)如图②，将△ABC折叠使得点B落在对角线AC上的点E处，折痕为AD，求点D的坐标；(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得△AEC与△ABC全等？若存在，写出所有符合条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由．。
2020中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题(含答案)
2020中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题（含答案）一、选择题1. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ） A. 53 B. 35 C. 43 D.343．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（ ）A.3B. 4C. 5D.6二、填空题4． 如图，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DF ．若AB=4，BC=2，则AF= _________．5. 如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为________ cm 2．6.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 上的一点，AF=2，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为_______.三、解答题7．在平行四边形ABCD 中，将△BCD 沿BD 翻折，使点C 落在点E 处，BE 和AD 相交于点O.求证：OA=OE8.如图，将□ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕l 交CD 边于点E ，连接BE（1）求证：四边形'BCED 是平行四边形（2）若BE 平分∠ABC ，求证：222BE AE AB +=9． 如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。
专题5.5 四边形中的折叠问题专项训练30道举一反三浙教版解析版
专题5.5 四边形中的折叠问题专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对折叠问题的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A 重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④错误．【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②∵四边形CFHE是菱形，∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；④如图，过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=综上所述，结论正确的有①③，共2个．故选：B．2．（2022•沿河县二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①由矩形的性质得到∠OBC ＝90°，根据折叠的性质得到OB ＝OD ，∠PDO ＝∠OBP ＝90°，∠BOP ＝∠DOP ，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH ⊥OA 于H ，得到OA ＝10，OB ＝6，根据直角三角形的性质得到DH =12OD =3，根据三角形的面积公式得到△OAD 的面积为12OA •DH =12×3×10＝15，故②正确；③连接OC ，于是得到OD +CD ≥OC ，即当OD +CD ＝OC 时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到∠OPB ＝∠POA ，等量代换得到∠OPA ＝∠POA ，求得AP ＝OA ＝10，根据勾股定理得到BP ＝BC ﹣CP ＝10﹣8＝2，故④正确．【解答】解：①∵四边形OACB 是矩形，∴∠OBC ＝90°，∵将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，∴OB ＝OD ，∠PDO ＝∠OBP ＝90°，∠BOP ＝∠DOP ，∵∠BOP ＝45°，∴∠DOP ＝∠BOP ＝45°，∴∠BOD ＝90°，∴∠BOD ＝∠OBP ＝∠ODP ＝90°，∴四边形OBPD 是矩形，∵OB ＝OD ，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH ⊥OA 于H ，∵点A （10，0），点B （0，6），∴OA ＝10，OB ＝6，∴OD ＝OB ＝6，∠BOP ＝∠DOP ＝30°，∴∠DOA ＝30°，∴DH =12OD =3，∴△OAD 的面积为12OA •DH =12×3×10＝15，故②正确；③连接OC ，则OD+CD≥OC，即当OD+CD＝OC时，CD取最小值，∵AC＝OB＝6，OA＝10，∴OC∴CD＝OC﹣OD＝6，即CD的最小值为6；故③正确；④∵OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∵∠ODP＝∠OBP＝90°，∴∠ADP＝180°，∴P，D，A三点共线，∵OA∥CB，∴∠OPB＝∠POA，∵∠OPB＝∠OPD，∴∠OPA＝∠POA，∴AP＝OA＝10，∵AC＝6，∴CP==8，∴BP＝BC﹣CP＝10﹣8＝2，故④正确；故选：D．3．（2022春•溧阳市期末）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EM的值是（ ）FNA B1C．2D．3【分析】设正方形纸片ABCD的边长为2a，由折叠的性质与正方形的性质可得AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，由勾股定理可求FN的长，进而可求FM的长，，计算即可．设AE＝EF＝x，再利用勾股定理可求x，得到EM的长，代入EMFN【解答】解：设正方形纸片ABCD的边长为2a．由题意可知：AM＝BM＝DN＝NC＝a，AD＝DF＝MN＝2a，AE＝EF，∠EMF＝∠DNF＝90°，∴FN==，∴FM＝MN﹣FN＝（2a．设AE＝EF＝x，则EM＝AM﹣AE＝a﹣x．在Rt△EMF中，∵EM2+MF2＝EF2，∴（a﹣x）2+[（2a]2＝x2，∴x＝（4﹣a，∴EM＝a﹣（4﹣a＝（3）a，==2∴EMFN故选：C．4．（2022•衢州模拟）如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则∠AFE的值为（ ）A．22.5°B．67.5°C．22.5°或67.5°D．45°或135°【分析】可动手操作，观察折叠得到的图形及展开图，确定折线的位置，然后进一步求解．【解答】解：以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，实际上是折成一个正方形；①将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD于F，∠AEC＝45°+90°＝135°．∠AEC＝67.5°；所以，∠AFE＝∠FEC=12②交AB的延长线交于一点F1时，∠BEF＝∠MEC＝67.5°，∴∠AFE＝90°﹣∠BEF＝22.5°，故选：C．5．（2022•嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE 翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（ ）C DA B．52【分析】过点E作EH⊥FG，易得四边形GHED为矩形，则GH＝DE，HE＝GD；由已知可得：GD＝2，AG＝4，利用勾股定理可求FG＝DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝x，在Rt△HEF中，由勾股定理列出方程，解方程可求DE．【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四边形GHED为矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝x，在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴)2+22=x2．解得：x=∴DE故选：C．6．（2022春•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n （m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（ ）A ．m +12nB ．m−n 2C ．m n 2D ．m ﹣n【分析】连接DD ′，证明∠EFD 是直角，然后证明△BEF 和△EFE 全等即可得出结论．【解答】解：如图，连接DD ′，∵D 、F 、D ′三点共线，四边形EFC ′D ′是由四边形EFCD 翻折得到，∴△EFD ≌△EFD ′，∠DEF ＝∠D ′EF ，∴∠EFD ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∵∠AEB ＝∠A ′EB ，∴∠BEF ＝90°，在△BEF 和△DFE 中，∠DEF =∠BFE ，EF =EF ∠BEF =∠EFD，∴△BEF ≌△DFE （ASA ），∴BF ＝ED ，∵AD ＝m ，AE ＝n ，∴BF ＝ED ＝m ﹣n ．故选：D．7．（2022春•普洱期末）有一张长方形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，点E在边BC上，沿AE折叠，点B落在点B'处；第二步：如图②，沿EB'折叠，使点A落在BC延长线上的点A'处，折痕为EF．下列结论中错误的是（ ）A．△AEF是等边三角形B．EF垂直平分AA'C．CA'＝FD D．EA'＝AF【分析】根据翻折性质和矩形性质可得∠BEA＝∠EAF＝∠EFA＝60°，由此判断选项A；根据翻折性质可判断选项D；根据菱形的判定与性质可判断选项B；由于AB、BC的长度不确定，可判断选项C．【解答】解：∵∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF，∠BEA+∠AEF+∠A′EF＝180°，∴∠BEA＝∠AEF＝∠A′EF＝60°，∵BC∥AD，∴∠BEA＝∠EAF＝60°，∴∠BEA＝∠EAF＝∠EFA＝60°，∴△AEF是等边三角形，故A正确，∴△EFA′是等边三角形，∴AE＝EA′＝A′F＝AF，故D正确，∴四边形AEA′F是菱形，∴EF垂直平分AA′，故B正确，由于AB、BC的长度不确定，所以AC不一定等于DF，故C错误．故选：C．8．（2022•槐荫区二模）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）A．5B．7C．8D．6.5【分析】作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH＝AH＝BH＝4，在Rt△CHP中，利用勾股定理计算出CP＝7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ＝CP 即可．【解答】解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH＝AH＝BH＝4，∵PB＝3，∴HP＝1，在Rt△CHP中，CP=7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ＝∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ＝∠CQP，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CQ＝CP＝7．故选：B．9．（2022春•泰兴市月考）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为8，∠B＝120°，则EF的值是（ ）A ．B ．4C ．D ．6【分析】连接AC ，BD ．证明△ABD 是等边三角形，推出BD ＝AB ＝8，再证明EF 是△ABD 的中位线，可得结论．【解答】解：如图所示，连接AC ，BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，AC ⊥BD ，∠ABD ＝∠CBD =12∠ABC ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝8，∵A 沿EF 折叠与O 重合，∴EF ⊥AC ，EF 平分AO ，∵AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，∴E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD =12×8=4，故选：B ．10．（2022•资阳）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB EF ＝2，∠H ＝120°，则DN 的长为（ ）A B C D．【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG=GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：CD GCP为直角三角形，则CP＝DP=12∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2由折叠的性质得：CG＝OG=OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG=根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG∴DN故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022•成华区模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA′，则△CGA'的周长的最小值为 7【分析】如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，此时△CGA′的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．当CA′最小时，△CGA′的周长最小，求出CA′的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，∴AC==10，∴△A′CG的周长的最小值＝10+CA′，当CA′最小时，△CGA′的周长最小，∵AE＝DE＝EA′＝3，∴CE==∵CA′≥EC﹣EA′，∴CA′3，∴CA3，∴△CGA′的周长的最小值为7故答案为：712．（2022•安徽二模）如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE 折叠，使得点D落在AC上，对应点为F．（1）CDEF+1 ；（2）如图（2），点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接FG，EH，则S正方形ABCDS四边形EFGH= ．【分析】（1）由正方形的性质得到∠CDA＝90°，再由翻折的性质得到△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，进而证明△AFE为等腰直角三角形，设AF＝EF＝x+1）x，继而求解；（2）由折叠的性质可得△CDE≌△CFE≌△ABG≌AHG，设AF＝EF＝HG＝HC＝x，由（1）可知，AB＝+1）x，继而证明四边形EFGH是平行四边形，分别解得S正方形ABCD ，S四边形EFGH的值即可解题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠CDA＝90°，∠DAC＝90°，由折叠的性质得：△CDE≌△CFE，∠CFE＝90°，∴△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF，设AF＝EF＝x，则AE=，DE＝EF＝x，∴CD＝AD＝AE+DE+1）x，∴CDEF=+1；+1；（2）由折叠的性质得：△CDE≌△CFE，△ABG≌AHG，∠DCE＝∠ECF，∠GAB＝∠GAC，∵∠DCA＝∠CAB＝45°，∴∠DCE＝∠GAB＝22.5°，∵AB＝CD，∠EDC＝∠GBA＝90°，∴△CDE≌△ABG≌△AHG≌△CFE，∴EF＝HG，∵∠EFA＝∠GHC＝90°，∠EAF＝∠GCH，∴△EAF≌△GCH（AAS），且△EAF和△GCH都为等腰直角三角形，∴EF＝AF＝HC＝HG，设EF＝AF＝HC＝HG＝x，由（1）可知，AB+1）x，∴AC=＝（2+x，∴FH＝AC﹣2AF=，∵△AHG≌△CFE，∴∠EFC＝∠GHA，∴EF∥HG，∵EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴S＝FH•HG2，四边形EFGHS＝[1）x]21）2x2，正方形ABCD==∴S正方形ABCDS四边形EFGH13．（2022•邓州市一模）如图（1）是一张菱形纸片，其中∠A＝135°，AB=1，点E为BC边上一动点．如图（2），将纸片沿AE翻折，点B的对应点为B'；如图（3），将纸片再沿AB'折叠，点E的对应点为E'．当AE'与菱形的边垂直时，BE的长为【分析】分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，设AE′，BC交于点F，②当AE'⊥AB时，过点E作EG ⊥AB于点G，设BG＝x，则EG＝BG＝x，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：∵BC∥AD，∠DAB＝135°，∴∠B＝45°，分两种情况讨论：①当AE′⊥BC时，如图，设AE′，BC交于点F，则∠FAB＝45°，FA＝FB1）1（2∴∠E′AB′＝∠B'AE＝∠BAE＝15°，∴∠FAE＝30°，=∴EF=12（∴BE=12②当AE'⊥AB时，如图，则∠E′AB＝90°，∴∠E'AB'＝∠B′AE＝∠BAE＝30°，过点E作EG⊥AB于点G，设BG＝x，则EG＝BG＝x，∴AG，+x+1，解得x＝1，∴BE=综上可知，BE14．（2022春•成都期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是【分析】如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，由翻折可得△ABG≌△HGB（SAS），再证得△FEK≌△BGC（ASA），即可推出BH+EF ＝AG+MG，利用三角形三边关系可得BH+EF≥AM，由于当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，故BH+EF＝AM的值也最小，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴CD⊥BM，∴CD垂直平分BM，∴MG＝BG，由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，∵BG＝GB，∴△ABG≌△HGB（SAS），∴GA＝BH，由翻折知EF⊥BG，又∵FK⊥BC，∴∠FKE＝∠BCG＝90°，∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，∴∠EFK＝∠GBC，∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，∴四边形ABKF是矩形，∴AB＝FK，∴FK＝BC，∴△FEK≌△BGC（ASA），∴EF＝BG，∴EF＝MG，∴BH+EF＝AG+MG，∵AG+MG≥AM，∴BH+EF≥AM，∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，∴BH+EF＝AM的值也最小，∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，∴AM=∴BH+EF的最小值是故答案为：15．（2022•微山县一模）已知矩形ABCD中，AB＝6．点E为AD上一个动点，连接CE，将△CDE沿CE折叠，点D落在点F处，当点F为线段AB的三等分点时，AE的长【分析】由矩形的性质先求解AF＝4，BF＝2，由折叠的性质及勾股定理可求解AD的长，再利用勾股定理可求解AE的长．【解答】解：矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∵点F为线段AB的三等分点，∴AF＝2或4，当AF＝4时，BF＝2，由折叠可知：CF＝CD＝6，EF＝DE＝AD﹣AE，∴BC===∴AD＝BC=∴EF=AE，∵AE2+AF2＝EF2，∴AE2+42＝（AE）2，解得AE，当AF＝2时，同理得AE=43．或4316．（2022春•蜀山区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，∠DAC＝30°，点M是BC边的中点，点P是对角线AC上一动点（0＜CP＜1.5），将△CPM沿PM折叠，点C落在点C'处，线段MC′交AC于点N，连接AC，当△ANC′是直角三角形时，线段AC′的长度为【分析】分两种情况讨论，①当∠ANC′＝90°时，先求出CN的长，再得出AN的长，最后利用勾股定理得出结果；②当∠AC′N＝90°时，先得出AM的长，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAC＝∠ACB＝30°，∵AB＝2，∴AC ＝2AB ＝4，∴BC ==①如图，当∠ANC ′＝90°时，∵点M 是BC 边的中点，∴CM ＝BM =BC 2∵∠ACB ＝30°，∴MN =CMC ′＝60°，由折叠的性质得：MC =MC′=CMP ＝∠C ′MP ＝30°，∠MCP ＝∠MC ′P ＝30°，∴∠∠MC ′P ＝∠C ′MP ，∴MP ＝C ′P ，∵∠ANC ′＝90°，∴MN =NC′=12MC′=12MC =在Rt △MCN 中，CN ===32，∴AN ＝AC ﹣CN ＝4−32=52，在Rt △ANC ′中，AC '=②如图，当∠AC′N＝90°时，连接AM，在Rt△ABM中，AB＝2，BM=∴AM==由①知，MC＝C′M在Rt△AC′M中，AC′==2，综上所述，线段AC2，2．17．（2022春•江汉区期末）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A与点C重合，点B落在点G处，的值是 折痕交AD于点E，交BC于点F，若△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1，则EFDE【分析】连接AF，由翻折知，△AEF≌△CEF，由面积比得出AE：ED＝4：1，设DE＝x，则AE＝CE＝4x，作EH⊥CF于H，利用勾股定理求出EF即可得出比值．【解答】解：连接AF，由翻折知，△AEF≌△CEF，∴∠AEF＝∠CEF，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∴∠AFE＝∠AEF＝∠CFE＝∠CEF，∴AF＝AE＝CE＝CF，∵△CEF的面积与△CDE的面积比为4：1，∴△AEF的面积与△CDE的面积比为4：1，∴AE：ED＝4：1，设DE＝x，则AE＝CE＝CF＝4x，作EH⊥CF于H，∴FH＝3x，∵EH=，∴EF==，∴EFDE故答案为：18．（2022•庐阳区校级三模）如图1，在五边形纸片ABCDE中，AB＝1，∠A＝120°，将五边形纸片沿BD折叠，点C落在点P处，在AE上取一点Q，将△ABQ和△EDQ分别沿BQ、DQ折叠，点A、E恰好落在点P处．（1）∠C+∠E＝ 240 °；= ．（2）如图2，若四边形BCDP是菱形，且Q、P、C三点共线时，则BQAB【分析】（1）由折叠的性质可得∠A＝∠BPQ＝120°，∠QED＝∠QPD，∠BCD＝∠BPD，由周角的性质可得∠BPD+∠QPD+∠BPQ＝360°，即可求解；（2）由菱形的性质可得BQ＝QD，QH⊥BD，BH＝DH，由“SSS”可证△ABQ≌△EDQ，可得∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD＝45°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵将五边形纸片ABCDE沿BD折叠，∴∠A ＝∠BPQ ＝120°，∠QED ＝∠QPD ，∠BCD ＝∠BPD ，∵∠BPD +∠QPD +∠BPQ ＝360°，∴∠BPD +∠QPD ＝240°，∴∠BCD +∠QED ＝240°，故答案为：240；（2）如图，连接PC ，交BD 于H ，∵四边形BPDC 是菱形，∴PC 是BD 的垂直平分线，BP ＝PD ＝BC ＝CD ，∵Q ，P ，C 三点共线，∴QC 是BD 的垂直平分线，∴BQ ＝QD ，QH ⊥BD ，BH ＝DH ，由折叠可知：∠A ＝∠BPQ ＝120°，AB ＝BP ＝1＝DE ＝DP ，∠AQB ＝∠BQP ，∠EQD ＝∠PQD ，AQ ＝QP ＝QE ，∴∠BPH ＝60°，∴∠PBH ＝30°，∴PH =12BP =12，BH ==在△ABQ 和△EDQ 中，AB =DE QA =QE BQ =QD，∴△ABQ ≌△EDQ （SSS ），∴∠AQB ＝∠EQD ，∴∠AQB ＝∠BQP ＝∠EQD ＝∠PQD ，∵∠AQE ＝180°，∴∠AQB＝∠BQP＝∠EQD＝∠PQD＝45°，∴∠QBH＝∠BQP＝45°，∴BH＝QH=∴BQ=∴BQAB19．（2022•长春模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是 2 ．【分析】如图，连接AE，当A、G、E共线时，AG最小，先求出AE，根据AG′＝AE﹣EG′即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4，∴AE=5．当A、G、E共线时，AG最小，此时AG′＝AE﹣EG′＝5﹣3＝2．故答案为2．20．（2022•沈河区二模）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠A ＝60°，点E 为边AD 上一点，将点C 折叠与点E 重合，折痕与边CD 和BC 分别交于点F 和G ，当DE ＝2时，线段CF 的长是 267 ．【分析】过点F 作FH ⊥AD 于H ，易证∠DFH ＝30°，设CF ＝x ，则DF ＝6﹣x ，DH =12（6﹣x ），HF =6﹣x ），EH ＝DE +DH ＝5−x 2，由折叠的性质得EF ＝CF ＝x ，在Rt △EFH 中，EF 2＝EH 2+HF 2，即可得出答案．【解答】解：过点F 作FH ⊥AD 于H ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴AB ＝CD ＝6，∠EDF ＝120°，∴∠FDH ＝60°，∴∠DFH ＝30°，设CF ＝x ，则DF ＝6﹣x ，DH =12DF =12（6﹣x ），HF =6﹣x ），∴EH ＝DE +DH ＝2+12（6﹣x ）＝5−x 2，由折叠的性质得：EF ＝CF ＝x ，在Rt △EFH 中，EF 2＝EH 2+HF 2，即x 2＝（5−x 2）26﹣x ）]2，解得：x =267，∴CF =267，故答案为：267．三．解答题（共10小题）21．（2022•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM＝CN；的值．（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求MNDN【分析】（1）由折叠的性质可得：∠ANM＝∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM＝∠CMN，则可证得∠CMN＝∠CNM，继而可得CM＝CN；（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC＝3ND＝3HC，然后设DN＝x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，∴∠ANM＝∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN；（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴S△CMNS△CDN =12⋅MC⋅NH12⋅DN⋅NH=MCND=3，∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC，设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC=，∴HN＝，在Rt△MNH中，MN=，∴MNDN22．（2022•张家港市模拟）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A 与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、CE和EF，设EF与AC的交点为O．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=，△ABF的为面积12cm2，求△ABF的周长．【分析】（1）由折叠的性质知：EF⊥AO，然后可通过证△AOE≌△COF来得到AE＝CF，从而根据平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形进而利用AC⊥EF，得出四边形AECF是菱形．（2）由（1）的结论易求得AE＝AF＝，因此只需求得AB+BF即可求得△ABF的周长，可设AB ＝x、BF＝y，在Rt△ABF中，根据勾股定理和△ABF的面积即可求得x+y的值，由此得解．【解答】（1）证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AC，∵AD∥BC，∴∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：四边形AFCE 是菱形，∴AF ＝AE ＝4分）设AB ＝x ，BF ＝y ，∵∠B ＝90°，∴在直角三角形ABF 中，根据勾股定理得：AB 2+BF 2＝AF 2，即x 2+y 2＝52（5分）又∵S △ABF ＝12，∴12xy =12，则xy ＝24；（6分）∴（x +y ）2＝100，∴x +y ＝10或x +y ＝﹣10（不合题意，舍去）；（7分）∴△ABF 的周长为8分）23．（2022•淮安）已知：平行四边形ABCD 的对角线交点为O ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD ，A 、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）在四边形ABCD 中，求AB BC 的值．【分析】（1）根据矩形的判定定理，先证DE ＝BE ，再证∠DOE ＝90°，则可证．（2）根据已知条件和（1）的结论，先求得AD ：AB ，易求解AB BC 的值．【解答】（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝OB，∵四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，∴EO⊥BD，∴∠DOE＝90°，即∠DAE＝90°，又四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：∵四边形DEBF是菱形，∴∠FDB＝∠EDB，又由题意知∠EDB＝∠EDA，由（1）知四边形ABCD是矩形，∴∠ADF＝90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE＝90°，则∠ADB＝60°，∴在Rt△ADB中，有AD：AB＝1又BC＝AD，=则ABBC说明：其他解法酌情给分24．（2022•南岗区模拟）已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF．（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；（2）如图2，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．【分析】（1）由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，由矩形性质得出∠ADC＝∠BAD＝90°，AE∥CF，证出AE＝CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；AC＝（2）先证出∠DAF＝30°，得出∠EAF＝60°，证出△AEF和△CEF是等边三角形；再证出OD=12 OA，∠OAD＝60°，得出△AOD是等边三角形；证出CG＝OC＝OG，得出△COG是等边三角形．【解答】解：（1）证明：由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵AE＝CE，∴AE＝CF，∵AF＝FC，∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形．（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下：∵∠CFG＝60°，∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°，∵四边形AECF是菱形，∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，∴△AEF和△CEF是等边三角形，∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAE＝30°，∠FAO＝30°，∴∠DAO＝60°，∵∠ADC＝90°，AC＝OA，∴OD=12∴△AOD是等边三角形，AC，∵CG＝AD＝OC，OG=12∴CG＝OC＝OG，∴△COG是等边三角形．25．（2022春•浦东新区期末）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由折叠的性质得：BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ，求出OE ＝BO ﹣BE ＝4，∠OED ＝90°，设D （0，a ），则OD ＝a ，DE ＝AD ＝OA ﹣OD ＝8﹣a ，在Rt △EOD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）①当OM 、OE 都为菱形的边时，OM ＝OE ＝4，得出M 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；②当OM 为菱形的边，OE 为对角线时，MN 垂直平分OE ，垂足为G ，则OG =12OE ＝2，根据勾股定理求出OM 即可；③当OM 为菱形的对角线，OE 为边时，同②得：M （−245，0）；即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标是（﹣6，8）．∴∠BAD ＝∠OCB ＝90°，AB ＝OC ＝6，OA ＝BC ＝8，∴BO 10；由折叠的性质得：BE ＝AB ＝6，∠BED ＝∠BAD ＝90°，DE ＝AD ，∴OE ＝BO ﹣BE ＝10﹣6＝4，∠OED ＝90°，设D （0，a ），则OD ＝a ，DE ＝AD ＝OA ﹣OD ＝8﹣a ，在Rt △EOD 中，由勾股定理得：DE 2+OE 2＝OD 2，即（8﹣a ）2+42＝a 2，解得：a ＝5，∴D （0，5）；（2）存在，点M 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（−103，0）或（−245，0）；理由如下：①当OM 、OE 都为菱形的边时，OM ＝OE ＝4，∴M 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；②当OM 为菱形的边，OE 为对角线时，MN 垂直平分OE ，垂足为G ，如图1所示：则OG =12OE ＝2，∵OA ＝8，OD ＝5，∴AD ＝DE ＝3，∴E 到y 轴的距离=DE⋅OE OD =3×45=125，∴OH =125，∵EM 2﹣MH 2＝42﹣（125）2，∴OM 2﹣（OM −125）2＝42﹣（125）2，解得：OM =103，∴M （−103，0）；③当OM 为菱形的对角线，OE 为边时，如图2所示：同②得：M （−245，0）；综上所述，在x 轴上存在点M ，使以M 、N 、E 、O 为顶点的四边形是菱形，点M 的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（−103，0）或（−245，0）．26．（2022春•江岸区期中）如图，将矩形ABCD 纸片对折，设折痕为MN ，再通过折叠使B 点落在折痕MN 上的B '，设两条折痕的交点为F ，连接BF 、EB '、BB '、AB '．（1）求∠ABB '的度数；（2）请判断四边形BFB'E的形状，并说明理由．【分析】（1）由折叠的性质可证得△ABB′为等边三角形，则可求得∠ABB′的度数；（2）由折叠的性质及直角三角形的性质可求得BF＝B′F＝BE＝B′E，可求得四边形BFB′E为菱形．【解答】解：（1）∵将矩形ABCD纸片沿MN对折，∴MN垂直平分AB，∴AB′＝BB′，∵△ABE、△AB′E关于AE对称，∴AB＝AB′，∴AB＝AB′＝BB′，∴△ABB′是等边三角形，∴∠ABB′＝60°；（2）四边形BFB’E是菱形，理由如下：∵△ABE、△AB′E关于AE对称，∴AE垂直平分BB′，∴BE＝B′E，BF＝B′F，∵△ABB′是等边三角形，∴∠AB′B＝60°，又∵B′M⊥AB，∴∠BB′M＝∠AB′M＝30°，又∵∠ABE＝∠AB′E＝90°，∴∠BB′E＝∠AB′E﹣∠AB′B＝30°，∴∠BB′F＝∠BB′E，又∵AE⊥BB′，∴∠EFB′＝∠FEB′＝60°，∴FB′＝EB′，又∵BE＝B′E，BF＝B′F，∴BF＝FB′＝B′E＝BE，∴四边形BFB′E是菱形．27．（2022•西固区校级模拟）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．（1）如图1，求证：AE⊥BF；（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可证明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90，在利用角的关系求出QF＝QB，设QF＝x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，∴QB＝x，PQ＝x﹣2，在Rt△BPQ中，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即QF＝5．28．（2022秋•梅列区校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，由折叠的性质得出∠DFE ＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，再求出∠DFG＝∠A，DA＝DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3＝∠4，得出∠2+∠3＝45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5＝∠DEC ，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG ＝x ，表示出GF 、BG ，根据点E 是BC 的中点求出BE 、EF ，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ．∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，∵△DEC 沿DE 折叠得到△DEF ，∴∠DFE ＝∠C ，DC ＝DF ，∠1＝∠2，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，DA ＝DF ，在Rt △DGA 和Rt △DGF 中，DG =DG DA =DF ，∴Rt △DGA ≌Rt △DGF （HL ），∴∠3＝∠4，∴∠EDG ＝∠3+∠2=12∠ADF +12∠FDC ，=12（∠ADF +∠FDC ），=12×90°，＝45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC 沿DE 折叠得到△DEF ，E 为BC 的中点，∴CE ＝EF ＝BE ，∠DEF ＝∠DEC ，∴∠5＝∠6，∵∠FEC ＝∠5+∠6，∴∠DEF +∠DEC ＝∠5+∠6，∴2∠5＝2∠DEC ，即∠5＝∠DEC ，∴BF ∥DE ；②解：设AG ＝x ，则GF ＝x ，BG ＝6﹣x ，∵正方形边长为6，E 为BC 的中点，×6＝3，∴CE＝EF＝BE=12∴GE＝EF+GF＝3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得：x＝2，即线段AG的长为2．29．（2022•道外区三模）将等腰三角形ABC折叠，使顶点B与底边AC的中点D重合，折线分别交AB，BC于点F，E，连接DF，DE．（1）如图1，求证：四边形DFBE是菱形；（2）如图2，延长FD至点G，使FD＝DG，连接GC，并延长GC交FE的延长线于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形（不包括以BF为一边的平行四边形）．【分析】（1）连接BD，交EF于点O，利用已知条件和折叠的性质证明BE＝BF和EF与BD垂直平分，即可证明四边形DFBE是菱形；（2）根据平行四边形的各种判定方法即可直接写出图2中的所有平行四边形．【解答】证明：（1）连接BD，交EF于点O，∵AB＝BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠DBC，由折叠可知EF⊥BD，OB＝OD，∴BE＝BF，∴OE＝OF，∴EF与BD垂直平分，∴四边形DFBE是菱形；（2）如图2中共有五个平行四边形（不包括以BF为一边的平行四边形）．分别是▱ADEF；▱ACHF；▱DCHE；▱DGCE；▱DCEF．30．（2022秋•宜宾期末）如图矩形纸片ABCD的边长AB＝a，BC＝b（a＜b），点M、N分别为边AD、BC上两点（点A、C除外），连接MN．若对角线BD与MN交于点O，分别沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，并且得到的四边形是菱形BNDM．请你探索a、b之间的数量关系，并求出当a=BNDM的面积．【分析】根据翻折的性质可得OB＝AB，OD＝CD，然后求出BD＝2a，再根据勾股定理列式整理即可得到a、b的关系式；先判断出∠ADB＝30°，然后解直角三角形求出OM，再根据菱形的对角线互相平分求出MN的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：∵沿BM、DN折叠，折叠后点A、C恰好都落在点O处，∴OB＝AB，OD＝CD，∵矩形纸片的边长AB＝a，∴BD＝OB+OD＝2AB＝2a，在Rt △ABD 中，根据勾股定理，AD 2+AB 2＝BD 2，即b 2+a 2＝（2a ）2，整理得，b =；∵BD ＝2a ，AB ＝a ，∴∠ADB ＝30°，∴OM ==，在菱形BNDM 中，MN ＝2OM ，∴菱形BNDM 的面积=12BD •MN =12×2a 2，∵a∴菱形BNDM 的面积＝。
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中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题
（含答案）
中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题（含答案）
中考数学复习基础测试卷专练：特殊四边形的折叠问题（含答案）
一、选择题
1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）
A．66° B．104° C．114° D．124°
!--[if !supportLists]-- 2．!--[endif]-- 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）
!--[if !supportLists]-- A. !--[endif]-- B. C. D.
方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）
A.3
B. 4
C. 5
D.6
二、填空题
4．如图，折叠矩形纸片ABCD，得折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DF．若AB=4，BC=2，则AF= _________．
5. 如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________ cm2．
6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______.
三、解答题
7．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O.
求证：OA=OE
CD边于点E，连接BE
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若BE平分∠ABC，求证：
9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC 上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。
10．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．
参考答案
1. C．[解析]∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
2．B [解析]设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
解得x=．
3．B[解析]由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9-x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9-x）2=32+x2，
解得x=4，即CH=4cm．
5. 6[解析]∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9-AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=（9-AE）2．
解得AE=4cm．∴△ABE的面积为×3×4=6（cm2）．
6.[解析]作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，
在Rt△E′FG中，GE′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
7．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠可知∠EBD=∠CBD，BE=BC，∴∠EBD=∠ADB，∴BO=DO，∵AD= BE，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.
8.证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形BCED′是平行四边形；（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
9．解：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，那么AD∥BC，AB∥CD，所以∠FAC=∠ACE，∠BAC=∠DCA。
由折叠可得∠BAE=∠EAC=∠BAC，∠DCF=∠NCF=∠DCA，所以∠EAC=∠FCA。
又因为AC=CA，所以△CAE△ACF，所以CE=AF。
即四边形AECF是平行四边形。
（2）因为AB=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.设EM=x，那么BE=EM=x，所以CE=BC-BE=8-x，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。
所以四边形AECF的面积=2△ACE的面积=2×AC×EM=30.
10．证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，
∴（8-x）2+42=x2，解得x=5，即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，
∴OA=AC=2，
在Rt△AOE中，AE=5，
∴EF=2OE=2．。