高中数学随机事件的概率考点及例题讲解

随机事件的概率

考纲解读 1.求随机事件发生的概率与频率；2.用互斥事件和对立事件求复杂事件的概率．

[基础梳理]

1．事件的相关概念

(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件； (2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件； (3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．频率和概率

(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n 为事件A

出现的频率．

(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．

3．事件的关系与运算

4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．

(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )

＝1，P (A )＝1－P (B )．

[三基自测]

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶

答案：D

2．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．

答案：②

3．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未打靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．

答案：0.9 0.2

4．(必修3·3.1练习改编)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．

答案：1

5．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张，恰是1或2的概率为________．

答案：2

5

考点一 随机事件的关系|易错突破

[例1] (1)(2018·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )

A ．A 与

B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件

C ．B 与C 是互斥而非对立事件

D ．B 与C 是对立事件

(2)装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )

“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

[解析](1)根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．

(2)从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．

[答案](1)D(2)A

[易错提醒]

[纠错训练]

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．

(1)恰有1名男生和恰有两名男生；

(2)至少有1名男生和至少有1名女生；

(3)至少有1名男生和全是男生；

(4)至少有1名男生和全是女生．

解析：(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．

(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，当事件“有1名男生和1名女生”发生时两个事件都发生了．

(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．

(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．

考点二随机事件的频率与概率|思维突破

[例2] (1)从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：

A ．0.53

B ．0.5

C ．0.47

D ．0.37

(2)某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

[解析] (1)取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53

100

＝0.53.故选A. (2)由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14

32

＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.

[答案] (1)A (2)32 0.437 5 [思维升华]

[跟踪训练]