运动学3

ve1 OM 1
ve 2 OM 2
加速度有相对加速度和哥氏加速度 绝对加速度
动点与牵连点
动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，
它们是重合在一起的。
动点是与动系有相对运动的点 。
牵连点是动系上的几何点 。 在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重
合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。
O
θ
A C
B
D
解：
1. 选择动点与动系。 动点－曲柄上的A点；
B
O
θ
动系－固连于杆BC上。
A
C
定系－固连于机座。 2. 运动分析。
绝对运动－以O为圆心 、l为半径的等速圆 周运动。
D
相对运动－沿BC方向的直线运动。
牵连运动－铅垂方向的平移。
3. 速度分析。 绝对速度 va ： va＝ ω l，方向垂直于OC。
解： 1. 选择动点与动系。 动点－ 点M 。 动系－Ax´y´z´ ，固定框架上。
z´
2. 运动分析。
绝对运动－空间曲线运动 。
x´ y´
相对运动－以O为圆心的圆 周运动 。 牵连运动－绕z轴的定轴转动。
3. 速度分析。 牵连速度ve： ve＝ ω2R，在水平面 内，方向垂直于OM 。
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ve
vr
选A为动点， 动坐标系Oxy固结在凸轮上 绝对运动：直线运动 相对运动：以C为圆心的圆周运动 牵连运动：动坐标系绕O轴的定轴转动
va

vr
ve
ve OA ωO 2eωO
OC va tan AC ve
OC e ， AC r 3e
1 3 e O
va
方向如图
关于动点动系选择的讨论
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐 标系作平移外，动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任 意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。为此， 定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对 于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 。
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M以速度u在 直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固结 在OB管上，以小球M为动点。随着动点M的运动，牵连点在 动坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达 M1、M2位置，则动点的牵连速度分别为
sin OO1 OA r l , cos , v a r O1 A O1 A l2 r2 l2 r2
ve
又因为
r 2 l2 r2
, vr
rl l2 r2
v e O1 A 1 l 2 r 2 1
摇杆此瞬时 的角速度为
1
解：该机构在运动过程中，滑块A相对于摇杆O1B的相对运动轨迹为已知。
动点：滑块 A
动系：与摇杆O1B固连
绝对运动：圆周运动 相对运动：滑块沿滑槽的直线运动 牵连运动：摇杆绕O1轴的转动 将速度合成定理的矢量方程分别向 x, y 轴上投影，
va
ve

vr
A
va sin ve 0, va cos 0 vr
方向可用 vr 与水平线夹角表示为
tan va 18 0.486, 25.92 ve 37.04
例7-6 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶。雨滴M铅垂落下， 其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。
ve

v1
vr
va
解：动点:雨滴M，动系：Oxy与车厢固结，静系：Oxy 绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下 相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动 牵连运动：车厢的运动（平动）
三种运动 动点对于定参考系的运动，称为绝对运动。 动点对于动参考系的运动，称为相对运动。
动参考系对于定参考系的运动，称为牵连运动。
实例分析1
大梁不动时
动点 P
静坐标系？xoy 固定在地面上
y‘ O‘ x‘
动坐标系？ x’O’y’ 固定在吊车上 随吊车运动 绝对运动？在地面上观察，动 点的轨迹是AB之间 的曲线 相对运动？ 在吊车上观察动点 竖直向上 牵连运动？在地面观察吊车（动系） 水平运动
例7－3 矿砂从传送带A落到另一传送带B上，如图7-9（a）所示。站在地面 上观察矿砂下落的速度为u1=4m/s，方向与铅直线成30°角。已知传送带B 水平传动速度u2=4m/s。求矿砂相对于传送带B的速度。 解：以矿砂M为动点，动参 考系固定在传送带B上。矿 砂相对地面的速度u1为绝对 速度；牵连速度应为动参考 系上与动点相重合的那一点 与 的速度。因为动参考系为无 限大，由于它作平移，各点 速度都等于 u2。于是等于动 点M的牵连速度。 由速度合成定理知，三种速度形成平行四边形，绝对速度必须是对角线，因 此作出的速度平行四边形如图（b）所示。根据几何关系求得
ve

v1
vr 绝对速度为va= v2
va
车厢作移动，雨滴M的牵连点的速度为v1，
ve = v1
v1 tan v2
vr
2 ve

2 va

2 v1

2 v2
vr的方向可由vr与铅垂线的夹角决定 雨滴在车厢壁板擦过的痕迹与铅垂线的夹角为，车厢的速度 愈大，角愈大。
例7-7 已知正弦机构中，曲柄OA＝l，加速度ω ， θ ＝30o 。 求T型杆BCD的速度。
动系－固连于纸板ABCD上。 定系－固连于机座。
v1
D
v2
K
2. 运动分析。
θ C E
绝对运动－ 沿导杆的直线运动。 相对运动－垂直于纸板的运动方向
的直线运动。
牵连运动－ 随纸板一起作水平向 左的平动。
F A va=v2 B θ vr K
3. 速度分析。
绝对速度va： va=v2， 方向沿杆EF向
本题中，选择AB杆的A点为动点，动坐标系与凸轮固 结。因此，三种运动、特别是相对运动轨迹十分明显、 简单且为已知的圆，使问题得以顺利解决。 若选凸轮上的点（例如与A重合之点）为动点，而动 坐标系与AB杆固结，这样，相对运动轨迹不仅难以确 定，而且其曲率半径未知。因而相对运动轨迹变得十 分复杂，这将导致求解（特别是求加速度）的复杂性。
B
O ve va
θ
相对速度vr： vr＝？，方向沿BC。 牵连速度ve： ve＝？, 方向沿铅垂方向向上。 应用速度合成定理 可得T型杆BCD的速度
A
vr C
va vr ve
D
v BC
ωl sin30 ve v a sin
1 ωl 2
方向铅垂向上。
例7-8 如图所示为裁纸板的简图。纸板ABCD放在传送带上，并以匀
例7-5 军舰以20节（knot，1knot=1.852 km/h）的速度前进，直升飞机一
每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。
解： y´
M
1、选择动点与动系
动点－直升飞机。 动系－固连于军舰。 定系－固连于海岸。
x´ O1
2、运动分析
绝对运动－垂直向下直线运动。 相对运动－直线运动。 牵连运动－水平方向平动。
动点 P（车刀刀尖） 静坐标系？xoy 固定在地面上 （图中没有画） 动坐标系？ x’O’y’ 固定在卡盘上 随卡盘转动 绝对运动？在地面上观察，动点的 轨迹是水平直线
相对运动？ 在卡盘上观察动点 螺旋线（动画中） 牵连运动？在地面观察卡盘（动系） 定轴转动
绝对速度va绝对加速度aa：动点相对于静坐标系运动的速度 加速度 相对速度vr绝对加速度ar ：动点相对于动坐标系运动的速度 加速度 牵连速度ve绝对加速度ae ：某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的 点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度 加速度 牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点。
速度v1=0.05 m·-1与传送带一起运动。裁纸刀固定在刀架K上，刀架K以匀 s 速度v2=0.13 m·-1沿固定导杆EF运动。试问导杆EF的安装角θ应取何值才能 s
使切割下的纸板成矩形。
F A B
v1
D
v2
K θ C E
运 动 演 示
解：
1. 选择动点，动系与定系。
F
A B
动点－取刀架K为动点。
r 2 l2 r2
其转向为逆时针
例7-2 偏心圆凸轮的偏心距 OC e ，半径 r 3e ，设凸轮以匀角速度O绕轴O转 动，试求OC与CA垂直的瞬时，杆AB的速度。
简化图
偏心凸轮
解：凸轮为定轴转动，AB杆为直线平移，只要求出A点的速度就可以知道 AB杆各点的速度。由于A点始终与凸轮接触，因此，它相对于凸轮的相对 运动轨迹为已知的圆。
va ve vr
动点的绝对速度等 于它的牵连速度与 相对速度的矢量和
矢量方程中包含绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、 方向六个量，已知其中四个量可求出其余两个量。
例6-1 急回机构中，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动 摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离 OO1 l 求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相 对摇杆O1B的相对速度。
va
相对速度vr： vr＝ ω 1R ，垂直于M， 方向向下 。 绝对速度va：va为所要求的未知量， 方向未知。 应用速度合成定理
va ve v r
va ve v r
得
β
ve
vr
va
va v v R
2 e 2 r 2 2
2 1
ve 2 tan vr 1
§7-2 点的速度合成定理
动点在一个任意运动的刚体 K上沿弧AB相对于刚体K运动 动坐标系固结在刚体K上， 静坐标系固结在地面上
瞬时t，动点位于M处 t后，动点运动到 M 1处
MM 1 MM 1 M 1 M 1
MM 1 MM 1 M 1M 1 lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t t
2 2 υ r υ e υ a 2 υ e υ a cos60 4 m/s
ur与ua间的夹角为
υ β arc sin e sin 60 60 υ r
例7-4 圆盘半径为R，以角速度ω1 绕水平轴CD转动，支承 CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂 直于CD、圆心在CD与AB的交点O处。求当连线OM在水平位置 时，圆盘边缘的点M的绝对速度。
1，求相对运动 2，求合成运动 运动的相对性 沿直线轨道滚动的圆轮， 轮缘上A点的运动，对于 地面上的观察者，是旋 轮线轨迹，对站在轮心 上的观察者是圆。 A点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。
一个动点： 不考虑质量而运动的几何点。
两套参考坐标系： 动坐标系（moving reference system）：固定在相对于地球运动的参考体上的 坐标系；以Oxy表示。 静坐标系（fixed reference system） ：固结在地球上的坐标系，以Oxy表示。
本章重点、难点
⒈重点
点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。
⒉难点
牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念， 以及动点、动坐标系的选择。
§7-1 相对运动•牵连运动•绝对运动 问题的提出：
研究方法的不同
合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体 的几个运动组合而成的运动。
y´
vr
3、分析三种速度，画出速度矢量图
M α
ve
绝对速度va：va大小已知，方向铅 垂向下。 牵连速度ve：ve大小即为舰艇的前进 速度，方向水平向右。
va
O1
x´
相对速度vr：大小方向均未知，为所 要求的量。 应用速度合成定理
可得飞机的相对速度大小
2
va vr ve
vr ve va2 (37.04) 2 182 1372 324 41.18 km h
左上。 牵连速度ve： ve=v1 ，方向水平向左。 相对速度vr： 大小未知，方向垂直于
v1
ve=v1 D
θ C
E
纸板的运动方向。
应用速度合成定理
sin
va ve v r
v e v1 0.385 va v2
由几何关系可得
速 度 合 成 定 理
MM 1 va lim t 0 t
MM 1 MM 1 M M lim lim 1 1 t 0 t 0 t t 0 t t lim
MM 1 ve lim t 0 t
M 1M 1 vr lim t 0 t