傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶基本公式及证明
傅里叶基本公式及证明三角函数形式的傅里叶级数f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(n\omegat)+b_n\sin(n\omega t)]\\a_0=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\mathrm{d}t\\a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\omegat)\mathrm{d}t,\,\,b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t )\sin(n\omega t)\mathrm{d}tf(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_n\cos(n\omega t+\phi_n)\\ a_n=c_n\cos\phi_n,\,\,b_n=-c_n\sin\phi_n\\ \tan\phi_n=-\frac{b_n}{a_n}指数形式的傅里叶级数由复变函数知识，即有以下变换： \cos(n\omegat)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omegat }}{2},\,\,\sin(n\omega t)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}代入三角形式傅里叶级数，整理后即可得：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jn\omega t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jn\omega t})\\令 F(n\omega)=\frac{1}{2}(a_n-jb_n) ，则有：f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[F(n\omega)e^{jn\omegat}+F(-n\omega)e^{-jn\omega t}]\\不妨令 F(0)=a_0 ， f(t) 即可简化为 f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t}同时可以得到F(n\omega)=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omega t}\mathrm{d}t ，证明如下：\begin{aligned} F(n\omega)=&\frac{a_n-jb_n}{2}\\=&\frac{1}{2}[\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\cos(n\ omega t)\mathrm{d}t-j\times\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(cos(n\omega t)-j\sin(n\omega t))\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}[\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)(\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t }}{2}-j\times\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}\mathrm{d}t]\\=&\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)e^{-jn\omegat}\mathrm{d}t \end{aligned}同时由 F(n\omega)=\frac{a_n-jb_n}{2} 可推知|F_n|=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} ，利用此式可推帕塞瓦尔定理，即周期信号 f(t) 的平均功率 P 与傅里叶系数存在如下关系：P=\bar{f^2(t)}=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f^2(t)\mat hrm{d}t\\=a_0^2+\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)=\sum_{-\infty}^{\infty}|F_n|^2利用三角函数的正交性质即可消去交叉项，从而得到倒数第二个等号的关系，再利用上述 |F_n| 与 a_n,b_n 的关系即可得到最后一个等号关系特殊周期信号的傅里叶级数•为偶函数，则仅含有余弦分量•为奇函数，则仅包含正弦分量•为奇谐函数，只含有奇次谐波分量•为偶谐函数，只含有偶次谐波分量非周期信号的傅里叶变换F(j\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(t)e^{-j\omegat}\mathrm{d}t, f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega)e^{j\omegat}\mathrm{d}\omega\\F(j\omega)=|F(j\omega)|e^{j\phi(\omega)}=R(\omega)+jX( \omega)傅里叶变换存在的充要条件:无限区间上的绝对可积性。
第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
三角函数形式的傅里叶级数
三角函数形式的傅里叶级数傅里叶级数是数学中一个重要的分析工具，通过将任意周期函数展开成一个无穷级数，可以分析函数的性质和特点。
在实际应用中，傅里叶级数有两种表示方式：指数形式和三角函数形式。
本文将主要介绍三角函数形式的傅里叶级数。
f(x) = a0/2 + ∑(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))其中，an和bn是函数f(x)的傅里叶系数，它们决定了三角函数的振幅。
ω = 2π/T表示角频率，n为正整数，代表了三角函数的谐波。
要求得函数f(x)的傅里叶系数，可以使用以下公式：an = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * cos(nωt)) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] (f(x) * sin(nωt)) dt这里的积分表示对周期为T的函数f(x)在一个周期内的积分。
通过计算傅里叶系数，我们可以将函数f(x)展开成一个无穷级数，其中每一项都是一个三角函数的线性组合。
这样的展开形式非常有用，可以用于分析周期函数的性质、特点和变化规律。
三角函数形式的傅里叶级数具有一些重要的性质。
首先，它是周期为T的函数的完备基函数。
也就是说，任意周期为T的函数都可以用三角函数的无穷级数表示，而且级数收敛于原函数。
这个性质使得傅里叶级数成为研究周期函数性质的有力工具。
另外，如果函数f(x)是偶函数或者奇函数，那么其对应的傅里叶级数也具有相应的对称性。
对于偶函数，只有余弦项an存在，而正弦项bn全部为零。
对于奇函数，只有正弦项bn存在，而余弦项an全部为零。
这些对称性使得计算傅里叶系数的过程变得更加简洁。
三角函数形式的傅里叶级数广泛应用于信号处理、图像处理、电路分析等领域。
通过对信号或图像的傅里叶级数展开，可以了解其频谱特征、频率成分以及频率叠加效应。
这样可以方便地对信号进行滤波、频谱分析以及降噪等操作，对于研究信号的性质和提取信号信息非常有帮助。
总结起来，三角函数形式的傅里叶级数是将周期函数展开为三角函数的无穷级数。
傅里叶级数分析
c2
c2 1
2 0.25 π
20
1
O
1
2 1
1
O
2 1
0.15π
X
化为指数形式
1 j 1t f (t ) 1 e e j 1t 2j
π π 2 j t 2 j n t 1 1 2 j 1t 1 j 1 t 4 4 e e e e 2 整理 2 π j 1 j 1t 1 j 1t 1 jπ 1 4 j 2 1 t 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2
1．复指数正交函数集 e j n 1 t 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性
f (t )
n
n 0 , 1, 2
j n 1 t F ( n ) e 1
4
F ( n )
1
T1
0 T1 0
f ( t ) e j n 1 t d t e j n 1 t e j n 1 t d t
1 T1 f (t )e j n1t d t T1 0
5
16
说明
f (t )
n
F ( n
1
)e
j n 1 t
4
5
1
1 T1 F n1 f (t ) e j n1t d t T1 0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号e jn t
• 指数信号与正弦信号具有相同的特性
• 由系统的组成来说：当输入为指数信号时， 系统的输出一定也是一个指数信号，只不 过指数信号幅值发生变化。
信号与系统§4.2 傅里叶级数
m≠n
■ 第 2页
2．级数形式
设周期信号f(t)，其周期为 ，角频率Ω π ， 设周期信号 ，其周期为T，角频率Ω=2π/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 条件时 狄里赫利 条件 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 称为 的
∞ a0 ∞ f (t) = + ∑an cos(nΩt) + ∑bn sin( nΩt) 2 n=1 n=1
▲ ■ 第 9页
▲ ■ 第 6页
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确， 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 指数形式的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ，
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 • A0/2为直流分量 为 • A1cos(Ωt+ϕ1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周 称为基波或一次谐波 Ω 称为基波或一次谐波， 期信号相同 • A2cos(2Ωt+ϕ2)称为二次谐波，其频率是基波的 倍 称为二次谐波 Ω ϕ 称为二次谐波，其频率是基波的2倍 Ω 称为n次谐波。 一般而言，Ancos(nΩt+ϕn)称为 次谐与谐波特性
T 2 2 2 an = ∫ f (t) cos(nΩt) dt bn = ∫ T f (t) sin( nΩt) d t T T −2
T 2 T − 2
1 .f(t)为偶函数 为偶函数——对称纵坐标 为偶函数 对称纵坐标
f (t) = f (−t)
bn =0，展开为余弦级数。 =0，展开为余弦级数 余弦级数。
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析以正弦函数或复指数函数作为基本信号系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间,每隔一定时间 T ,按相同规律重复变化的信号,如图所示 .它可表示为f <t >=f < t +m T >其中 m 为正整数, T 称为信号的周期,周期的倒数称为频率. 周期信号的特点：（1） 它是一个无穷无尽变化的信号,从理论上也是无始无终的,时间范围为（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成,则周期信号可以写成〔3〕周期信号在任意一个周期内的积分保持不变,即有 1. 三角形式的傅立叶级数周期信号 ,周期为1T ,角频率11122T f ππω==(,)-∞∞(,)-∞∞()f t f t ()该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数.式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示. 傅立叶系数公式如下式中积分可以取任意一个周期,一般情况下,取) ,0(T 或)2 ,2(TT-三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式∑∞=++=110)cos()(nn n t n c c t f ϕω或两种形式之间系数有如下关系: 2．指数函数形式的傅里叶级数令：()n n b a n F j 21)(1-=ω 由欧拉公式⎰-=Ttn tt f Tj d e )(11ω令：0)0(a F =前面的级数可展成指数形式系数 e )()(1j 1tn n n F t f ωω∑∞-∞==nnn n n n a b arctgb ac -=+=ϕ;:在傅立叶三角表示式中22()nnn c n F F ϕω±=相角辐角等于三角表示的初;2的模可知系数1)(一地表示了他唯,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中,无论三角函数表示还是指数函数表示,都是通过三个量完整地表示一个函数：。
――傅里叶变换
第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。
）可由三角函数的线性组合来表示，若f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T1 1为f (t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t)n=1各谐波成分的幅度值按下式计算a = —f t o+T1 f (t)dto T t o a =」t o+T1 f (t)cos (n3 t)dt n T t1ob = — j t o+ T1 f (t)sin(n3 t)dt n T t1o其中n = 1,2, •••狄利赫里条件:（1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个;（2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。
t o（二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即f (t)= £F (n3)ej n31 n1n二一8其中F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。
3.1m号的傅里叶级!瞬析(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系(1)偶函数由于f。
)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则1b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t11 0所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数由于f (t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则1a =— J t0+T f (tb t = 00 T t10a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t11t0所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项(3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ])I 27半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
傅里叶级数
傅里叶级数一：指数形式给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数：f(t)=∑k=-∞+∞ak*e ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1）ak=(1/∏)∫02∏f(t)*e-ik(2∏/T)t dt二：正弦形式1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成f(t)=A0+∑n=1+∞A n sin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞a n cos(nωt)+b n sin(nωt)（根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)其中A n sin(nωt+Φ)=a n cos(nωt)+b n sin(nωt) 是n阶谐波,我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数2：三角函数正交性设c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三角函数是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有利用积化和差的三角公式容易证明还有我们考察三角函数系其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。
我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。
三：傅里叶级数设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞a k cos(kx)+b k sin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,a k,b k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。
将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到即：同样可得：因此得到欧拉-傅里叶公式：自然，这些系数也可以沿别的长度为的区间来积分。
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的三角形式和傅里叶级数的指数形式一、傅里叶级数的三角形式f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦函数的系数，ω=2π/T 是角频率，n为正整数。
在傅里叶级数的三角形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的正弦或余弦波。
系数an和bn决定了每个振荡波的振幅。
因为正弦和余弦函数具有良好的振荡性质，傅里叶级数的三角形式特别适用于描述周期性信号。
f(t) = Σ(cne^(inωt))其中cn是复指数函数的系数，ω=2π/T是角频率，n为整数。
在傅里叶级数的指数形式中，每一项可以看作是一个振荡频率为nω的复指数波。
系数cn决定了每个振荡波的振幅和相位。
因为复指数函数具有完备性，可以表示任意信号，傅里叶级数的指数形式特别适用于描述非周期性信号。
三、三角形式和指数形式的比较三角形式和指数形式是等价的，可以通过欧拉公式相互转化。
但它们在使用形式和理解方式上有所差异。
1.表达形式：三角形式使用正弦和余弦函数来表示信号，而指数形式使用复指数函数来表示。
复指数函数具有更为简洁的形式，可以统一表示正弦和余弦函数。
2.计算方便性：三角形式在进行级数展开和计算各项系数时更加直观和容易理解，可以通过积分和傅里叶级数的性质来计算系数。
而指数形式在进行级数展开时具有更好的数学性质，方便进行求和和求导运算。
3. 物理意义：三角形式的系数an和bn可以直接反映信号的振幅和相位，有较强的物理意义。
指数形式的系数cn由振幅和相位共同决定，更侧重于信号的频域特性。
4.应用领域：三角形式更适用于周期性信号的分析和处理，如音频信号和电力系统中的周期性波形。
指数形式更适用于非周期性信号的频谱分析和信号处理，如通信系统中的调制信号和任意信号的变换分析。
综上所述，傅里叶级数的三角形式和指数形式在表达形式、计算方便性、物理意义和应用领域等方面存在差异。
根据不同的信号特性和分析要求，可以选择适合的形式进行信号的分解和处理。
傅里叶级数
第
幅频特性和相频特性
幅频特性
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
7 页
相频特性 arctan bn n a n 幅频相频特性的奇偶性
an bn F ( n 1 ) 关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
c1
离散谱，谱线
c3
O 1
3 1
相位频谱n源自 n ~ 曲线O1
3 1
指数函数形式的傅里叶级数
级数形式 f ( t ) 系数
F ( n 1 ) e j n1t
4
n
1 F n 1 T
T1
0
f ( t ) e j n1t d t
5
也可写为 Fn
三角级数形式的傅里叶级数
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t T t0 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
n 1
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F (n1 ) T
1 T
0
T
0
f (t )e j n1t d t 利用欧拉公式
T
1 f ( t ) cosn 1t d t j T
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
§4.3 周期信号的傅里叶级数
例4-3-1：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。
f (t )
1
T
T 2
0
1
T 2
T
3T 2
t
T 0 2 T 2 2 an 2T f (t ) cos(nt )dt T (1) cos(nt )dt 2 1 cos(nt )dt T 2 T 2 T 0 0 T 2 1 2 1 [ sin(nt )] T [sin(nt )] 2 T n T n 0 2
1 1 1 j n Fn An e ( An cos n jAn sin n ) (a n jbn ) 2 2 2
1 T
T 2 T 2
1 f (t ) cos( nt ) d t j T
T 2 T 2
1 f (t ) sin( nt ) d t T
2
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为 T , 基波角频率为 2F T
n =1基波分量 直流分量
在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cos nt bn sin nt
n 1
1
n >1谐波分量
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
1 Fn T
0
T
f (t )e j nt d t
利用欧拉公式
1 T 1 f (t ) cos nt d t j T 0 T 1 a n jbn 2
0
T
f (t ) sin nt d t
Fn
1 T
1 T
0
《傅里叶级数 》课件
信号处理：用于 分析信号的频率 成分，如音频、 视频信号等
工程领域：用于 分析机械振动、 电磁场等物理现 象
数学物理：用于 求解偏微分方程、 热传导等问题
计算机科学：用 于图像处理、数 据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 定义：以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数 性质：周期性、奇偶性、对称性、单调性 应用：傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是 由法国数学家 傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是 傅里叶分析的 基础，是研究 信号处理、图 像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在 数学、物理、 工程等领域有 着广泛的应用
傅里叶级数在 信号处理、图 像处理等领域 的应用，推动 了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展 望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号 处理中的应用
傅里叶变换在图像 处理中的应用
傅里叶变换在语音 识别中的应用
傅里叶变换在金融 分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理：傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用，如滤波、频谱分析等。 数值分析：傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。 概率论与统计学：傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。 量子力学：傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性：傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的 收敛条件：傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛 证明方法：可以通过积分法、极限法等方法进行证明 收敛速度：傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量
典型周期信号的傅里叶级数
d
X(j)ejt
X(jk0)ej0t
x(t)21 X(j)ejtd1
0
2 T
k 0
0
于是,对非周期信号,有傅里叶变换对:
x(t)
1
2
X( j)ejtd 1
反
X( j)
x(t)e jtdt
2正
(e j t )
复 杂 信 号 ＝ 系 数 （ ） 基 本 信 号 （ ）
系 数 （ ） ＝ 复 杂 信 号 （ 与 ） 基 本 信 号 （ ）
F(j)ejtd
F( ) f(t)ejtdt
也是常用的形式
傅立叶变换的理解
周期信号的叶 指级 f数 T(t数 )型 Fn傅 ejn1t表 里明，
n
周期信号可限 以多 分个 解 n 频 1、 为 复率 无 振为 F幅 n的为 指
数分 ejn1t量 的离散和；
非周期信 傅号 里的 叶变 f(t)换 1
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
f(t)E T 1 2 T E 1n 1Sa(n 2 1 )cosn1t
F n1 2(anjn b )1 2anE T 1 S(n a 21 )
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
f(t)E S(an 1 )ejn 1t
T1 n
2
2、频谱 c0
E T1
规律收. 敛
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。
T
f (t)
A
T
22
t
解(： 1) f (t)是偶函数，故只含 数有 项常 和余弦项。
T
a0T 1
2 T
f(t)d t 2 T
2AdtA
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
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周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析
以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间
，每隔一定时间 T ，按相同
规律重复变化的信号，如图所示 。
它可表示为 f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
周期信号的特点：
（1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
（2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成
，则周期信
号
可以写成
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 1. 三角形式的傅立叶级数
周期信号 ，周期为1T ，角频率
111
22T f π
πω
=
=
(,)-∞∞(,)-∞∞()f t f t ()
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
式中各正、余弦函数的系数
n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它可以完全表示。
傅立叶系数公式如下
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
) ,0(T 或
)
2 ,2(T
T
-
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
∑∞
=++
=1
1
0)
cos()(n
n n t n c c t f ϕω或
两种形式之间系数有如下关系: 2．指数函数形式的傅里叶级数
令：()
n n b a n F j 21
)(1-=ω 由欧拉公式⎰
-=
T
t
n t
t f T
j d e )(1
1
ω
令：
0)0(a F =
前面的级数可展成指数形式系数 e )()(1
j 1
t
n n n F t f ωω∑∞
-∞
==
n
n
n n n n a b arctg
b a
c -=+=
ϕ;:在傅立叶三角表示式中2
2
()n
n
n c n F F ϕω±=
相角辐角等于三角表示的初;2
的模可知系数1
)
(一地表示了他唯
,变化而变化的复数)(是一个随着频率)(11t f n n F ωω在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表示，都是通过三个量完整地表示一个函数：。