全等三角形证明专题

数学思维方法讲义之一年级：九年级

§第1讲证明（三角形专题）

【学习目标】

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

【考点透视】

1、全等三角形的性质与判定；

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；

4、相似三角形的性质与判定。

【精彩知识】

专题一三角形问题中的结论探索

【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一

起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O

为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号

是 .

●变式练习

1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论

中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．

★考点感悟：

专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF

平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F

（1）求证：CE=CF．

（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图（1）图（2）

【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的

1

4

时，求线段EF的长．

A

D

B C E

O

★考点感悟：

●变式练习：

如图，O 是正△ABC 一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBO S =6+33四形边；⑤AOC AOB 93

S S 6++=V V ．其中正确的结论是【 】

A ．①②③⑤

B ．①②③④

C ．①②③④⑤

D ．①②③

【例4】如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD⊥CF 成立．

（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=2时，求线段BG 的长．

★考点感悟：

专题三 几何动态问题

【例5】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以a cm/s (a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1 cm/s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s ．

(1)若a ＝2，△BPQ ∽△BDA，求t 的值； (2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形． ①若a ＝ 5

2

，求PQ 的长；

②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．

★考点感悟：

●变式练习：

P D

B

G E

F

D

F

A

B

C

E

P Q

已知线段AB=6，C ．D 是AB 上两点，且AC=DB=1，P 是线段CD 上一动点，在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF ，G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移动的路径长度为 ．

专题四 几何与函数结合问题

【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP =y ，PE =x .

（1）当EF x 31

=时，求DBC DPE S S ∆∆:的值； （2）当CQ =21

CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）①当CQ =31

CE 时，求y 与x 之间的函数关系式；

②当CQ =n

1

CE （n 为不小于2的常数）时，求直接y 与x 之间

的函数关系式。

★考点感悟：

【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4）．以A 为顶点的抛物线y =ax 2

+bx +c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为

t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD （包括边界）存在点H ，使以C ，

Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．