幂级数与收敛性课件课件PPT讲稿

所以幂级数 (1)n
x2n
的收敛区间
n0
2n 1
为[1,1] .
例 4
求幂级数 (1)n
n0
(
x
2)n 2n
的收敛区间.
解 运用正项级数的比值审敛法 .
(1)n1
(
x
2)n1 2n1
ρ lim
n
(1)n
(x
2)n 2n
x2
.
2
当 ρ 1 ,即 x 2 1 , 也即 0 x 4 时 ,
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
④
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
了函数的 幂级数展开式是唯一的 .
f (x) Sn1(x) rn (x) .
于是，当
lim
n
rn
(
x
)
0
时，有
lim
n
Sn1
(
x)
f
(x) ,
反之，若
lim
n
Sn1
(
x)
来自百度文库
f (x) .
必有
lim
n
rn
(
x
)
0
.
这表明，麦克劳林级数 ③ 以 f(x) 为和函数的 充要条件，是麦克劳林公式② 中的余项 rn (x) 0 (当 n 时 . 这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ：
显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，
一般项 an x n 不趋近于零 .
必要条 件可知该幂级数发散.
由级数收敛的
例 2 试求幂级数 2n x n 的收敛区间 .
n1 n
解 所给的幂级数为不缺项的，
可
运用上述定理求收敛半径 2n
R
lim
n
n 2n1
1. 2
n1
当 x 1 时, 幂级数为正项级数 1 .
幂级数收敛 .
2
区间端点处:
当 x = 0 时，幂 级 数化 为 1 ,它是发散的;
n0
当x 4时，幂级数 化为 (1)n ,也是发散的 . n0
因此幂级数
( 1)n
n0
(x
2)n 2n
的收敛区间为 (0,4) .
8.2.2、 函数的幂级数展开
一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式 二、 直接展开法 三、 间接展开法
2
n1 n
此为调和级数， 它是发散的.
当
x1时,
幂级数为收敛的交错级数
（ 1）n .
2
n1 n
所以 , 幂级数 2n xn 的收敛区间为 1 , 1）.
n1 n
22
例 3
求幂级数 (1)n
x2n
的收敛区间 .
n0
2n 1
解 所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，是一个
缺项幂级数，因此不能直接利用公式求收敛半径 R.
幂级数与收敛性课件课件
一、幂级数及其收敛性
一般形式为
a0 a1 x a2 x 2 an x n . ② (其中a0 , a1 , a2 ,an , 是任意实常数)的级数 称为 幂级数，其中的a0 , a1 , a2 , an 称为幂级数 对应项的系数 .
幂级数更一般的形式为 a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n .
ρ lim an1 xn1 n an xn
lim an1 x n an
rx .
所以当 ρ r x 1 , 即 x 1 时,级数收敛. r
这表明幂级数 an xn 绝对收敛 , 因此它 n1
必然收敛 .
当 ρ r x 1 ,即 x 1 时 , 也就是说 r
lim an1 xn1 1 . n an x n
我们考虑级数 (1)n
x2n
x2n ,
n0
2n 1 n1 2n 1
对此正项级数利用比值审敛法
x 2(n1)
ρ
lim
n
2(n 1) 1 x2n
x2
.
2n 1
因为当 ρ 1 ,即 x2 1 , 也即 x 1时 ,
所求幂级
数绝对收敛 .
当 x 1时 ,
代入得级数
(1)n 收敛.
n0 2n 1
那么它是否以
若令麦克劳林级数 ③ 的前n + 1 项和为Sn1 ( x) ,
即
Sn1( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n)(0) xn . n!
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim
n
Sn1
(
x)
f (x) .
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关系， 可知
它显然可以通过变量代换 y = x x0 方法化为式② .
设幂级数 an xn 中 an 0 (n 0,1,2, ) n0
则称幂级 否则称为缺项的幂级数. 例如幂级数
数为不缺项的，
(1)n x2n 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
n0
缺 x 的奇次幂，叫缺项的幂级数，又如
2!
n!
rn ( x) . ②
rn ( x)
f (n1) ( x) x n1
(n 1)!
②式称为麦克劳林公式 .
(0 θ 1) .
幂级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
③
我们称之为麦克劳林级数 .
函数 f(x) 为和函数呢 ?
1 R= .
r即
R lim an
a n n1
证 因为在幂级数 an xn 中 ,
若
将 x 看成
n1
那么就得到一个数项级数，
因是为一个确定的值， 它不一定是正项级数，
为此，我们可对幂级数
的各项取绝对值得，
a0 a1 x a2 x2 an xn ,
这是一个正项级数. 运用比值审敛法. 因为
(1)n xn 1 x x2 (1)n xn
n0
是不缺项的幂级数.
定理 设 幂 级 数 an xn 是 不 缺 项 的. n1
即an 0 . 如果
r lim an1 ,
n an
则当
x
1 r
时
,
该幂级数收敛;
当
x
1 r
时
,
该幂级数发散. 1 称为幂级数的收敛半径,
r
记作 R ,
)
(
x
x0
)n
rn
(
x)
.
①
其
中
rn ( x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(
x
x0
)n1
(ξ 在 x0 与 x 之间) .
称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x0 0 , 就得到
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
一、 麦克劳林(Maclaurin)公式
泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = 的某x一0 领域内, 有直到 (n + 1) 阶的导数，
则在这个领域内有如下公式 :
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!