离散数学—图论(12.6版)

(3) 若子图G′中没有孤立结点,G′由E′唯一确定,则称
G′为由边集E′导出的子图。 (4)若在子图G′中,对V′中的任意二结点u、v,当 ［u,v］∈E时有［u,v］∈E′,则G′由V′唯一确定, 此时称G′为由结点集V′导出的子图。
第8章 图论
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定义8.1―9在n个结点的有向图G=〈V,E〉中,
A
C
B
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8.1 图的基本概念
8.1.1 图 定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中
V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从
边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)
边删去E所得,则图H称为图G的补图,记为
然, 。 GG
,显 H G
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8.2 路径和回路
8.2.1 路径和回路 定义8.2―1在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一 条路径是图的一个点边交替序列（v0e1v1e2v2…envn）,其 中vi-1和vi分别是边ei的始点和终点,i=1,2,…,n。在序列中, 如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径,如果
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D
判定法则：如果通 问题是要从这四块陆 奇数座桥的地方不 8.1 图的基本概念 地中任何一块开始， 止两个，那么满足 通过每一座桥正好一 要求的路线便不存 8.2 路径和回路 次，再回到起点。 在了。如果只有两 8.３ 图的矩阵表示 欧拉在1736年解决了 个地方通奇数座桥， 这个问题 。 则可从其中任何一 8.４ 二部图 地出发找到所要求 8.5 平面图 的路线。若没有一 8.6 个地 方通奇数座桥， 树 则从任何一地出发，8.7 有向树 所求的路线都能实 8.8 运输网络 现
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定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉
中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n 的基本回路。
定义8.2―3在图G=〈V,E〉中,从结点vi 到vj 最短路径
的长度叫从vi 到vj 的距离,记为d(vi,vj)。若从vi 到vj 不存在 路径,则d(vi,vj)=∞。 注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地 满足以下性质:
i 1 i 1 i 1
n
n1
n2
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以 前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项
之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
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图 8.1―5
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定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图, 各结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
(1) d(vi,vj)≥0;
(2) d(vi,vi)=0; (3) d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
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8.2.2 连通图
定义8.2―4设G=〈V,E〉是图,且vi、vj∈V。 如果从vi到vj存在一条路径,则称vj从vi可达。vi自身认 为从vi可达。 定义8.2―5在无向图G中,如果任两结点可达,则称图 G是连通的;如果G的子图G′是连通的,没有包含G′的更 大的子图G″是连通的,则称G′是G的连通分图(简称分图)。
则图G可用图8.1―1表示。
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定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。 若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。 有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的 端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无 向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。
边称为自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不
使有关图论的各个定理发生重大变化,所以有许多场合 都略去自回路。
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在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点
和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无 向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称
这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条
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定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则

i 1
n
deg(i ) 2m
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数 之和为m条边所提供,所以上式成立。 在有向图中,上式也可写成:

i 1
n
deg (i ) deg (i ) 2m
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8.1.4 图的运算
图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下: 定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉 (1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
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8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点 的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点 v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数 是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点 的次数为零。
每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的 关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图 称为无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边 是无向边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和 无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。
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约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有
向边又表示无向边时用［a,b］。 有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一 条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为 有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就 得到无向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由 孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条
是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实
际上代表同样的组合结构。
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例2
(a)、(b)两图是同构的。因为可作映 射:g(1)=v3,g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈v3,v1〉,〈v1,v2〉 和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中仅有的边。
其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。 (3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉, G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。
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在无向图上,以上各术语的定义完全类似,故不重复。
路径和回路可仅用边的序列表示,在非多重图时也可用 顶点序列表示。
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定义8.2―2 路径P中所含边的条数称为路径P的
长度。长度为0的路径定义为单独一个顶点。(但注意 习惯上不定义长度为0的回路。) 定理8.2―1在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉 中,如果从v1到v2有一条路径,则从v1到v2有一条长度不大 于n-1的基本路径。 简证 假定从v1到v2存在一条路径,(v1,…,vi,…,v2)是所
经的结点,如果其中有相同的结点vk,例 (v1,…,vi,…,vk,…,vk,…,v2),则
删去从vk到vk的这些边,它仍是从v1到v2的路径,如此反复地进行 直至(v1,…,vi,…,v2)中没有重复结点为止。此时,所得的就是基本 路径。基本路径的长度比所经结点数少1,图中共n个结点,故基 本路径长度不超过n-1。
如果E=V×V,则称G为有向完全图;在n个结点的无向图 G=〈V,E〉中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边,
则称G为无向完全图,记为Kn。
图8.1―11是4个结点的有向完全图和无向完全图的 图示。 定义8.1―10 设线图G=〈V,E〉有n个顶点,线图H= 〈V,E′〉也有同样的顶点,而E′是由n个顶点的完全图的
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两图同构的必要条件:
(1) 结点数相等; (2) 边数相等; (3) 度数相同的结点数相等。 但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上 3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。 但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数 为1的点w邻接。
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8.1.3 图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图,若 存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V,［a,b∈E 当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］ 有相同的重数,则称G和G′是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一 对应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图
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一个无向图或者是一个连通图,如图8.2―2(a)所示,或者是由
若干个连通分图组成,如图8.2―2(b)所示。
图 8.Байду номын сангаас―2
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定理8.2―3设G是任一(n,m)无向简单图,ω是
其分图个数,则
1 n m (n )( n 1) 2
数称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时 重数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。 在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简 单图,关系图都是线图。
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图 8.1―3
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定义 8.1―3赋权图G是一个三重组
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除以上4种运算外,还有以下两种操作:
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际 意义是删去结点v和与v关联的所有边。
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8.1.5 子图与补图
定义8.1―8设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图。 (1) 如果V′ V和E′ E,则称G′是G的子图。如果V′ V 和E′ E,则称G′ G的真子图。(注意:“G′是图”已隐含着 “E′中的边仅关联V′中的结点”的意义。) (2) 如果V′=V和E′ E,则称G′为G的生成子图。
〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边 的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。 右图给出一个赋权图。 V={v1,v2,v3}
E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)}
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。
基本路径也一定是简单路径。
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如果路径的始点v0和终点vn相重合,即v0=vn,则此路
径称为回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各 顶点不超过一次的回路称为基本回路。
(a)P1=(v1e1v2e7v5) 是一条基本路径。 (b)P2=(v2e2v3e3v3e4v1e1v2) 是一简单回路 非基本回路。
i 1
n
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定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
次数为奇数的结点有n2个,记为 Oi (i=1,2,…,n2)。由上一 定理得 证 设次数为偶数的结点有n1个,记为 Ei (i=1,2,…,n1)。
2m deg(i ) deg( Ei ) deg(Oi )