21章一元二次方程复习课件
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九年级上册第二十一章一元二次方程复习ppt导学课件
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九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
考点 5 三种思想
9．已知x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根，求代数式2a4 ＋a3＋2a2＋2a＋1的值．
解：∵x＝a是2x2＋x－2＝0的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋1＝2a2＋2a2＋2a＋1
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
九级上册第二十一章一元二次方程复 习实用 课件（P PT优秀 课件）
(1)BQ＝___2_t____cm，PB＝___(_5_－__t)_cm(用含t的 代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm? 由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52， 解得t1＝0(舍去)，t2＝2. 当t＝2时，PQ的长度等于5 cm.
(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015 年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到 2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率．
(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划 建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用 房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老 床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人 间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的 房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间 数为t.
∴x＝ (4 2) 0 2.
28
4
∴x1＝x2＝
2 ..
4
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2.
原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
21章一元二次方程复习课件(共46张)
当y=1时，x2－1=1，∴x2=2，x=± 2 .当y=4时，
x2－1=4，∴x2=5，x=± 5 . ∴原方程的解为
x1= 2 ，x2=－ 2 ，x3= 5 ，x4=－ 5 .
解答问题： (2)解方程（x2-3 ）2 - 3(x2-3)=4
第21页，共46页。
选择适当(shìdàng)的方法解下列方程:
第27页，共46页。
三、一元二次方程的应用 。 (yìngyòng)
1、数字问题
2、变化率问题、疾病传播问题 3、利润问题
4、面积问题
5、几何问题
注意： ①设要有单位 ②解出方程后检验根的合理性
第28页，共46页。
两个(liǎnɡ ɡè)数的差等于4,积等于45,求这两个(liǎnɡ ɡè)数.
4
第19页，共46页。
10.（2014•株洲）已知关于(guānyú)x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC
三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理 由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并 说明理由；
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+ =0 m2
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____．
4
第18页，共46页。
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1，-2， 则这个方程可以是______________.
第16页，共46页。
练习 检测 (liànxí)
x2－1=4，∴x2=5，x=± 5 . ∴原方程的解为
x1= 2 ，x2=－ 2 ，x3= 5 ，x4=－ 5 .
解答问题： (2)解方程（x2-3 ）2 - 3(x2-3)=4
第21页，共46页。
选择适当(shìdàng)的方法解下列方程:
第27页，共46页。
三、一元二次方程的应用 。 (yìngyòng)
1、数字问题
2、变化率问题、疾病传播问题 3、利润问题
4、面积问题
5、几何问题
注意： ①设要有单位 ②解出方程后检验根的合理性
第28页，共46页。
两个(liǎnɡ ɡè)数的差等于4,积等于45,求这两个(liǎnɡ ɡè)数.
4
第19页，共46页。
10.（2014•株洲）已知关于(guānyú)x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC
三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理 由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并 说明理由；
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+ =0 m2
有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____．
4
第18页，共46页。
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1，-2， 则这个方程可以是______________.
第16页，共46页。
练习 检测 (liànxí)
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》PPT课件
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做 一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项, c 称为常数项.
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根 一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫 作一元二次方程的解（又叫做根）.
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
解：将x=0代入方程m2-4=0，
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习课课件(35张ppt)
x1x2+x2=1-a,所以 2 即 3a 1 - 2a =1-a,
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
a
=1-a, a－1 解得a1=1,
a
a a a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根 ,不合题意,舍去.
所以a=-1.
a
主题4 一元二次方程的应用 【主题训练4】某校为 培养青少年科技创新能力,举办了动漫制
作活动,小明设计了点做圆周运动的一个
5
【主题升华】 根的判别式的应用 1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根. 2.一元二次方程的根的情况取决于Δ =b2-4ac的符号.
(1)当Δ =b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当Δ =b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
(3)当Δ =b2-4ac<0时,方程没有实数根.
2
2
1 2
3 2
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: ×3, 1 2 +4n=21 3 ( n n) 2 n =7,n 2 解得 =-18(不合题意,舍去).
1 2
答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤 1.审——审清题意,找出等量关系.
第二十一章
一元二次方程复习课
【答案速填】①只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程; ②ax2+bx +c=0(a≠0); ③直接开平方法; ④配方法; ⑤公式法; ⑥因式分解法; ⑦有两个相等 的实数根; ⑧没有实数根; ⑨
c b a ; ⑩ a.
主题1
一元二次方程及根的有关概念 +4x+5=0是关于x ) D.无法确定
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件 (新版)新人教版
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
第十一页，共38页。
回顾与反思
判别式逆定理 若方程有两个(liǎnɡ ɡè) 不相等的实数根,则b24ac＞0 若方程有两个 相等(xiāngděng)的实数根,则 b2-4ac=0
2x2 35x 123 0,
解得 :
x1
3;
x2
41 (不合题意,舍去). 2
答 :小路的宽度为3m.
第二十六页，共38页。
几何(jǐ hé)与方程
例2. 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地 (gēng〃dì)上挖三条水渠,水渠的宽度都相等. 水渠把耕地(gēng〃dì)分成面积均为885m2 的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
第一页，共38页。
1.一元二次方程的概念(gàiniàn)
只含有一个未知数，并且(bìngqiě)未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般(yībān) 形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 b的x 形c 式 0,我们把
ax2 bx c 0
解 : 设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10x 5 x 736.
整理得x2 5x 6 0.
解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3,或5 x 5 3 2. 答 : 这两个数为32或23.
第二十五页，共38页。
2.几何(jǐ hé)与方程
3.公式(gōngshì) 法
一般(yībān)地,对于一元二次方程 a当x2b+2 bx4+acc=00(时a≠,它0的)根是 :
人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程复习课件(共25张PPT)
2018/6/30
判别式的用处
1.不解方程.判别方程根的情况, 2.根据方程根的情况,确定方程中待定常数 的值或取值范围, 3.进行有关的证明,
2018/6/30
一元二次方程根与系数的关系 设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根,则有
x1+x2=
b a
,
x1x2=
2018/6/30
本章知识结构图
实际问题
设未知数，列方程
数学问题 2 ax bx c 0 a 0
配方法 公式法
解 方 程
降 次
检验
因式分解 法
实际问题的答案
2018/6/30
数学问题的解
b b2 4ac 2 x b 4ac≥0 2a
定义及一般形式:
二次 只含有一个未知数,未知数的最高次数是______
整 的___式方程 ,叫做一元二次方程。
一般形式:
ax2+bx+c=o (a≠o)
.
2018/6/30
1.直接开平方法
对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可以 用直接开平方法解
解方程： （1） 3 (x
（2）
c a
.
2018/6/30
回顾与复习 5
解应用题
列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
九年级数学上册 第21章 一元二次方程本章复习课课件上册数学课件
第十九页，共二十五页。
16．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即 最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档 次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若 生产的某档次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产 品？
第二十一页，共二十五页。
17．如图 1，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，
AD＝6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s
的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q 以 2 cm/s 的速
度向点 D 移动．
(1)P，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形 PBCQ 的面
∴x1＝3＋4
17，x2＝3－4
17 .
第九页，共二十五页。
类型之三 一元二次方程根的判别式 8．[2017·河南]一元二次方程 2x2－5x－2＝0 的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
第十页，共二十五页。
9．[2017·攀枝花]关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两个实数根，
【解析】 由(x＋1)(x－4)＝－5 得 x2－3x＋1＝0，得 α＋β＝3，αβ＝1.
∴
β3 α
＋
α3 β
＝
β4＋α4 αβ
＝
α2＋β22－2α2β2 αβ
＝
[α＋β2－2αβ]2－2α2β2 αβ
16．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即 最低档次)的产品每天生产 76 件，每件利润 10 元．调查表明：生产提高一个档 次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件．若 生产的某档次产品一天的总利润为 1 080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产 品？
第二十一页，共二十五页。
17．如图 1，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，
AD＝6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s
的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点 Q 以 2 cm/s 的速
度向点 D 移动．
(1)P，Q 两点从出发开始到第几秒时，四边形 PBCQ 的面
∴x1＝3＋4
17，x2＝3－4
17 .
第九页，共二十五页。
类型之三 一元二次方程根的判别式 8．[2017·河南]一元二次方程 2x2－5x－2＝0 的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
第十页，共二十五页。
9．[2017·攀枝花]关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0 有两个实数根，
【解析】 由(x＋1)(x－4)＝－5 得 x2－3x＋1＝0，得 α＋β＝3，αβ＝1.
∴
β3 α
＋
α3 β
＝
β4＋α4 αβ
＝
α2＋β22－2α2β2 αβ
＝
[α＋β2－2αβ]2－2α2β2 αβ
人教版数学九年级上册解一元二次方程-配方法课件
九年级上册第21章
一、复习回顾
用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2 121
解：（1）x 121
x 11
x1= -11，x2=－11
（2）
解：（2）
(14x) 2 49
14x 7
1
x
2
二、探索新知
填一填（根据 a 2ab b (a b) ）
2
2
5 ( x __)
即 k2－4k＋5>0
1、配方法：
像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方情势，右边是非负数，
从而可以用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项
②化1
③配方
④开平方
⑤降次
⑥定解
注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
布置作业
解下列方程：
1 2 + 10 + 9 = 0；
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
状元成才路
5.用配方法说明：无论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5
=k2－4k＋4+1
=(k-2)2+1
∵无论k取何实数，(k-2)2≥0
∴(k-2)2+1>0
3
x
3
b 2
( )
2
5213源自( x __)2
(5) x bx ___ ( x __)
2
b
2
2
二、探索新知
一、复习回顾
用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2 121
解：（1）x 121
x 11
x1= -11，x2=－11
（2）
解：（2）
(14x) 2 49
14x 7
1
x
2
二、探索新知
填一填（根据 a 2ab b (a b) ）
2
2
5 ( x __)
即 k2－4k＋5>0
1、配方法：
像这样，把方程的左边配成含有x的完全平方情势，右边是非负数，
从而可以用直接开平方法来解方程的方法就做配方法。
2、用配方法解一元二次方程的步骤：
①移项
②化1
③配方
④开平方
⑤降次
⑥定解
注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
布置作业
解下列方程：
1 2 + 10 + 9 = 0；
这个最小值.
解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17
∵(a+1)2≥0,
∴当a=-1时，原式有最小值为17.
状元成才路
5.用配方法说明：无论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5
=k2－4k＋4+1
=(k-2)2+1
∵无论k取何实数，(k-2)2≥0
∴(k-2)2+1>0
3
x
3
b 2
( )
2
5213源自( x __)2
(5) x bx ___ ( x __)
2
b
2
2
二、探索新知
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2)（3x-4）²=（4x-3）²
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
练习：
1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0
有实数根，则m的取值范围是_______ ．
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
(1)x2 -3x+4=x2 -7 (×)
(2) 2X2 = -4
(√ )
(3)32X+5X-1=0 (×)
(4)
3x 2
-
1 x
2
0
( ×)
(5) x2 1 3 (×)
(6)
y 4
y2
0
(√ )
（7）ax2 bx c 0 (×)
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： 2_x_2_-_3_x_-_1_=_0__, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
A、若x2=4，则x=2 B、若3x2=6x，则x=2 C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+ m2=0 有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____． 4
则整数a的最大值是_______.
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x 2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1， -2，则这个方程可以是______________.
8、已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2m+1=0,
当m_______时，是一元二次方程；当m______时，是 一元一次方程；当m=____的方程
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （ C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数 式a2+b2+2ab的值是______.
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ ）
一元二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、判断下面哪些方程是一元二次方程：
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ 1 =0有两个相等的实数根，
求k的值．
4
10.（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并 说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的 形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方 程的根．
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
3) 4y=1－3y² 2
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
b2 4ac
根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 两个相等实根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 无实根(无解) b2 4ac 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
若一元二次方程有实数根，则 b2 4ac 0
例题：求证：关于x的方程 x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根.
练习：
1、关于x的一元二次方程（m 1)x 2 x 1 0
有实数根，则m的取值范围是_______ ．
2、关于x的方程 (a 6)x2 8x 6 0 有实数根，
(1)x2 -3x+4=x2 -7 (×)
(2) 2X2 = -4
(√ )
(3)32X+5X-1=0 (×)
(4)
3x 2
-
1 x
2
0
( ×)
(5) x2 1 3 (×)
(6)
y 4
y2
0
(√ )
（7）ax2 bx c 0 (×)
2、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是： 2_x_2_-_3_x_-_1_=_0__, 其二次项系数是_2___,一次项系数 是_-_3__,常数项是_-_1__.
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
例：解一元二次方程
1.用直接开平方法：(x+2)2=９
2.用因式分解法解方程： （y+2)2=3(y+2） 3.用公式法解方程 :3x2=4x+7
4.用配方法解方程 :4x2-8x-5=0
用最好的方法求解下列方程：
1)（3x-2）²-49=0
A、若x2=4，则x=2 B、若3x2=6x，则x=2 C、若x2+x-k=0的一个根是1，则k=2
x2 3x 2
D、若 x 2 的值为零，则x 2
5.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是________.
6（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+(1﹣m)x+ m2=0 有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____． 4
则整数a的最大值是_______.
1、 ax2+c=0 ====> 直接开平方法
ax2+bx=0 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单 方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方 法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般 形式再选取合理的方法。
练习检测
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x 2
1 x2
0
B.ax2 bx c 0
C.(x 1)(x 2) 1 D.3x2 2xy 5y2 0
7、写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为1， -2，则这个方程可以是______________.
8、已知关于x的方程(m2-1)x2+(m-1)x-2m+1=0,
当m_______时，是一元二次方程；当m______时，是 一元一次方程；当m=____的方程
3、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次 方程，则 （ C ） A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
4、若x=2是方程x2+ax-8=0的根，则a=__2____.
二、你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
2、一元二次方程(3x-1)(2x+2)=x2-2化为一般形式为 __________________,二次项系数为_____,一次项系数 为______,常数项为_______.
3、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数 式a2+b2+2ab的值是______.
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ ）
一元二次方程
一、定义及一般形式:
1.只含有_一____个未知数,且未知数的
最高次数为__2____的__整_式_____方程 叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
_a_x_2_+_b_x_+_c_=_0______(a≠0);其中a是
二次项系数,b是一次项系数 ,c是 常 数项.
1、判断下面哪些方程是一元二次方程：
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ 1 =0有两个相等的实数根，
求k的值．
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10.（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程 （a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为 △ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并 说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的 形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方 程的根．
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成( x m)2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: