正态分布及其经典习题和答案
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1专题:正态分布
例:(1)已知随机变量X 服从二项分布,且E (X )=2.4,V (X )=1.44,则二项分布的参数n ,p 的值为
A .n=4,p=0.6
B .n=6,p=0.4
C .n=8,p=0.3
D .n=24,p=0.1 答案:B 。解析:()4.2==np X
E ,()44.1)1(=-=p np X V 。
(2)正态曲线下、横轴上,从均数到∞+的面积为( )。
A .95%
B .50%
C .97.5%
D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案:B 。解析:由正态曲线的特点知。
(3)某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 ( )
A 32
B 16
C 8
D 20 答案:B 。解析:数学成绩是X —N(80,102),
8080
9080(8090)(01)0.3413,480.34131610
10P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。 (4)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________ 。
答案:8.5。解析:设两数之积为X ,
X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
∴E(X)=8.5.
(5)如图,两个正态分布曲线图:
1为)(1
,1x σμϕ,2为)(22x σμϕ,
则1μ 2μ,1σ 2σ(填大于,小于)
答案:<,>。解析:由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】
1.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A .0与1 B .1与0 C .0与0 D .1与1 答案:A 。解析:由标准正态分布的定义知。
2.正态分布有两个参数μ与σ,( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A .μ越大 B .μ越小 C .σ越大 D .σ越小
答案: C 。解析:由正态密度曲线图象的特征知。
3.已在n 个数据n x x x ,,,21Λ,那么()
∑=-n
i i x x n 1
21是指
A .σ
B .μ
C .2σ
D .2
μ( ) 答案:C 。解析:由方差的统计定义知。
4.设),(~p n B ξ,()12=ξE ,()4D ξ=,则n 的值是 。 答案:4。解析:()12==np E ξ,()(1)4D np p ξ=-=
5.对某个数学题,甲解出的概率为2
3
,乙解出的概率为34,两人独立解题。记X 为解出该题的人数,则E
(X )= 。
答案:1712。解析:11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231
(2)342
P X ==⨯=。
∴15117()012212212
E X =⨯+⨯
+⨯=。 6.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-= 答案:(1),(2),(4)。解析:(||)0P a ξ==。 7.抛掷一颗骰子,设所得点数为X ,则D (X )= 。 答案:3512。解析:1 (),1,2,,66 P X k k ===L ,按定义计算得735(),()212E X V X ==。 【作业本】 A 组 1.袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X 表示取出球的最大号码,则E (X )等于 ( ) A 、4 B 、5 C 、4.5 D 、4.75 答案:C 。解析:X 的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 故E (X )=3⨯0.1+4⨯0.3+5⨯0.6=4.5。 2.下列函数是正态分布密度函数的是 ( ) A .()σ σπ22 21)(r x e x f -= B .2 222)(x e x f - = π π C .()4 12 221)(-=x e x f π D .2 221)(x e x f π = 答案:B 。解析:选项B 是标准正态分布密度函数。 3.正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 ( ) A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 答案:B 。解析:22 1()2x f x e π -= -。 4.已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0.5,那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。 答案:0.2。解析:正态曲线关于直线x μ=对称,由题意知0.2μ=。 5.一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为 ;方差为 。 答案:84;75.6。解析:设X 为该生选对试题个数,η为成绩,则X ~B (50,0.7),η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4