正态分布及其经典习题和答案

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3

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-4

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2

1专题：正态分布

例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为

A ．n=4，p=0.6

B ．n=6,p=0.4

C ．n=8，p=0.3

D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X

E ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%

B ．50%

C ．97.5%

D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）

A 32

B 16

C 8

D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)，

8080

9080(8090)(01)0.3413,480.34131610

10P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。解析：设两数之积为X ，

X 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

0.1

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图：

1为)(1

,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，

则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于）

答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 【课内练习】

1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小

答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在n 个数据n x x x ,,,21Λ，那么()

∑=-n

i i x x n 1

21是指

A ．σ

B ．μ

C ．2σ

D ．2

μ（ ） 答案：C 。解析：由方差的统计定义知。

4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-=

5．对某个数学题，甲解出的概率为2

3

，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E

（X ）= 。

答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231

(2)342

P X ==⨯=。

∴15117()012212212

E X =⨯+⨯

+⨯=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-=

答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0P a ξ==。

7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则D （X ）= 。

答案：3512。解析：1

(),1,2,,66

P X k k ===L ，按定义计算得735(),()212E X V X ==。

【作业本】

A 组

1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ）

A 、4

B 、5

C 、4.5

D 、4.75

答案：C 。解析：X 的分布列为

X 3 4 5 P

0.1

0.3

0.6

故E （X ）=3⨯0.1+4⨯0.3+5⨯0.6=4.5。

2．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σ

σπ22

21)(r x e

x f -=

B ．2

222)(x e x f -

=

π

π

C ．()4

12

221)(-=x e

x f π

D ．2

221)(x e x f π

=

答案：B 。解析：选项B 是标准正态分布密度函数。

3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。解析：22

1()2x f x e

π

-=

-。

4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。

5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。

答案：84；75.6。解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4