关于非平稳时间序列模型课件
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过程；
＊对于趋势平稳过程，随机冲击只具 有有限记忆能力，其影响会很快消 失，由其引起的对趋势的偏离只是 暂时的；（旋转）
＊对于趋势平稳过程，只要正确估计 出其确定性趋势，即可实现长期趋 势与平稳波动部分的分离。
随机趋势模型
随机趋势模型又称齐 次非平ARMA模型。为理解齐次非 平稳ARMA模型，可先对ARMA模型 的性质作一回顾。
变化)
例1 ①美国1961年1月至1985年12月16—19
岁女性失业人数的月度序列如图所示：
显然，均 值水平是 随时间改 变的.
②美国1871年至1979年的年度烟草生产 量序列如图所示：
均值水平 是随时间 改变的， 同时方差 也随均值 水平的增 长而增长.
③某地1987年至1996年某商品月销售量 序列如图所示：
该序列的 季节特征 是明显的， 季节周期 为12.
5.1 ARIMA模型
※ 非平稳过程 ※ 非平稳性的检验
※ ARIMA模型 ※ ARIMA模型的建立
※ 疏系数模型
一 非平稳过程
（一）平稳过程与非平稳过程的差异
1、从统计属性看 平稳时间序列具有如下特性： （1）具有常定均值，序列围绕在均值周围 波动； （2）方差和自协方差具有时间不变性； （3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数 的增加而衰减.
假设有一个ARMA( p, q)模型如下:
(B)xt (B)at 其中:(B) 11B 2B2 Bp
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
为满足平稳,性 则必须有:(B) 0的
根都在单位圆. 外
如果(B) 0的根不都在单位圆 ,那外
么, xt就是非平稳.的
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆,上
非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期 性.
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(a ) ytt,t~W(0 ,N 2)
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ70
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(b ) y t 0 .7 y t 1 t,t~ W (0 ,N 2 )
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2、均值非平稳过程的描述
（1）确定性趋势模型—刻画确定性时 间趋势
（2）随机趋势模型—刻画随机性时间 趋势
势模型
确定性趋
当非平稳过程均值函数可 由一个特定的时间趋势表示时，一 个标准的回归模型曲线可用来描述
☆ 思路 将非平稳过程的均值函数用一个时间的
确定性函数来描述. ☆ 模型表达式
k
Zt t t jt j (B)at
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(c ) y t y t 1t,t~ W (0 ,N 2 )
（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或 阻尼正弦波）衰减或截尾.
非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减， PACF一般呈截尾.
3、 从建模要求看
平稳序列具有许多优良性质，一般可满足 建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检 验等，传统方法均能获得良好效果.
原序列可用下: 式表示
xt 01t2t2yt
此外，均值函数还可能是指数 函数、正弦—余弦波函数等，这些 模型都可以通过标准的回归分析处 理。处理方法是先拟合出μt的具体 形式，然后对残差序列yt={xt－ μt} 按平稳过程进行分析和建模。
☆ 趋势平稳过程
若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画， 则称此过程为趋势平稳过程. ＊趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导； ＊对于趋势平稳过程，应选用退势的方 法获得平稳过程； ＊趋势平稳过程的差分过程是过度差分
非平稳时间序列不具有上述特性：
（1）或者不具有常定的长期均值； （2）或者方差和自协方差不具有时间不变 性； （3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶 数的增加而衰减.
考虑如下例子：
yt yt1t
y0 0, t ~WN(0,2)
当 1 时 ， 序 列 y t 平 稳
如 果 1 ， 则 序 列 的 方 差 为 ： Va (yrt)Va (yrt1t) Va (yrt2t1t) V(a 1 r2 t 1t) t2
非平稳序列，因不满足若干统计分析方法 的基本假定，传统方法不再适用.
（二） 均值非平稳过程
1、均值非平稳的表现 （1）均值非平稳是指序列均值随时间的变 化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈 现某种时间趋势. （2）时间趋势依其内在属性，分为确定性 时间趋势和随机性时间趋势. （3）对均值非平稳进行分析的首要工作是： 由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相 应的时间依赖现象.
2 为平稳过程 { t } 的方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定 性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。
例如,若均值t服从线性趋势,t 0 1t
则原序列可用确定的趋有势模型表示如:下
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳程过,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值 ,t函 数 0 1t 2t2
关于非平稳时间序 列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的 建模和预测方法，即所讨论的时间序列都 是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均 值和方差都是常数，并且它的协方差有时 间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是
非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情 形，如它们具有非常数的均值μt，或非常 数的二阶矩，如非常数方差σt2，或同时具 有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性
(1)
j0
其中(B)
(B) (B)
,
at
iid
~WN(0,a2
)，
{t }为平稳过程.
＊数字特征
因为 E(t) E((B)at) (B)E(at) 0
k
所以 E(Zt) E(t t) jtj j0
此时 系数j恒定不变.
因此，称均值的这种趋 t 势为确定性趋势.
Vta V r(Z a tr t) V(a t) r2
当 t 时 ， 序 列 的 方 差 趋 于 无 穷 大 ， 说 明 序 列 是 非 平 稳 的
2、从图像特征看
（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性 与周期性：序列的振动是短暂的，经过一 段时间以后，振动的影响会消失，序列将 会回到其长期均值水平；在不同时刻或时 段，序列偏离均值的程度基本相同.
＊对于趋势平稳过程，随机冲击只具 有有限记忆能力，其影响会很快消 失，由其引起的对趋势的偏离只是 暂时的；（旋转）
＊对于趋势平稳过程，只要正确估计 出其确定性趋势，即可实现长期趋 势与平稳波动部分的分离。
随机趋势模型
随机趋势模型又称齐 次非平ARMA模型。为理解齐次非 平稳ARMA模型，可先对ARMA模型 的性质作一回顾。
变化)
例1 ①美国1961年1月至1985年12月16—19
岁女性失业人数的月度序列如图所示：
显然，均 值水平是 随时间改 变的.
②美国1871年至1979年的年度烟草生产 量序列如图所示：
均值水平 是随时间 改变的， 同时方差 也随均值 水平的增 长而增长.
③某地1987年至1996年某商品月销售量 序列如图所示：
该序列的 季节特征 是明显的， 季节周期 为12.
5.1 ARIMA模型
※ 非平稳过程 ※ 非平稳性的检验
※ ARIMA模型 ※ ARIMA模型的建立
※ 疏系数模型
一 非平稳过程
（一）平稳过程与非平稳过程的差异
1、从统计属性看 平稳时间序列具有如下特性： （1）具有常定均值，序列围绕在均值周围 波动； （2）方差和自协方差具有时间不变性； （3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数 的增加而衰减.
假设有一个ARMA( p, q)模型如下:
(B)xt (B)at 其中:(B) 11B 2B2 Bp
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
为满足平稳,性 则必须有:(B) 0的
根都在单位圆. 外
如果(B) 0的根不都在单位圆 ,那外
么, xt就是非平稳.的
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆,上
非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期 性.
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2、均值非平稳过程的描述
（1）确定性趋势模型—刻画确定性时 间趋势
（2）随机趋势模型—刻画随机性时间 趋势
势模型
确定性趋
当非平稳过程均值函数可 由一个特定的时间趋势表示时，一 个标准的回归模型曲线可用来描述
☆ 思路 将非平稳过程的均值函数用一个时间的
确定性函数来描述. ☆ 模型表达式
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（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或 阻尼正弦波）衰减或截尾.
非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减， PACF一般呈截尾.
3、 从建模要求看
平稳序列具有许多优良性质，一般可满足 建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检 验等，传统方法均能获得良好效果.
原序列可用下: 式表示
xt 01t2t2yt
此外，均值函数还可能是指数 函数、正弦—余弦波函数等，这些 模型都可以通过标准的回归分析处 理。处理方法是先拟合出μt的具体 形式，然后对残差序列yt={xt－ μt} 按平稳过程进行分析和建模。
☆ 趋势平稳过程
若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画， 则称此过程为趋势平稳过程. ＊趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导； ＊对于趋势平稳过程，应选用退势的方 法获得平稳过程； ＊趋势平稳过程的差分过程是过度差分
非平稳时间序列不具有上述特性：
（1）或者不具有常定的长期均值； （2）或者方差和自协方差不具有时间不变 性； （3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶 数的增加而衰减.
考虑如下例子：
yt yt1t
y0 0, t ~WN(0,2)
当 1 时 ， 序 列 y t 平 稳
如 果 1 ， 则 序 列 的 方 差 为 ： Va (yrt)Va (yrt1t) Va (yrt2t1t) V(a 1 r2 t 1t) t2
非平稳序列，因不满足若干统计分析方法 的基本假定，传统方法不再适用.
（二） 均值非平稳过程
1、均值非平稳的表现 （1）均值非平稳是指序列均值随时间的变 化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈 现某种时间趋势. （2）时间趋势依其内在属性，分为确定性 时间趋势和随机性时间趋势. （3）对均值非平稳进行分析的首要工作是： 由单个样本实现来构造均值函数，以刻画相 应的时间依赖现象.
2 为平稳过程 { t } 的方差。 综上，具有确定性趋势的其均值为确定 性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。
例如,若均值t服从线性趋势,t 0 1t
则原序列可用确定的趋有势模型表示如:下
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳程过,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值 ,t函 数 0 1t 2t2
关于非平稳时间序 列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的 建模和预测方法，即所讨论的时间序列都 是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均 值和方差都是常数，并且它的协方差有时 间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是
非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情 形，如它们具有非常数的均值μt，或非常 数的二阶矩，如非常数方差σt2，或同时具 有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性
(1)
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其中(B)
(B) (B)
,
at
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~WN(0,a2
)，
{t }为平稳过程.
＊数字特征
因为 E(t) E((B)at) (B)E(at) 0
k
所以 E(Zt) E(t t) jtj j0
此时 系数j恒定不变.
因此，称均值的这种趋 t 势为确定性趋势.
Vta V r(Z a tr t) V(a t) r2
当 t 时 ， 序 列 的 方 差 趋 于 无 穷 大 ， 说 明 序 列 是 非 平 稳 的
2、从图像特征看
（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性 与周期性：序列的振动是短暂的，经过一 段时间以后，振动的影响会消失，序列将 会回到其长期均值水平；在不同时刻或时 段，序列偏离均值的程度基本相同.