自动控制原理02开环幅相曲线、频域判据、闭环指标
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对数频率稳定判据：
若系统开环传递函数有P个位于s右半平面的特征根，则系
统闭环稳定的充要条件是： 对数相频曲线 (c ) (2k 1)
(k 0, 1, 2, ) ，在 L( ) 0
的频率范围内，对数相频曲线 ( ) 穿越 (2k 1) 线的次数为
N N N ，满足 Z P 2 N 0 。
系统的开环幅相曲线 GH 不包围 (1, j 0) 点。
5.3.2 频率稳定判据
当系统含有积分环节时，需要作一条半径为无穷大，角度为
900 的一段圆弧，将开环幅相曲线转化为半封闭曲线。
例5-4 已知系统的开环传递函数为 ： G ( s ) 试绘制系统的开环幅相曲线， 并求系统的稳定条件。 解：开环幅相曲线的起点 、终点
代入 Re[G( j )] ，得：
10 Re[G( j)] 3
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
最小相位系统的起点与终点：
G( j 0 )
{
K0， 0
( 900 )， 0
K *，n m
G( j)
{
0(n m)(900 )，n m
5.3.2 频率稳定判据
5.3 开环幅相曲线与频域稳定判据
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
绘制概略开环幅相曲线的步骤：
（1）求取系统的开环频率特性函数
（2）确定开环幅相曲线的起点和终点； （3）确定开环幅相曲线与实轴的交点； （4）勾画出大致曲线。 所用知识：复数的运算
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
例5-3 已知系统的开环传递函数为 ： G ( s ) 试绘制系统的开环幅相曲线
5 1 s ( s 1)( s 1) 2
解：（1）系统的开环频率特性为 5 G( j ) 1 j ( j 1)( j 1) 2 15 5(1 2 2 ) j 2 2 (1 )(1 4 ) (1 2 )(1 4 2 ) （2）开环幅相曲线 的起点 、终点
Magnitude (dB) Phase (deg)
40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
特性曲线
N 0, N 1
P0
结论：系统不稳定
-90
-180
-270 10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
5.3.3 对数频率稳定判据
结论 ：
（1）系统开环稳定，组成闭环后不一定稳定。如：例5-5
0时，A() ， () 900
时，A() 源自文库 0， () 2700
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
（3）与实轴的交点
Im[ G ( j )] 0 1 2
2
Im
10 3
1 2 2 0
0
Re
0
将
1
() 线
5.3.3 对数频率稳定判据
半次正穿越：开环幅相曲线从上往下穿越，并止于实轴的
( 1,) 区段，或从实轴的 ( 1,) 区段
开始往下穿越。 半次负穿越：开环幅相曲线从下往上穿越，并止于实轴的
( 1,) 区段，或从实轴的 ( 1,) 区段
开始往上穿越。
5.3.3 对数频率稳定判据
对最小相位系统： 闭环稳定的充要条件是：系统的对数相频曲线正、负穿越次数 之差等于零。
5.3.3 对数频率稳定判据
G( s) 例5-5 已知开环传递函数为 ： 10 (0.25s 1)(0.25s 2 0.4s 1)
Bode Diagram
试用对数频率稳定判据分
析系统的稳定性。
解：绘制开环对数频率
正穿越：开环幅相曲线从 上往下穿越实轴的 (1,) 区段（幅角增加） 负穿越：开环幅相曲线从 下往上穿越实轴的 (1,) 区段（幅角减小）
Nyquist图 以原点为圆心的单位圆 单位圆内 单位圆外 负实轴
Bode图 0dB线
L ( ) 0 的区段 L( ) 0 的区段
( ) 从下向上穿越 线 正穿越：从上往下穿越实轴 (1,) 区段 正穿越：在 L() 0 区段内， ( ) 从上向下穿越 线 负穿越：从下往上穿越实轴(1,) 区段 正穿越：在 L() 0 区段内，
G( j 0 ) (90 ) G( j) 03(900 )
0
K s (T1s 1)(T2 s 1)
Im
Re
0
5.3.2 频率稳定判据
与坐标轴的交点
K [(T1 T2 ) j (1 T1T2 2 )] K G( j ) j ( jT1 1)( jT2 1) (1 2T12 )(1 2T2 2 )
奈氏稳定判据： 反馈控制系统闭环稳定的充分必要条件是半闭合曲线 GH 不 穿越 (1, j 0) 点，且逆时针包围 (1, j 0) 的圈数R等于开环传递 函数具有正实部的极点个数P。 说明：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据的理论依据是幅角原理，
判据中， GH 为系统的开环幅相曲线，
对最小相位系统：反馈控制系统闭环稳定的充分必要条件是
G( s)
K s 2 (Ts 1)
5.4 控制系统相对稳定性分析
与实轴有交点，令 将
1 T1T2
Im[ G ( j )] 0
则：
1 T1T2
T1T2 代入 Re[G( j )] ，得： Re[G ( j )] K T1 T2
若要系统稳定，则： Re[G( j)] 1
即： K T1T2 1 T1 T2
5.3.3 对数频率稳定判据
（2）条件稳定系统：在某种结构下，参数满足一定的条件后稳 定，否则不稳定。如：
G( s)
K (s 1) s 2 (Ts 1)
系统稳定条件： T
（3）结构稳定系统：在某种系统结构下， 系统一定稳定，如： （4）结构不稳定系统：在某种系统结构下， 系统一定不稳定，如：
K G( s) s(Ts 1)
若系统开环传递函数有P个位于s右半平面的特征根，则系
统闭环稳定的充要条件是： 对数相频曲线 (c ) (2k 1)
(k 0, 1, 2, ) ，在 L( ) 0
的频率范围内，对数相频曲线 ( ) 穿越 (2k 1) 线的次数为
N N N ，满足 Z P 2 N 0 。
系统的开环幅相曲线 GH 不包围 (1, j 0) 点。
5.3.2 频率稳定判据
当系统含有积分环节时，需要作一条半径为无穷大，角度为
900 的一段圆弧，将开环幅相曲线转化为半封闭曲线。
例5-4 已知系统的开环传递函数为 ： G ( s ) 试绘制系统的开环幅相曲线， 并求系统的稳定条件。 解：开环幅相曲线的起点 、终点
代入 Re[G( j )] ，得：
10 Re[G( j)] 3
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
最小相位系统的起点与终点：
G( j 0 )
{
K0， 0
( 900 )， 0
K *，n m
G( j)
{
0(n m)(900 )，n m
5.3.2 频率稳定判据
5.3 开环幅相曲线与频域稳定判据
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
绘制概略开环幅相曲线的步骤：
（1）求取系统的开环频率特性函数
（2）确定开环幅相曲线的起点和终点； （3）确定开环幅相曲线与实轴的交点； （4）勾画出大致曲线。 所用知识：复数的运算
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
例5-3 已知系统的开环传递函数为 ： G ( s ) 试绘制系统的开环幅相曲线
5 1 s ( s 1)( s 1) 2
解：（1）系统的开环频率特性为 5 G( j ) 1 j ( j 1)( j 1) 2 15 5(1 2 2 ) j 2 2 (1 )(1 4 ) (1 2 )(1 4 2 ) （2）开环幅相曲线 的起点 、终点
Magnitude (dB) Phase (deg)
40 20 0 -20 -40 -60 -80 0
特性曲线
N 0, N 1
P0
结论：系统不稳定
-90
-180
-270 10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
5.3.3 对数频率稳定判据
结论 ：
（1）系统开环稳定，组成闭环后不一定稳定。如：例5-5
0时，A() ， () 900
时，A() 源自文库 0， () 2700
5.3.1 开环幅相曲线的绘制方法
（3）与实轴的交点
Im[ G ( j )] 0 1 2
2
Im
10 3
1 2 2 0
0
Re
0
将
1
() 线
5.3.3 对数频率稳定判据
半次正穿越：开环幅相曲线从上往下穿越，并止于实轴的
( 1,) 区段，或从实轴的 ( 1,) 区段
开始往下穿越。 半次负穿越：开环幅相曲线从下往上穿越，并止于实轴的
( 1,) 区段，或从实轴的 ( 1,) 区段
开始往上穿越。
5.3.3 对数频率稳定判据
对最小相位系统： 闭环稳定的充要条件是：系统的对数相频曲线正、负穿越次数 之差等于零。
5.3.3 对数频率稳定判据
G( s) 例5-5 已知开环传递函数为 ： 10 (0.25s 1)(0.25s 2 0.4s 1)
Bode Diagram
试用对数频率稳定判据分
析系统的稳定性。
解：绘制开环对数频率
正穿越：开环幅相曲线从 上往下穿越实轴的 (1,) 区段（幅角增加） 负穿越：开环幅相曲线从 下往上穿越实轴的 (1,) 区段（幅角减小）
Nyquist图 以原点为圆心的单位圆 单位圆内 单位圆外 负实轴
Bode图 0dB线
L ( ) 0 的区段 L( ) 0 的区段
( ) 从下向上穿越 线 正穿越：从上往下穿越实轴 (1,) 区段 正穿越：在 L() 0 区段内， ( ) 从上向下穿越 线 负穿越：从下往上穿越实轴(1,) 区段 正穿越：在 L() 0 区段内，
G( j 0 ) (90 ) G( j) 03(900 )
0
K s (T1s 1)(T2 s 1)
Im
Re
0
5.3.2 频率稳定判据
与坐标轴的交点
K [(T1 T2 ) j (1 T1T2 2 )] K G( j ) j ( jT1 1)( jT2 1) (1 2T12 )(1 2T2 2 )
奈氏稳定判据： 反馈控制系统闭环稳定的充分必要条件是半闭合曲线 GH 不 穿越 (1, j 0) 点，且逆时针包围 (1, j 0) 的圈数R等于开环传递 函数具有正实部的极点个数P。 说明：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据的理论依据是幅角原理，
判据中， GH 为系统的开环幅相曲线，
对最小相位系统：反馈控制系统闭环稳定的充分必要条件是
G( s)
K s 2 (Ts 1)
5.4 控制系统相对稳定性分析
与实轴有交点，令 将
1 T1T2
Im[ G ( j )] 0
则：
1 T1T2
T1T2 代入 Re[G( j )] ，得： Re[G ( j )] K T1 T2
若要系统稳定，则： Re[G( j)] 1
即： K T1T2 1 T1 T2
5.3.3 对数频率稳定判据
（2）条件稳定系统：在某种结构下，参数满足一定的条件后稳 定，否则不稳定。如：
G( s)
K (s 1) s 2 (Ts 1)
系统稳定条件： T
（3）结构稳定系统：在某种系统结构下， 系统一定稳定，如： （4）结构不稳定系统：在某种系统结构下， 系统一定不稳定，如：
K G( s) s(Ts 1)