自动控制原理频域分析

对于最小相位系统，有： 曲线收敛于原点，并与某一坐标轴相切。
频域分析法
Bode图
ϕ (ω ) 180 D 90 D
0D − 90 D − 180 D
L (ω ) dB 60
¾ 幅频特性图
40
z 纵坐标：幅值的对数20lg (dB)，采
用线性分度；
20
z 横坐标：用频率ω的对数lgω分度
ω
0.1
1
标准二阶系统闭环传递函数:
Φ(s)
=
s2
+
ω
2 n
2ζω n s
+
ω
2 n
闭环频率特性:
Φ(
jω )
=
(
jω
/ ωn
)2
1 + j2ζω
/ ωn
+
1
=
M (ω )e
jα (ω )
M (ω ) = Φ( jω ) =
1
(1
−
ω
2
/
ω
2 n
)2
+
(2ζω
/
ωn
)2
由极值条件
dM (ω ) dω
= 0，得谐振频率ωr、与谐振峰值Mr :
¾ tp与谐振峰值Mr成正比。 ts与谐振峰值Mr成反比。
频域分析法
典型中频段特性
L(ω)(dB)
中频段斜率取为‐20dB/dec，中频段长度和截止频 率反映了动态响应中的平稳性和快速性。
开环传递函数
G(s)
=
K (T2s + 1) s2 (T3s + 1)
(T2 > T3 )
中频段长度 l = ω3/ω2
¾ 频率特性是一种稳态响应 z 系统稳定前提下求得，不稳定系统则无法直接观察 到稳态响应。理论上讲，系统动态过程的稳态分量 总可以分离出来，且其规律并不依赖于系统的稳定 性。因此，仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、 动态性能、稳态性能等。
¾ 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 z 频率ω改变，输出、输入量的幅值之比A(ω)和相位 移ϕ(ω)随之改变；这是由系统中的储能元件引起的
ωc
⋅
2l l +1
频域分析法
利用开环频率特性分析系统的性能 ¾ 一阶系统
z 最左端直线斜率为 – 20v dB/dec z ω = 1时，最左端直线或其延长线（当ω < 1的频率范围内有
交接频率时）的分贝数为 20lg K。最左端直线或其延长线与 零分贝线的交点频率在数值上等于K1/v z 在转折频率处，曲线斜率发生改变，改变多少取决于典 型环节种类
¾ 开环对数相频特性曲线应根据相频的表达式绘制 注意:
性能指标间的关系
ζ、ωc
闭环频域性能指标 ωb、ωr、Mr
¾ ζ值越大， σp%越小， Mr越小， γ越大，系统平稳性越好。
¾ ts、tp与谐振频率ωr成反比。 ωr越高，系统的响应速度越快。
¾ ts、tp与带宽频率ωb成反比。 ωb越高，系统响应速度越快。要提高
响应速度和跟踪精度，系统须具有大的带宽。但从抑制噪声的观点 来看，带宽不应当太大。在系统设计中应在这两方面折衷考虑。
频域分析法
概略绘制开环幅相曲线(续) 3. 幅相曲线与负实轴交点的求取。令G (jω)的虚部为零，即
可求得交点处的频率，继而求出与实轴的交点。 4. 当开环传递函数中不包含微分环节时，幅相曲线的相角连
续地减小；否则，幅相曲线可能有凸凹。（最小相位系统） 5. 若开环系统存在等幅振荡环节，即开环传递函数形如：
M(ω1/4)
0 ω1/4
ts
=
⎡⎢13.57 ⎣
Mr M (0)
⋅
ωb ω2
−
2.51⎥⎤ ⋅ ⎦
1 ω2
(Δ = 0.05)
σ
p
%
=
⎨⎧41 ⎩
ln
⎡ ⎢ ⎣
M
r
M M
(ω1 / 2 (0)
4)
⋅
ωb ω2
⎤ ⎥ ⎦
+
17⎬⎫% ⎭
Mr
ωr ω1 ωb ω2
ω
频域分析法
二阶系统的闭环频域指标与时域指标
¾ 在校正方法中，频率法校正最为方便：图解法、近似法
5
频域分析法
频率响应分析法与时域分析法的不同点 ¾ 输入是正弦函数 ¾ 只研究系统稳态分量(而非过渡过程)中，幅 值、相角随ω的变化规律
7
频域分析法
频率特性的性质
¾ 频率特性是一种数学模型 z 它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系 统结构参数给定，则 频率特性也完全确定
只有最小相位系统的开环对数幅频特性和系统的开环 传递函数是一一对应的关系，故只有最小相位系统可 由开环对数幅频特性来求开环传递函数。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据的主要内容(续) z 对数频率稳定判据：
反馈控制系统闭环特征方程正实部根的个数Z可根据开环传 递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性L(ω) > 0的所 有频率范围内对数相频曲线穿越– 180o线的正负穿越次数之 差N = N+ – N–确定：
频域分析法
知识结构图
频域分析法
考试内容 ¾ 频率特性的基本概念 ¾ 频率特性曲线的绘制方法及图表分析 ¾ 频域稳定判据（特别要注意非最小相位系统的判稳） ¾ 稳定裕量及其它频域性能指标的估算 ¾ 频域稳态分析和动态分析
频域分析法
系统频率特性的定义 稳定的线性系统在正弦信号作用下的稳态响应是一个频 率相同，幅值和相位不同的正弦信号。输出与输入的复 数比G(jω)称为系统的频率特性，|G(jω)|为系统的幅频特 性， ∠ G(jω)为系统的相频特性。 z 输入r(t) = Asinωt时， 稳态输出css(t)与r(t)的幅值比、 相角差构成的复数 z G(s)中令 s = jω 得频率特性G(jω)
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 惯性环节
（不稳定环节）
非最小相位系统(其相角变 化量比最小相位系统大)
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶振荡环节（续）
z 特点：
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶振荡环节（续） z 特点（续）
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶振荡环节（续）
例：
频域分析法
例：
频域分析法
例：
频域分析法
系统的稳定裕度 ¾ 幅值裕度h定义为幅相曲线上相角为 – 180o时对应幅值 的倒数，即
ωg : 相位穿越频率 幅值裕度的分贝值为：
¾ 相角裕度 γ定义为幅相特性曲线模值等于1的矢量与负 实轴的夹角： ωc : 增益穿越频率
频域分析法
高阶系统的开环频域指标与时域指标：经验公式
ωc
ω3
0
ω2 ω0
φ(ω)(°)
最小滞后相位频率 ωm = ω2ω3
ω 当ωc = ωm时，最大相位裕量
γ
m
=
sin −1
l l
−1 +1
Mr
=
l l
−1 +1
0° -90°
γ -180°
ω 在控制工程中，为了保证动态性
能指标(中频段长度、 Mr)，设计 中频段时通常取
ω2
≤
ωc
⋅
l
2 +1
ω3
≥
z 输出c(t)的付氏变换与输入r(t)的付氏变换之比
频域分析法
例： 解：
ess(t) = ？
4
频域分析法
频率响应分析法的特点
¾ 由开环频率特性分析闭环系统稳定性及性能
¾ 二阶系统频率特性 高阶系统频率特性
时域性能指标 时域性能指标
¾ 物理意义明确许多元部件此特性都可用实验法确定，工 程上广泛应用
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶振荡环节（续）
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶振荡环节（续）
z 不稳定二阶振荡环节
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 一阶复合微分环节
（不稳定环节）
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶复合微分环节
频域分析法
6
频域分析法
最小相位系统
¾ 在系统的开环传递函数中，没有位于右半s平面的零点和 极点，且没有纯时间延迟环节的系统为最小相位系统， 反之为非最小相位系统
z 七种典型环节组成的系统必为最小相位系统
¾ 最小相位系统特征 z 在n > m且幅频特性相同时，最小相位系统的相角变 化范围最小(n和m分别表示传递函数分母和分子多项 式的阶次) z 当ω = ∞时，其相角等于–90o(n – m)，对数幅频特性 曲线的斜率为–20(n – m)dB/dec。有时用这一特性来 判别该系统是否为最小相位系统。
频域分析法
¾ 最小相位系统特征(续) z 对数幅频特性与相频特性之间存在着确定的对 应关系。对于一个最小相位系统，若知道其幅 频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也 就是说，只要知道其幅频特性，就能写出此最 小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出 相频特性。 z 非最小相位系统高频时相角滞后大，起动性能 差，响应缓慢。对响应要求快的系统，不宜采 用非最小相位元件。
σ p% = [0.16 + 0.4(1 / sinγ − 1)]×100% (34° ≤ γ ≤ 90°)
ts
=
π ωc
[2
+
1.5(
1 sin
γ
−
1)
+
2.5(
1 sin
γ
− 1)2 ]
(34° ≤ γ ≤ 90°)
高阶系统的闭环频域指标与时域指标：经验公式
M(ω)
M(0)
0.707M(0) 0.5M(0)
2 3 4 5 6 7 8 10
-20
¾ 相频特性图
-40
z 纵坐标：频率特性的相移，以度为单百度文库
位，采用线性分度；
-60
z 横坐标：用频率ω的对数lgω分度
28
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 比例环节
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 积分环节
¾ 微分环节
29
30
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 惯性环节
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 二阶复合微分环节
（不稳定环节）
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 延迟环节
频域分析法
概略绘制开环幅相曲线 最小相位系统的开环传递函数: 开环频率特性： 开环幅相曲线分以下几部分： 1．曲线的起点: ω = 0时，曲线的走向完全取决于K和v。 z K > 0 时: z K < 0 时: ω → 0时， l型系统幅相曲线的渐近线平行于虚轴， 其横坐标为
Z = P – 2N Z为零，闭环系统稳定；否则，系统不稳定。若闭环传递函 数包含v个积分环节，则绘制开环对数频率曲线后，应从对 数相频特性曲线频率ω = 0+的地方向上补画v×90o的虚直线。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据 (续)
频域分析法
例：
频域分析法
例：
频域分析法
例：
频域分析法
例：
频域分析法
ωr = ωn 1 − 2ζ 2
Mr = 2ζ
1 1−ζ 2
由带宽频率的定义, M (ωb ) = 2 / 2 , 得带宽频率
ωb = ωn 1 − 2ζ 2 + (1 − 2ζ 2 )2 + 1
频域分析法
开环频域指标与闭环频域指标
¾ 二阶系统
开环频域性能指标 ωc、γ
¾ 高阶系统
Mr=1/sinγ
，
则当ω → ωn 时，幅频： 相频:
频域分析法
概略绘制开环幅相曲线(续)
2．曲线的终点:
ω = ∞时，曲线的走向取决于开环传递函数分子、分母多项式中最小相 位环节和非最小相位环节的阶次和。
K* :系统开环根轨迹增益
m1(m2)和n1(n2)分别为开环传递函数分子多项式 和分母多项式中(非)最小相位环节的阶次和
注意:
用奈奎斯特判据判稳时，也可只需绘制ω由0→∞时的开环 幅相曲线，若其逆时针包围(–1, j0)点的圈数为N，则有Z = P + 2N 。如果闭环传递函数包含v个积分环节，则绘制开环幅 相曲线后，应从与频率0+对应的点开始，逆时针方向补画v 个半径为无穷大的1/4圆。
频域分析法
绘制开环对数频率特性曲线 ¾ 开环对数幅频特性的特点
33
34
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 二阶复合微分环节
¾ 不稳定二阶复合微分环节
35
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频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 延迟环节
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频域分析法
奈奎斯特稳定判据的主要内容 z 奈奎斯特稳定判据： 控制系统稳定的充分必要条件是奈奎斯特曲线逆时针包 围(–1, j0)点的圈数等于开环传递函数中右半s平面的极点 数P，即N = – P (注意:顺时针方向为正)；否则闭环系统 不稳定，且闭环正实部特征根的个数Z可由下式确定： Z=P+N z 简易奈奎斯特稳定判据： Z = P – 2N, N = N+ – N–
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 积分环节
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 比例环节
频域分析法
典型环节的幅相频率特性曲线 ¾ 微分环节
频域分析法
典型环节的幅相曲线 ¾ 惯性环节
z 惯性环节是一个低通滤波器
频域分析法
典型环节的幅相曲线 ¾ 二阶振荡环节
z 谐振频率、峰值：
¾ 不稳定惯性环节
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 一阶复合微分 ¾ 不稳定一阶复合微分
z 惯性环节对数相频特性对称性的证明
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频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 二阶振荡环节
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 二阶振荡环节
¾ 不稳定二阶振荡环节
频域分析法
典型环节的对数频率特性 ¾ 二阶复合微分环节