第五章 定积分的换元法备课讲稿

为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f ( t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
第五章 定积分的换元法
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
(dt 1 0) dx 2x1
于是
4 x2dx 13(t23)d t22
0 2x1 21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
0
0
a2 2 (1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
a
例2 计算 a2 x2dx
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
则 有 a bf(x)d x f[(t)](t)d.t
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t)F [(t)],
(t)dFdx f(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
f[ (t) ](t)d t( ) ( ),
() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
应用换元公式时应注意:
y a2x2
0
解1 由定积分的几何意义
xa
a
a2 x2dx
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a2
4
解2 a2x2d xxa2x2a2arx cC si
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 xasitnd xacot s
x 0 t 0xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx
解 f(x)si3x nsi5x ncoxssinx2
si3nxsi5nxdx
coxssin x23dx
0
0
2coxssin x2 3dx coxssinx23dx
0
2
3
2 sinx2dsinx
sinx23dsinx
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2
sin
x
5
2
5
2
4. 5
3
例5
计算
①f (x)为偶函数，则
且有
a
a
f
(x)dx
a
20
f
(x)dx；
②f (x)为奇函数，则aa f (x)dx0.
证
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d,x
在 0 af(x )d中 令 x x t,
0 a
f(x)dxa0f(t)dt0a
f(t)dt,
① f(x ) 为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
1
x2
40 1
dx 1x2
401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
奇函数
1
40(1
1
1x2)dx44 0
1x2dx
4.
xa t , x0 t0,
原式 2
2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
. 4
解二 接解一
2
对
cos t
dt
0
sin
t
cos
t
2
令 I
cost
dt
0 sint cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则
2
I J dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
பைடு நூலகம்
f (x)dxf (x) f (x)dx
a
0