初中数学菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

4．三角形的中位线

中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．

也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得

的线段也是中位线．

以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．

重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质

菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

中点

中点

中点

平行

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】

【解析】根据菱形的性质可知：共有对 【答案】

在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】

【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少 【答案】

如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则 度．

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星

【关键词】2009年，江西中考

【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形 【答案】

88180︒180︒16cm 16cm AB BC ==1∠=图2

1

C

B

A

120︒

如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星

【关键词】2009年，漳州中考 【解析】省略 【答案】

如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，

证明：与互相平分．

【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略

【答案】连接、、

∵菱形中，，∴∥

∵∥，∴四边形是平行四边形，∴ ∵，∴

ABCD 60A ∠=︒E F AB AD 2EF =ABCD 4E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF P H

F

E D

C

B

A

BD AF EB ABCD BD AC ⊥EF AC ⊥BD EF AD FC BDEF ED FB =AE ED =AE FB =E F D

B

C

A

又∵，∴四边形是平行四边形 ∴与互相平分

如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星

【关键词】2009年，本溪中考 【解析】省略 【答案】

如图，已知菱形的对角线于点，则的长为

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略

菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ． 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】

AE FB ∥AFBE AB EF ABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1

H

O D

C B

A

3ABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，

，E DE 52cm 10cm

【解析】菱形的边长为，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为，故面积为 【答案】

菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为

【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】

如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（ ） A ． B ． C ． D ．

【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】2星

【关键词】2009年，重庆江津中考

【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A 【答案】A

如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

()52413cm ÷=()24cm ()2

120cm 12020cm 2:15ABCD 6AC =8BD =51068图2

D

C

B

A

ABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒