初中数学菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质及判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为中点中点中点平行【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：共有对 【答案】在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少 【答案】如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则 度．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星【关键词】2009年，江西中考【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形 【答案】88180︒180︒16cm 16cm AB BC ==1∠=图21CBA120︒如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星【关键词】2009年，漳州中考 【解析】省略 【答案】如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分．【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】连接、、∵菱形中，，∴∥∵∥，∴四边形是平行四边形，∴ ∵，∴ABCD 60A ∠=︒E F AB AD 2EF =ABCD 4E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF P HFE DCBABD AF EB ABCD BD AC ⊥EF AC ⊥BD EF AD FC BDEF ED FB =AE ED =AE FB =E F DBCA又∵，∴四边形是平行四边形 ∴与互相平分如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 ．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星【关键词】2009年，本溪中考 【解析】省略 【答案】如图，已知菱形的对角线于点，则的长为【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ． 【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】AE FB ∥AFBE AB EF ABCD AC BD O H AD ABCD 24OH 图1HO DC BA3ABCD 8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，E DE 52cm 10cm【解析】菱形的边长为，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为，故面积为 【答案】菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为（ ） A ． B ． C ． D ．【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，重庆江津中考【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A 【答案】A如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（ ）A ．B ．C ．D ．()52413cm ÷=()24cm ()2120cm 12020cm 2:15ABCD 6AC =8BD =51068图2DCBAABCD 110A ∠=︒E F AB BC EP CD ⊥P FPC ∠=35︒45︒50︒55︒【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，杭州市中考 【解析】省略 【答案】D如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】2星【关键词】2009年，绵阳市中考 【解析】省略 【答案】D菱形中，、分别是、的中点，且，，那么等于 ．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星 【关键词】图3E DP CF BA 60︒α15︒30︒30︒45︒45︒60︒30︒60︒ABCD E F BC CD AE BC ⊥AF CD ⊥EAF ∠【解析】省略 【答案】已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为则另一条对角线的长为________．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星【关键词】2009年，辽宁朝阳中考 【解析】省略 【答案】或如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ．【考点】菱形的性质及判定 【题型】选择 【难度】3星【关键词】2009年，南宁市中考 【解析】省略 【答案】A已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 【考点】菱形的性质及判定60︒60︒2610cm 8cm 210cm 220cm 240cm 280cm 图1DCBA ABCD AC BD ，【题型】填空 【难度】4星【关键词】希望杯邀请赛 【解析】如图，过点作于，则，又，得，【答案】如图，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】 ∵四边形是菱形 ∴ ∵∴和都是等边三角形 ∴ 又∵在和中可得A AE BC ⊥E 12AC BD BC AE ⋅=⋅2AC BD AB ⋅=1302AE AB ABC =∠=︒，150BAD ∠=︒EDCBA150︒ABCD 20m 60ABC ∠=︒ACBD 图2ABCD 5AB BC CD DA ====60ABC ∠=︒ABC ∆ADC ∆5AC =AC BD ⊥Rt ABO ∆Rt ADO∆BO DO ==∴∴点评：内角为和的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型． 【答案】见解析如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】 【解析】关于对称，连交于，且 为最小值 【答案】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】∵ ∴BD =12ABCDS AC BD =⋅=60︒120︒ABCD 4AB a E =，BC 2120BE a BAD P =∠=︒，，BD PE PC +DBA C ，BD AE BD P 30AE BC BAE PE PC AE ⊥∠=︒+==，，ABCD E F BC CD AE AF EF AB ===C ∠FEDCBAAE AB =B AEB ∠=∠同理∵四边形是菱形∴，∴ ∵ ∴∵，∴是等边三角形，∴ 设则∵，∴∵，∴，∴∴ ∴ 【答案】已知，菱形中，、分别是、上的点，且，．求：的度数．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】连接，∵四边形为菱形 ∴∴和为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵∴为等边三角形D AFD ∠=∠ABCD AD BC B D BAD C ∠=∠∠=∠∥，，AEB AFD ∠=∠B D ∠=∠BAE DAF ∠=∠DE EF AF ==AEF △60EAF ∠=︒BAE x ∠=，602BAD x ∠=︒+180ABE ABE BAE ∠+∠+∠=︒902x ABE ∠=︒-AD BC ∥180B BAD ∠+∠=︒906021802x x ︒-+︒+=︒20x =︒602100C BAD x ∠=∠=︒+=︒100︒ABCD E F BC CD 60B EAF ∠=∠=︒18BAE ∠=︒CEF ∠FEDCBAABCDEFAC ABCD AB BC CD AD ===ABC △ACD △60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒，60EAF ∠=︒BAE CAF ∠=∠ABE ACF △≌△AE AF =60EAF ∠=︒AEF △∴∵ ∴分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题． 【答案】板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【考点】菱形的性质及判定 【题型】填空 【难度】2星【关键词】2007年，四川成都 【解析】等； 【答案】如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略60AEF ∠=︒AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠18CEF ∠=︒18︒ABCD DCAB AB AD AC BD =⊥，AB AD AC BD =⊥，ABC ∆BD ABC ∠BD ABE BCF BEDF FEDCBA【答案】∵是的中垂线 ∴∴ ∵∴，所以 同理所以四边形是菱形如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，．当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，娄底中考【解析】当（或或）时，四边形是菱形理由如下：∵，∴又点为中点，∴ ∴四边形为平行四形边 ∵∴四边形为菱形 【答案】见解析已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.EF BD BE DE BF DF ==，，DBE BDE ∠=∠EBD DBF ∠=∠DBF EDB ∠=∠BC DE ∥AB DF ∥BEDF ABC ∆AB AC =D BC AD AD E BE CE AE AD ABEC EDCB A2AE AD =AD DE =12DE AE =ABEC 2AE AD =AD DE =D BC BD CD =ABEC AB AC =ABEC ABCD AC AD BC E F AFCE【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2006年，盐城中考 【解析】省略【答案】∵垂直平分， ∴. ∴.又∵平行四边形， ∴. ∴≌. ∴.∴四边形是平行四边形.又由可知，四边形是菱形.如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2007年，云南双柏 【解析】省略【答案】根据题意可知ODEFCABEF AC ,EF AC AO CO ⊥=90AOE COF ∠=∠=oABCD EAO FCO ∠=∠AOE ∆COF ∆OE OF =AECF AC EF ⊥AECF ABCD //AD BC AD CD >D C AD C DE BC E C E 'CDC E 'C'DCB A E'CDE C DE ∆≅∆则. ∵， ∴. ∴， ∴.∴， ∴四边形为菱形.如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略 【答案】连结，因为菱形中，又因为，所以因为，所以四边形是平行四边形，可得，因为，所以，从而，，因此四边形是平行四边形，所以与互相平分已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得．若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．'''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，//AD BC C DE CDE '∠=∠CDE CED ∠=∠CD CE =CD C D C E CE ''===CDC E 'E ABCD AD EF AC ⊥H CB F AB P AB EF AB CDEF P PF EDC B A BD AF EB ，，ABCD BD AC ⊥EF AC ⊥BD EF ∥，AD FC ∥BDEF ED FB =AE ED =AE FB =AE FB ∥AE FB =AFBE AB EF ABCD AE BC ABE ∆BC E C GFC ∆60B ∠=︒AB BC ABFG GF E DCBA【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星【关键词】2009年，山东青岛市 【解析】省略【答案】当时，四边形是菱形．∵，∴四边形是平行四边形 ∵中， ∴ ∴∵，∴∴∴四边形是菱形．如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵，．∴∥，同理∥，∴四边形是平行四边形32BC AB =ABFC AB GF ∥AG BF ∥ABFG Rt ABE ∆60B ∠=︒30BAE ∠=︒12BE AB =BE CF =32BC AB =12EF AB =AB BF =ABFG ABC ∆AB AC =M BC MD AB ⊥D ME AC ⊥E DF AC ⊥F EG AB ⊥G DF EG 、P DMEP PMF E DG CBA MD AB ⊥EG AB ⊥MD EG ME DF MFPD∵，∴∵，，∴≌ ∴，∴四边形是菱形如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】∵，∴ ∵，∴∵平分，∴，∴ ∵，∴，∴ ∵平分，， ∴，∴ 又∵，∴∥，故四边形是平行四边形 ∵，∴四边形是菱形如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长； ⑶当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？AB AC =B C ∠=∠BM MC =BDM ∠=90CEM ∠=oBDM ∆CEM ∆DM EM =DMEP ABC ∆90ACB ∠=︒AD BAC ∠BC D CH AB AD F DE AB ⊥E CDEF HF DECBACH AB ⊥90HAF AFH ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90CAD ADC ∠+∠=︒AD CAB ∠CAD HAF ∠=∠AFH CDF ∠=∠AFH CFD ∠=∠CDF CFD ∠=∠CF CD =AD CAB ∠DC AC ⊥DE AB ⊥CD DE =CF DE =CH AB ⊥DE AB ⊥CF DE ABCD CD DE =ABCD M ABCD MAB ∆AD AB DC M 'M 'MD MC MM ，，'MDM C AB AD ，M 'MDM C为什么？【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴如图，就是所要作的三角形⑵因为平移到，所以且，四边形是平行四边形，所以 ，矩形中，，所以，又因为，，所以四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长⑶当点是的交点时，四边形是菱形，理由：如图，矩形中，，又因为，可得，所以 四边形是菱形如图，、、均为直线同侧的等边三角形．已知． ⑴ 顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当为 度时，四边形为正方形．【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答M'M DC BA'DCM ∆AM 'DM 'AM DM ∥'AM DM ='DAMM 'AD MM ∥ABCD AD CD ⊥'MM CD ⊥'AD MM =CD AB ='MDM C AB AD ，M AC BD ，'MDM C ABCD AM BM MC MD ===''AM D M BM CM ==，''MD MC CM DM ==='MDM C ACD ∆ABE ∆BCF ∆BC AB AC =A D F E BAC ∠ADFE FEDCBA【难度】3星【关键词】2008年，佛山市中考改编 【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分） 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）． ⑵ ．三、与菱形相关的几何综合题已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结. ⑴求证四边形为菱形⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？【考点】菱形的性质及判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略【答案】⑴∵ ∴四边形为平行四边形 ∵，平分 ∴∵150︒ABC △AB AC =AD BAC ∠BC D AD P A P EF AB ∥AC BC E F PM AC ∥AB M ME AEPM P AEPM EFBM MPFABCDE PM AC EF AB ∥，∥AEPM AB AC =AD CAB ∠CAD BAD ∠=∠AD BC BAD EPA ⊥∠=∠，∴ ∵∴四边形为菱形 ⑵当为中点时， ∵四边形为菱形，∴ ∵ ∴ 又 ∴四边形为平行四边形问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段与的位置关系及的值；⑵ 将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）．【考点】菱形的性质及判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质【题型】解答 【难度】5星CAD EPA ∠=∠EA EP =AEPM P EF 12EFBM AEPMSS =四边形菱形AEPM AD EM ⊥AD BC ⊥EM BC ∥EF AB ∥EFBM ABCD BEFG A B E ，，P DF PG PC ，60ABC BEF ∠=∠=︒PG PC PG PCGP DC H PG PC PG PCBEFG B BEFG BF ABCD AB ()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒BEFG B PG PCα图2AB CDEFG P HP G FEDCB A【关键词】2008年，北京中考 【解析】省略【答案】⑴ 线段与的位置关系是；．⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．证明：如图，延长交于点，连结． ∵是线段的中点， ∴．由题意可知． ∴．又∵，∴，∴，．∵四边形是菱形，∴，．由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得． ∴．∵四边形是菱形， ∴，∴．∴，∴，．∴，即． ∵，，∴，． ∴⑶ ．证明过程略．本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的．PG PC PG PC ⊥PG PCGP AD H CH CG ，P DF FP DP =AD FG ∥GFP HDP ∠=∠GPF HPD ∠=∠GFP HDP ∆∆≌GP HP =GF HD =ABCD CD CB =60HDC ABC ∠=∠=︒60ABC BEF ∠=∠=︒BEFG BF ABCD AB 60GBC ∠=︒HDC GBC ∠=∠BEFG GF GB =HD GB =HDC GBC ∆∆≌CH CG =DCH BCG ∠=∠120DCH HCB BCG HCB ∠+∠=∠+∠=︒120HCG ∠=︒CH CG =PH PG =PG PC ⊥60GCP HCP ∠=∠=︒PG PC=PG PC=()tan 90α︒-四、中位线与平行四边形顺次连结面积为的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ． 【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】理由：由中位线得即可．【答案】．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还满足的一个条件是 ，并说明理由．【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星【关键词】2009年，上海模拟【解析】理由：由中位线得即可．【答案】．在四边形中，，，分别是、的中点，，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直．2012EF FG GH HE AD ====AD BC =ABCD AB CD ≠E F G H AB BD CD AC EFGH ABCD HGFE D CBA12EF FG GH HE AD ====AD BC =ABCD AB CD =P Q AD BC M N AC BD PQ MN【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】连接,,,．证明为菱形． 【答案】见解析四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ）A ．线段的长逐渐增大B ．线段的长逐渐减小C ．线段的长不变D ．线段的长与点的位置有关【考点】三角形的中位线 【题型】选择 【难度】4星 【关键词】【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关．【答案】C如图，中，是的平分线，于，为的中点，，Q PMNCB D APN NQ MQ PM PNQM ABCD R P BC CD E F AP RP P CD C D R EF EF EF EF P P FREDCBAAR 12EF AR =P ABC ∆AD BAC ∠CE AD ⊥E M BC 14cm AB =，则的长为 ．【考点】三角形的中位线 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】【解析】延长交于点．利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得．【答案】如图，四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别交的延长线于点，求证：【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，所以，且，因为，所以，所以，由可得：，同理可得，所以10cm AC =ME M EDCBAEN M DCBACE AB N ()14102cm 2-=2ABCD AB CD =E F ，BC AD ，EF BA CD ，G H ，BGE CHE ∠=∠PA BCDEF G HH G FED CBABD BD P PE PF ，PE PF ，BDC DBA ∆∆，PE DC PF BA ∥，∥1122PE DC PF BA ==，AB CD =PE PF =PEF PFE ∠=∠PE DC ∥PEF CHE ∠=∠PFE BGE ∠=∠BGE CHE ∠=∠如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】延长、交于点、． 由等腰三角形三线合一可得、 再由三角形中位线可得． 【答案】见解析如图，四边形中，分别是边的中点，则和的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角形的中位线 【题型】选择 【难度】3星 【关键词】【解析】连结，取的中点，连结，由三角形的中位线可知选B【答案】BBE CF ABC ∆B ∠C ∠AM BE ⊥M AN CF ⊥N MN BC ∥NMEFCBAAM AN BC Q R AM QM =AN RN =MN BC ∥ABCD E F ，AB CD ，AD BC ，EF 2AD BC EF +>2AD BC EF +≥2AD BC EF +<2AD BC EF +≤A BCDEFP FEDCBA BD BD P FP EP ，已知如图所示，、、、分别是四边形的四边的中点，求证：四边形是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】连接．∵、分别为、中点 ∴，∥又∵、分别为、中点∴，∥，∴，∥∴四边形为平行四边形 【答案】见解析如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，证明四边形为平行四边形且．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星【关键词】2009年，兰州中考 【解析】如图，连结、．E F G H ABCD EFGH HGFDC BAHGFEDC BAAC H G AD DC 12HG AC =HG AC E F AB BC 12EF AC =EF AC HG EF =HG EF EFGH ABCD E AB ADE ∆BCE ∆AB BC CD DA P Q M N PQMN PQ PN =QEP NMDCBAQ EP NMDCBAAC BD∵为的中位线 ∴且同理且∴且∴四边形为平行四边形． 在和中，, 即 ∴ ∴∴.【答案】见解析如图，四边形中，分别是的中点，求证：相互垂直平分【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】连结，根据题意，分别是的中位线，所以，同理可证：，因为，所以，则四边形是菱形，所以相互垂直 【答案】见解析的三条中线分别为、、，为边外一点，且为平行四边形，求证：．PQ ABC ∆PQ AC ∥12PQ AC =MN AC ∥12MN AC =MN PQ ∥MN PQ =PQMN AEC ∆DEB ∆AE DE =EC EB =60AED CEB ∠=︒=∠AEC DEB ∠=∠AEC DEB ∆∆≌AC BD =1122PQ AC BD PN ===ABCD AB CD E F G H =，，，，AD BC BD AC ，，，EF GH ，ABCDEFGH H GF EDCBAEG GF FH HE ，，，EG HF ，DAB CAB ∆∆，12EG HF AB ==12GF EH CD ==AB CD =EG HF GF EH ===EGFH EF GH ，ABC ∆AD BE CF H BC BHCF AD EH ∥【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考． 方法一：连结、．（如图1） ∵四边形为平行四边形 ∴且 由中位线可得∴∴四边形为平行四边形 ∴且∴四边形为平行四边形 ∴方法二：连结．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得 ， ∴ 又∵ 显然 ∴ ∴【答案】见解析在平行四边形的对角线上取一点，使，连接并延长与的延长线交于，则．ABCDE FH图1HFED CBAABCD EFH图2DE DH BHCF CH BF AF ==CH AF ∥12DE AB AF ==CH DE =DECH DH CE ∥DH CE AE ==DHEA AD EH ∥DE DE HC =AB DE HC ∥∥AED ECH ∠=∠AE EC =ADE EHC ∆∆≌DAE HEC ∠=∠AD EH ∥ABCD BD E 13BE DE =AE DC F 2CF AB =【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】5星 【关键词】【解析】法1：如图2，取之中点，由引交于，再由引交于．∵，，，∴，，则为的中点， ∴．又∵，∴，即、是的三等分点． ∵，∴、是的三等分点，有． 而，∴．法2：如图3，连接交于，则为、的中点，取的中点，连接交于，则为、的中点，取的中点，连接，则．∵，图1CAEDBFBD O O OM AF ∥DF M C CG FE ∥BD G 图2FBD E ACMOG AB CD =ABE CDG ∠=∠BAE DCG ∠=∠ABE CDG ∆∆≌BE DG =O EG EO OG =13DG BE DE ==13EO OG DE ==G O DE CG OM AF ∥∥C M DF 2CF CD =CD AB =2CF AB =AC BD O O AC BD AF R AC BD O O AC BD AF R OR 12OR CF =∥图3FBD E ACROOR CD AB ∥∥∴，．又∵，，由此可得，，∴，， ∴．即，∴．法3：如图1，∵， ∴，即． 又∵，∴， 即．【答案】见解析如图，中，、分别是、的中点，、是的三等分点，连结并延长、交于点．求证：四边形是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】【解析】连接、、，设与相交与点∵、分别是、的中点，∴∥，同理∥ ∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴∴四边形是平行四边形 【答案】见解析ABE ROE ∠=∠BAE ORE ∠=∠BE OE OD +=11()33BE DE OE OD ==+12BE OD =13OE DE =BE OE =ABE ROE ∆∆≌AB OR =12AB OR CF ==2CF AB =AB DF ∥13AB BE DFDE==3DF AB =AB CD =3CF DF CD AB AB =-=-2CF AB =ABC ∆E F AB BC G H AC EG FH D ABCD HGFEDCBABG BH BD BD AC O E F AB BC EG BH FH BG BHDG OB OD =OG OH =AG HC =OA OC =ABCD如图，在四边形中，、分别为、的中点，，和相交于点，分别与、相交于、，求证：．【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】【解析】取中点，连结、． 利用中位线可得∴ ∵， ∴ ∴【答案】见解析如图，线段相交于点，且，连结，分别是的中点，分别交于，求证：【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】ABCD M N AD BC BD AC =BD AC O MN AC BD E F OE OF =FEONM D CBAPF EO NM DCBAAB P MP NP 1122MP BD NP AC ===PMN PNM ∠=∠MP BD ∥NP AC ∥OFE OEF ∠=∠OE OF =AB CD ，O AB CD =AD BC ，E F ，AD BC ，EF AB CD ，M N ，OM ON =P A BCD M N OEF FEO N M DCBA【解析】连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，所以，且，因为，所以，所以，由可得，同理可得，所以，所以 【答案】见解析如图，梯形中，，对角线相交于点，，分别是的中点，求证：是等边三角形【考点】三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰梯形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略【答案】连结，由等腰梯形对角线相等，且，可证是等边三角形，因为是中点，所以，在中，是中点，所以，同理可证，因为分别是的中点，所以，因为，所以，即是等边三角形如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．BD BD P PE PF ，PE PF ，DBA BDC ∆∆，PE BA PF DC ∥，∥1122PE BA PF DC ==，AB CD =PE PF =PEF PFE ∠=∠PE BA ∥PEF OMN ∠=∠PFE ONM ∠=∠OMN ONM ∠=∠OM ON =ABCD AD BC AB CD =∥，AC BD ，O 60AOD ∠=︒E F G ，，OA OB CD ，，EFG ∆A BCDEFG OO GFE DCBA DE 60AOD ∠=︒AOD ∆E OA DE AC ⊥Rt DCE ∆G DC 12EG DC =12FG DC =E F ，OA OB ，12EF AB =AB DC =EG FG EF ==EFG ∆【考点】三角形的中位线 【题型】解答 【难度】5星 【关键词】 【解析】方法一：设分别为的中点，要证明及三线共点．因为且，所以且，且，从而四边形为平行四边形，故与互相平分．设与的交点为，则经过中点（当然也是中点）．同理，也过中点．所以，，，三线共点于．说明：本题证明的关键是平行四边形的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧． 请看下例．方法二：应用中点公式法可设， 那么线段的中点坐标为，线段的中点坐标为那么线段的中点坐标为 同理可得：的中点坐标也为 所以可知：，，三线共点于【答案】见解析OE FLHNMDB A N H M L F E ，，，，，AB BC CD DA AC BD ，，，，，EF LH ，，MN LF DC ∥12LF DC =EF DC ∥12EF DC =LF EH ∥LF EH =EHFL LH EF LH EF O LH EF O LH MN EF O EF LH MN O EHFL ()11A x y ，()()()223344B x y C x y D x y ，，，，，AC 131322x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，BD 242422x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，EF 1234123422xx x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭，MN LH ，1234123422xx x x y y y y ++++++⎛⎫⎪⎝⎭，EF LH MN O如图，是平行四边形内任意一点，分别是的中点．若，交于，，交于，，交于，，交于，求证：．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线 【题型】解答 【难度】6星 【关键词】【解析】设法证明四边形为平行四边形． 因为，分别为，的中点，所以，且，，且，从而是中点．同理可证，是的中点（是的中位线）．所以四边形为平行四边形， ，．同理，．因此 ，即四边形为平行四边形，故 ．说明 本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形，，像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路． 事实上，由于为平行四边形，我们还可得到，，，与互相平分等等一系列结论．为的中点（同样为的中点）的断言可以证明于下： 取中点，连，则且，所以四边形为平行四边形，．因此为的中点．O ABCD E F G H ，，，OA OB OC OD ，，，DE CF P DG AF Q AH BG R BE CH S PQ SR =SR QPH GOEFDCB A PORS F G OB OC FG BC ∥12FG BC =FG AD ∥12FG AD =F AQ F PC EF PCD ∆APQC PQ AC ∥PA AC =RS AC RS AC ，∥=PQ RS PQ RS ，∥=PQRS PQ RS =PQRS APQC ACRS PQRS PQ SR ∥PS QR ∥PS QR =SQ PR F AQ G DQ AD M MF FG MD ∥FG MD =MFGD MF DG ∥F AQ。