勾股定理知识点与题型总结大全

A B

D 勾股定理全章类题总结

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。 （1）求AB 的长； （2）求CD 的长。

类型二：面积问题

【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的

正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2

。

【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD

的面积和周长。

（2）求∠ADC 的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥

BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是( )

A. 12

B. 13

C. 144

D. 194

类型三：距离最短问题

【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出

总费用是多少？

A

B

C

D

7cm

B

D E

B

169

25

A B

C

D

L

【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的

直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．

【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B

的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2

+b 2

+c 2

+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2

(m,n 为正整数,且m ＞n),判

断△ABC 是否为直角三角形.

【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件

a 2＋

b 2＋

c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.

【练习3】.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足

(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角

【练习4】三角形的三边长为

ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 （A ）等边（B ）钝角（C ） 直角（D ）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b ； (2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a.。

小河 A

B

北 牧童

【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型六：构造应用勾股定理

【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

类型七：利用勾股定理作长为n的线段

例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

【练习】在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面

积。

【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17

B、4，5，6

C、5，8，10

D、8，39，40

类型九：生活问题

【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．

【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6

㎝，问吸管要做

㎝。

【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。

【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

类型十：翻折问题

【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。

C B A D

E