第五章回归正交设计(2017)

第一节 一次回归正交设计
一次回归正交设计主要是运用二水平正交表[如 L4(23)、L8(27)、L12(211)、L16(215)、L64(263) ]等进行。 在有三个因素的情况下，就可选用正交表L8(27)， 并把正交表中的“1”与“2”二个水平改为“-1”与 “+1”（或改为“+1”与“-1”均可），然后把三个 因素分别放在第1、2、4列上。这时正交表中的“-1” 与“+1”不仅表示因素的状态，而且还表示变量的 取值；若三个因素之间还存在着交互效应（或称交 互作用）。
第二节 二次回归正交设计
在应用一次回归正交设计法描述某个过程时，如果经统 计检验发现一次回归方程不合适，就需要用二次或高次 回归方程描述。目前，在工程上用二次回归方程近似描 述某个过程变量间的关系较多。
ˆ b0 b j x j bij xi x j y
j 1 i j
No.
x0
1
1 1 1
x1
1
1 1 1
x2
1
1 -1 -1
x3
1
-1 1 -1
x1 x2
1
1 -1 -1
x1 x3
1
-1 1 -1
x 2 x3
1
-1 -1 1
x1 '
0.27
0.27 0.27 0.27
x2 '
0.27
0.27 0.27 0.27
x3 '
0.27
0.27 0.27 0.27
1
2 3 4
-0.73
-0.73 -0.73
0.746
0.746 -0.73
第四节 二次回归正交设计的统计分析
确定因子的变化范围。 编制因子水平的编码表 选择相应的组合设计 回归系数的计算与检验
DONGHUA UNIVERSITY
第六节 回归正交设计的应用
mc
N e e e X'X
e f mc mc
e mc f mc
c mc mc f e e e mc mc
mc
·· · · · · · · · ·
从上述可以看出，一般p个变量的组合设计由下列N个 点组成： N = mc＋2p＋m0。
•
•
•
mc——二水平（+1和-1）的全因子试验的试验点个 数2p，或它部分实施时的试验点个数等。 2p—分布在p个坐标轴上的星号点，它们与中心点 的距离称为星号臂，是待定参数。根据一定的要 求（如正交性，旋转性）调节，就可以得到各种 具有很好性质的设计（如正交设计，旋转设计）。 mo—在各变量都取零水平的中心点的重复试验次数。 它可以只做一次，也可以重复二次或多次。
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0.746
0.746 -0.73 -0.73
-0.73
-0.73 0.746 0.746
-0.73
-0.73 -0.73 -0.73
13
14 15
1
1 1
0
0 0
0
0 0
1.215
-1.215 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
-0.73
-0.73 -0.73
第 五章 回归正交试验设计
由于正交试验法具备十分显著的优点（正交 性），在工农业生产中得到广泛应用。在利用 正交试验法寻求最佳工艺和配方时，怎样利用 已有的试验数据，在给出整个区域上的因素与 指标之间，找出一个明确的函数表达式，建立 生产过程的数学模型，以便用它来预报或控制 生产。
实际把回归分析法与正交试验法两者有机地结 合起来，要求建立试验次数较少，而精度较高 的回归方程，这就要求摆脱古典回归分析，即 对试验的安排不提任何要求，对所求得的回归 方程的精度（由于复杂性）也很少研究。为此， 实验者必须主动地把试验的安排、数据的处理 和回归方程的精度统一成一个整体加以考虑和 研究。这就是几十年来发展起来的数理统计的 一个分支——最优试验设计与应用所要研究的 问题。
7
8 9 10
1.873
2.000 2.123 2.24
2.481
2.633 2.782 2.928
3.140
3.310 3.490 3.66
3.49
3.66 3.83 4.00
E=0
进行平方项中心化 (E=0 )
1 2 x x xaj . N a
' aj 2 aj
三因子的二次回归正交设计的结构矩阵X（m0=1）
5
6 7 8
1
1 1 1
-1
-1 -1 -1
1
1 -1 -1
1
-1 1 -1
-1
-1 1 1
-1
1 -1 1
1
-1 -1 1
0.27
0.27 0.27 0.27
0.27
0.27 0.27 0.27
0.27
0.27 0.27 0.279Βιβλιοθήκη 10 11 121
1 1 1
1.215
-1.215 0 0
0
0 1.215 -1.215
这些交互效应在回归中可用变量的非线性项等表示， 这些交互效应仍占改造后的二水平正交表的一列， 这一列可以从交互效应表上查得，也可直接从正交 表上某二列上元素对应相乘得到[但L12(211)等例外]， 显然，交互效应列加入试验计划，并不影响正交性。 在交互效应可以忽略的情况下，在正交表上可以多 排一些因素，这样就有各种部分实施法，如 1/2实施， 1/4实施等。
它在一次回归的基础上获得，这对试验者是方 便的。因为如果一次回归不显著，那么只要在 一次回归试验的基础上，再在星号点和中心点 补充做一些试验，就可求得二次回归方程。
N e e e X'X
e f mc mc
e mc f mc
e mc mc f e e e mc mc
( X ' X ) 1
K E E E
E E E F G G G F G G G F e 1 e 1 e 1 mc
1
mc
1
1 mc
H 2 4 Nf ( p 1) Nmc pe2 ， 4 1 f ( p 1)mc ， K 2 H 1 2 F H Nf ( p 2 ) Nm ( p 1 ) e ， c 1 E 2 H e 4， G H 1 e 2 Nmc 。
DONGHUA UNIVERSITY
小结：
二次回归方程的常数项和平方项破坏了原来的正交性
对策：“平方项中心化”
东华大学
DONGHUA UNIVERSITY
第四节 二次回归的正交组合设计
ˆ b0 b j x j bij xi x j b jj x 2 y j
j 1 i j p p
q 1 C C C C
1 p 2 p 1 p
2 p 2
人们在研究了这个矛盾以后提出了 一种“组合设计”。 所谓“组合设计”，就是在因子空间 中选择几类具有不同特点的点，把它们 适当组合起来而形成试验计划。 下面以p=2和p=3的情况为例，来说明 组合设计中试验点在因子空间中的分布。






（正交二次回归组合设计）2 值表
p m0
1 2 3 4 5 6 2 1.00 1.160 1.317 1.475 1.606 1.742 3 1.476 1.650 1.831 2.000 2.164 2.325 4 2.000 2.198 2.390 2.580 2.770 2.950 5（1/2实施） 2.39 2.58 2.77 2.95 3.14 3.31
p
p
p
j 1
2 b jj x j
回归系数
p( p 1) 2 q 1 p C p 1 2p C p2 2
2 p
2 ˆ y b0 b j x j bij xi x j b jj x j j 1 i j j 1
p
p
p
这就是说，要获得p个变量的二次回归方程， 试验次数应不得小于q。另一方面为了算出二 次回归方程的系数，每个变量所取的水平应不 小于三，这就需要做更多的试验。目前，许多 二次回归正交设计不通过全面试验来获得二次 回归方程，这样可以减少试验次数。