《代数式和方程》教材分析

各位老师、陈敏教研员：
下午好！
今天我的任务是对《代数式和方程》这一单元进行教材分析。

本单元教材安排了代数式(一)、代数式(二)、认识方程、等式的性质、解方程、列方程解题(一)、列方程解题(二)、列方程解题(三)8课时(新授课)＊，还安排了两课时的练习课和单元复习课整理与应用2课时，共12课时。

教学参考已经对每1课时的进行了较详细地分析，我仅就自己在学习和领会教材方面的一些疑问和思考，选择性与大家做一个交流，说错的，请大家指正，编写团队的成员陈敏老师也在这儿。

我的第一个问题是：
问题一：学习代数式时，怎样解决一个认识冲突？
…
引进用字母表示数或代数式，是学习数学符号、学会用符号进行表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。

从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是从具体到抽象的跨越，是学生认识上的一大飞跃，初学时往往感到困难。

学生头脑中一个根深蒂固的观念——计算结果一定是一个具体的数，而这一观念与本节课用代数式表示计算结果有非常大的认知冲突。

1．实验稿大家手中都有，是结合学生感兴趣的参观水灵动漫城的生活背景，由学生先前学过的用图形表示数，很快引入用字母表示数，使学生了解用字母表示数的意义，理解代数式的意义。

介绍代数式的书写方法。

第2个例题是借助表格，通过章鱼的个数与腿的条数之间的关系的讨论，为了简明地表示出腿的条数，用式子进行数学表达，从字母表示一个数，过渡到数式子表示一个数。

2．原版教材(2006年5月第1版，2009年6
月第2次印)是结合昆虫机器人攀爬比赛，对“攀
爬路线(红线)和层数之间的关系”的讨论，借助表
格式，列举了几层方块与红线之间的数据，引导学
生发现红线的长度是层数的2倍。

如果爬行10层、
50层、100层呢，在此基础上，提出如果爬行任意
层时，红线的长度怎样用一个式子表示呢？引导学
生用自己的方式进行符号化的表达。

上述过程，引导学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并进行归纳推理，然后用符号来表示，这种用代数式来表示的一般化过程，是理解代数式意义的基础。

这种一般化超越了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。

从上述认识看，这节课的一个非常重要的目标是数学思考方面的，就是在探索问题情境的数量关系的过程中，经历一般化的过程，逐步建立符号意识，并理解符号所表示的意义。

在巩固练习环节时，
1．海狮投篮，投M次，命中N次。

用代数式表示命中的次数是投篮次数的几分之
几？
你会怎样处理呢？
(1)独立填写后，N/M
(2)进行一问，如果投了5次，命中3次，命中的次数是投篮次数的几分之几？还可能是什么情况？(学生说)
(3)这个式子还可以表示什么？
一般仅满足于例题教学中从具体到抽象的概括过程，而忽略了从抽象到具体的想象、解释过程。

为抽象的代数式寻找生活中的原型，可以进一步理解代数式的意义和作用。

帮助学生丰富经历用字母表示数的过程体验，加深对代数式意义的理解。

学生不仅对代数式表示的意义有了更深入的理解，而且对用字母表示数的概括性和简洁性有了更深入的体验。

2．有N只帆船，每只帆船乘a条海马，码头上还有M条海马。

用代数表示表示海马的总条数。

如果a=5，n=7，m=12写出代数式的值。

我不知道学生参当堂用代数式表示海马的总条数的学生有多少？准备时间比较仓促，没有来得及进行调查。

凭经验，难度太大，三个字母，表示一个具体的数，三个字母所表示的意义容易混淆。

而且意图不明确。

我的处理办法是：(1)第2个问题去掉；这不是本节课的重点，不是这一题目摆在这儿的目的。

(英国的一个研究小组对一项对14岁孩子的调查：把字母看作特定的未知量。

例如3N和4相加等于多少？能正确回答的只有36%。

(2)把N或A改成具体的一个数，降低难度。

与第3题差不多。

第3题不变，把求代数式的值
我们特别重视用代数表示一个数量的单项训练，这也是列方程解应用题的基础。

第2课时代数式(二)，粗看例题，重点象是代数式的化简，但仔细分析，发现重点是第1课时的延续，就是列代数式的训练，代数式的化简附在这一主干上枝条。

包括巩固与应用的第2课。

用代数式表示一个数量。

问题二：教材中为什么选择从购物引入方程？
目前《认识方程》这一课的引入主要有两种，第一种，是以人教版为代表的，用天平称物体引入。

第二种，是以浙教版为代表，以购物这一现实情境引入的。

现数中心学术风格唯一不变的就是变。

追溯前身，现代小数数学时，也是用购物这一现实情境引入的，为什么编者对这一现实情况情有独钟？百思不得其解。

从现实生活中的购物引入，学生有生活的经验，自然地想到用钱会有三种不同结果：大于20元，等于20，小于20元。

并用式子表示，引出等式与不等式。

为学生提供了一个空间，根据自己的购买情况与用一结果写出式子的过程中。

每一个将要用来分类的式子，都有具体的含义。

这些式子是学生在解决问题的过程中生成的，由学生思维加工而得出，其含义变得具体而且容易理解。

由学生自己提供的学习材料是有意义学习的重要条件之一。

具体的问题不仅使学习材料变得有意义，而且有利于学生理解概念的实际意义。

如：当学生能回到具体情境中解释这个等式的意义时，问题本身就成了方程概念的一个具体例子。

学生在学习过程中，体会到学习了方程的知识可以解决类似的问题，认识到方程是解决问题的工具。

学生这一学习过程，先用代数式表示购买方案，再把这些代数式与20建立联系，如果是未知数与20建立了相等关系就得到了方程。

学生经历的这个过程，就是方程概念形成的原始过程。

问题情境的设计改变了学习材料呈现的方式，使师生通过互动的方式生成学习材料成为了可能。

通过师生互动生成的学习材料，学生加工更主动，理解也更深刻。

空间更大，材料的个性化和多样化，为我们选择典型性的学习材料提供更大的空间，有利用学生对于新概念的学习。

问题三：X=0是方程吗？
定义一：含有未知数的等式叫做方程。

西南大学的代数学博士生导师陈重穆教授曾经指出：“含有未知数的等式叫方程”这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。

关键要理解方程思想的本质，它的价值和意义。

理由：
1．函数也是含有未知数的等式。

S=vt，Y=，容易和方程混淆；
2．a+b=b+a，也是含有字母的等式，是不是方程？
3．我们并不是要研究一切含有未知数的等式，只对那些有数学价值的方程，能够帮助我们寻找未知数的方程，才去面对。

例如：0·x=0,x-x=0，这样的等式，我们是不研究的，因为他们不能帮助我们寻找未知的信息。

4．方程的核心是要“求”未知数，在定义中没有体现。

因此，这一个定义可有可无，没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。

5．一个对象的定义，最好能够帮助人们进行理解。

正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，至少需要一份简历。

好的定义相当于一份简历。

定义二：方程是为了寻找未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

方程是为了寻找未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

这样定义把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。

接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”关系，这种等式关系，把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系，找到了我们需要的未知数。

问题三：为什么要用等式的基本性质解方程？
我们请来做一道选择题：
你习惯用四则运算各部分之间的关系来进行教学？利用等式的性质进行教学？
教材单独安排一课学习等式的基本性质，紧接着学习解方程，意图很明显，那我们为什么没有按照教材的意图去做呢？因为我们感觉不适应，特别是有一个有经验的老教师。

我一次教这个课，等式的基本性质干脆没有上，教材就安排这两课，学生怎么适应用等式的基本性质去解方程，第二次用这教材时，打算好好上一上。

基于以下几点学习和认识。

1．实现从算术思维到代数思维的提升。

根据四则运算关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式的基本性质解方程属于代数领域的思考方法，两者有联系，但后者是前者的发展与提高，运用等式性质解方程具有更广泛的适用性。

在现阶段，解简单的方程也许无法清楚地显现出“等式的基本性质”的优越性，但随着数学知识的深化，一些较复杂的问题就能明显地显示出简洁、方便的优越性。

2．与中学数学教学的衔接。

过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，减数=被减数-差，被减数=减数+差，“因数=积÷另一个因数”．除数=被除数÷商，被除数=除数×商6个基本关系式。

由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时．早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。

但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。

而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。

既然一到中学就被取代，并将彻底遗忘．为什么就不能改变，寻找一条新的出路呢?
现在，为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识，为了避免中小学数学教学各自教一套，避免中学“另起炉灶”，为了促进学习的正迁移，将等式基本性质作为小学解方程的依据，使中小学解方程的思路得到基本统一，解释趋于一致。

等大家教了一年，两年，积极了一些问题和经验，我们也会向习惯用四则运算各部分之间的关系一样，适应用等式的基本性质解方程。

3．解题思路简约化。

利用等式的基本性质解方程，紧紧抓住方程的本质特征，把各种方程整合为同一类型的问题，解题思路显得异常简单。

那就是：只要在等式两边同时进行相同的运算，合方程的一边只留下未知数，另一边只剩下已知数，即可求出方程的解。

教材对这部分知识的呈现利用天平为认识和处理方程提供了一个直观的表象。

方程类似于一组天平，方程中的等号表示处于平衡状态，用天平左右两边同时增加减少相同质量的物体，天平依然保持平衡的道理，数形结合，形象直观地帮助学生深化对“等式基本性质的理解。

新思维数学网上等式的性质视频课，大家可以去看一看，也许会给你一些启发。

问题四：列方程解题。