大学一年级高数期末考试题及答案
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第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．求极限()x
x x x
x 30
sin 2cos 1lim
-+→．
解：
()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x
x x x x x x x x x
x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→ 20302cos 1ln 0
3
2cos 1ln 0
2cos 1ln
lim 2cos 1ln
lim
2
cos 1ln
1lim
1
lim
x
x
x x x x x e
x e
x x x x x x x x +=+⋅+-=-=→→⎪⎭
⎫ ⎝⎛+→⎪⎭
⎫
⎝⎛+→ ()4
1
2cos 1sin lim
-=+-=→x x x x ．
2．设0→x 时，()x f 与2
2
x
是等价无穷小，
()⎰3
x
dt t f 与k
Ax
等价无穷小，求常
数k 与A ．
解：
由于当0→x 时，()⎰3
x
dt t f 与k Ax 等价无穷小，所以()1lim
3
=⎰→k
x
x Ax
dt
t f ．而
()()
()
1013
2
32013232
3
2301323
00
061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3
-→--→-→-→→=⋅=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅⋅=⋅⋅=⎰k x k x k x k x k x
x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以，161lim 10=-→k x Akx ．因此，6
1
,1==A k ． 3．如果不定积分()()
⎰
++++dx x
x b
ax x 2
2
211中不含有对数函数，求常数a 与b 应满
足的条件． 解： 将()()
2
2
211x
x b
ax x ++++化为部分分式，有
()()
()2
222211111x D
Cx x B x A x x b
ax x +++
+++=
++++， 因此不定积分()()
⎰++++dx x
x b
ax x 2
2
211中不含有对数函数的充分必要条件是上式中
的待定系数
0==C A ．
即
()()
()()()()()
222
22222211111111x x x D x B x D x B x x b
ax x +++++=+++=++++． 所以，有()()()()D B Dx x D B x D x B b ax x ++++=+++=++2112222． 比较上式两端的系数，有D B b D a D B +==+=,2,1．所以，得1=b ． 5．计算定积分{}⎰-2
5
02,1min dx x ．
解： {}⎩⎨
⎧>-≤--=-1
21
1
22
2,
1min x x x x
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧>≤<-≤≤-<=3
1
32221211x x x x x x ．
所以，{}()()8
132212,1min 2
52
2
1
10
2
50
=
-+-+=-⎰⎰⎰⎰dx x dx x dx dx x ． 5．设曲线C 的极坐标方程为3
sin 3θ
a r =，求曲线C 的全长．
解：
曲线3
sin 3θa r =一周的定义域为πθ
≤≤3
0，即πθ30≤≤．因此曲线C 的全长
为
()()()()a d a d a a d r r s πθθ
θθ
θ
θ
θθθπ
π
π
2
3
3sin 3
cos
3
sin
3
sin
30
2
30
2
4
26
2
30
2
2
==+='+=⎰⎰⎰． 二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数()()
()
n n x x x f 221sin lim +=+∞→π的所有间断点，并指出这些间断点的类型． 解：
()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧
>-
=-=<=+=+∞→2
10212
121
2121sin 21sin lim 2x x x x x x x x f n n ππ．
因此211-=x 与2
12=x 是函数()x f 的间断点．
()00lim lim 2
12
1==--
-
→-
→x x x f ，()()1sin lim lim 2
12
1-==++-
→-
→x x f x x π，因此2
1-=x 是函数()x f 的
第一类可去型间断点．
()()1sin lim lim 2
12
1==---
→-
→x x f x x π，()00lim lim 2
12
1==++-
→→
x x x f ，因此2
1=x 是函数()x f 的第一
类可去型间断点．
7．设ξ是函数()x x f arcsin =在区间[]b ,0上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的“中值”，求极限b
b ξ
lim →． 解：