《运筹学》8关键路线法

60-70年代我国开始应用和推广。 钱学森、华罗庚等都曾为此做 了大量工作。
华罗庚的例子：有客来访，要 请他饮茶，于是要做几件事： 洗茶杯、洗杯盖、烧开水、泡 茶到端茶。
本问题的几道“工序”有次序, 时间: 洗杯盖 2 烧水5 泡茶2 洗杯1 虚0 端茶0.5
客来沏茶
第一节
PERT网络图
一、网络图构成
4 i
A：作业活动代号
A A 10
5 4
j 3
结点（表示事件）： 网络图中两条或两条以上的箭线的交接 点就是结点，结点代表的作业开始和结 束。用圆圈加上数字表示。
路线： 从网络图的始点事件开始到终点事 件为止，由一系列首尾相连的箭线和结 点所代表的作业和事件所组成的通道。 网络图一般有多条路线。其中最长的我 们称之为关键路线，关键路线上的工序 为关键工序。
F ( i , j ) min{t ES ( j , k )} t ES ( i , j ) t ( i , j )
k
4 0
0
0 0
( 0)
2 4
3
4
( 0)
6 0
3
0
1
4
20 5 11(11) 4 18 (0) 15 18
10 10
8
0
( 0)
30
20 20
(0) 6 (6) 29 ( 0)
工作（i,j）的总时差等于它的最迟完工时间与最早完 工时间的差，也等于它的最迟开工时间与最早开工时 间的差。
自由时差：不影响它的各项紧后作业最早开工时间 条件下，该项作业可以推迟的开工时间的最大限度， 它是一项作业独自拥有的机动时间。
F ( i , j ) min{t ES ( j , k )} t ES ( i , j ) t ( i , j )
24
6 2
23 23
23
00
7
23
0
(13) [13]
10 0 13
8 0) (
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 1
( 0)
10 1 25 32 5 26 1 (1) 8
9
31
310
( 0)
32
说明：1，由关键路线的意义知，这条线在时间上没 有回旋余地，即每个关键工作应满足“最早开工时间 ＝最迟必须开工时间”，而非关键路线则有富裕时间。 所以，总时差为0的工作链就是关键路线。
二、绘制PERT图的原则
PERT图的开始节点与结束节点均应是唯一的。
如果在实际工作中发生不吻合时，应将没有紧前作业的结 点用虚箭头线同网络始点事项连接起来，将没有后续事项 的结点用虚箭头同终点事项边接起来。 2 2
1
3
4 （错误）
5
6
1
3
4 正确
5
6
在相邻的两个节点之间，最多只能有一条箭线相连。 进入某一个结点的箭线可以有多条，但其它任何 结点直接连接该结点的箭线只能有一条。 两个相邻结点间只允许有一条箭线直接相连。若 有平行活动，可引入虚线以保证这一规则不被破 坏。
方差为：
a 4m b t (i , j ) 6
ba t 6
2 2
2. 结点（事项）的时间参数确定： （1）节点的最早时间：t E ( j ) 它表明以它为始点的各工作最早可能开始的时间， 也表明以它为终点的各工作的最早可能完成时间。
等于从始点结点到该结点的最长路线上所有工作的 工时总和。
第二节
关键路线与网络计划的 优化
路线时间最长的网络路线为关键路线
关键路线上的工序称为关键工序 不在关键路线上的工序为非关键工序
网络图的优化与调整
通过绘制网络图、计算时间参数、确定关键路线， 得到的仅是一个初步计划方案．为了得到从各方面都
较好的方案，一般一项工程或任务的网络计划，往往
要根据项目的要求综合考虑时间、资源和费用等目标， 对初始方案进一步改善和调整，进行网络优化，确定 最优的方案,求得最佳效果。但目前还没有一个能全 面反映这些指标的模型，所以，一般只是按照某一个
3
20 20
6 0
2
29 23 23
23
13
7
24
23
8 5
9
8
2
31 10 1 32 25 26
31
32
3。总时差，自由时差：中括号－总时差，园括号－ 自由时差
R( i , j ) t LF ( i , j ) t EF ( i , j ) t LS ( i , j ) t ( i , j ) t ES ( i , j ) t ( i , j ) t LS ( i , j ) t ES ( i , j )
5 H A 1 2 B 3
C
4
5
D E G 7 4 4 8
1
4
4
3
6
例
某机械厂管理信息系统开发活动清单
活动 代号 A B C D E F G H I J K L
活动描述 系统分析和总体设计 输入和输出设计 模块1详细设计 输入和输出程序设计 模块1程序设计 模块2详细设计 输入和输出及模块1 测试 模块2程序设计 模块1测试 系统总调试 稳当编写 系统测试
t (1, J ) 0 ES t ES ( i , j ) max t ES ( k , i ) t ( k , i ) k t EF ( i , j ) t ES ( i , j ) t ( i , j )
3. 作业的最迟必须开工时间（LS）
是指作业（i,j）在不影响整个任务如期完工 的前提下，必须开始的最晚时间。 4.作业的最迟必须结束时间（LF） 是指作业（i,j）按最迟时间开工，所能达到 的完工时间。
第八章 计划评审方法 和关键路线方法
网络计划方法的产生
起源：网络计划方法是项目计划管理的重要方法。它起 源于美国。当时，有两种网络计划方法：关键路线法和 计划评审技术。 1957年，美国杜邦化学公司用关键路线法(Critical Path Method)。当年就节约100万美元，为该公司用于 该项目研究费用的5倍以上。 1958年，美国海军当局在研制北极星导弹潜艇时， 第一次采用了BuzzAllen提出的计划评审技术(Program Evaluation and Review Technique),主要承包商200多 家，转包商10000家。23个系统网络，每两周检查一次， 原定6年，提前两年完成，节约经费10—15％。 60年代耗时11年阿波罗登月计划3000亿$,42万人,2 万家公司,120所大学,600台计算机,700万零件,终于在 1969年7月，阿波罗11号船长阿姆斯特朗登上月球。
k
min{t ES ( j , k )} t EF ( i , j )
k
即自由时差等于其紧后作业的最早开工时间与本工作 的最早完工时间的差。
时间参数计算举例
下图是一个工程施工图，请依次求出各时间参数。
4
2
3
6
3 8
1
4
2
5
3
6 0
2
10
7 2
8 5
9
8
1
10
1。结点时间参数：方括号－最早时间，三角－最晚 时间
4
10
4
4
0
2
3
6
3 10 8
01
4 1818
2
20
5 20
3
23
6 0
23 2
31
32
10
23
7 2
8
9 5 8
31 1
25
10 32
23
26
2。作业时间参数：方括号－最早开工时间 t ES ，三角 －最晚开工时间 t lS
4
0
0 0
2
4
4
6
3
10 10
0 1
3
4
15
2 4 18 18
10
0
8
5
紧后活动 B,C D E,F G,I G,I H J I,K J L 无 无
活动时间 （周） 3 4 6 8 8 5 3 6 3 5 8 3
3
B 4
1 A 3 2 C 6 4
D 8 E 8 F 5 G 3 J 5 K 8 L 3
6
8
9
10
I 3
5
H 6
7
四、PERT图的分类
（1）按工时估计的性质： A：确定型网络，每个工作的预计工时只估一个值， 即，这些工作的实际完成情况一般地可按预计工时达 到，也即实现的概率等于或近似等于1。 B：概率型网络，每个工作按三种情况下给定工时，最 快可能完成工时，最可能完成工时，最慢可能完成工 时。
错误
正确
网络图中不能出现循环回路
错误
节点编号时，按照矢线箭头的指向，升序 排号，保证节点序号先后关系保持一致。
应将各作业的工时数据标注在表示该作业 的矢线的下面。 正确使用虚工序（不消耗资源，一般表示 平行工作关系）
三、PERT图的绘制步骤
先画草图，再修改后变成规范图，步骤如下： @ 根据活动清单中规定的关系，将活动代号栏所有的 活动逐次地画在网络图上，从左到右 @ 理顺活动的紧前、紧后关系，没有紧后活动的活动 所对应的箭线汇集在终止结点上 @ 草图绘制完成后，将序号标在结点上，将活动代号 和时间标在箭 线上 @ 检查无误后，将草图绘制成规范图 •
A 1
15
G 1
D
2
C 14 4 5
10
例：建筑一幢房屋，施工顺序如上表所示，要求计 算工程周期及关键路线
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 施工项目 清理地面 打地基 砌墙 安装电线 粉刷 画图案 室内工程 上屋顶 所需时间 （月） 1 4 4 3 4 6 4 5 工序代号 紧前项 目 A B A B C D D D，H E C F G E H C
t ( i , n) 总完工期（或 ( i , n) t EF ） LF t LS ( i , j ) mint LS ( j , k ) t ( i , j ) k t LF ( i , j ) t LS ( i , j ) t ( i , j )
• 网络图由三大要素构成：节点(事件)、 箭线（作业）和路线。
1 2 3
箭线: 1、代表计划中的一项作业或工序，包括人力、 财力、物力的付出。 2、作业的内容可大可小，可多可少。 3、箭尾表示作业开始，箭头表示作业结束 4、通常把作业的代号和作业所耗时间标在箭线 的上下。 5、虚箭线：不占用时间和空间，不消耗任何资 源。只是为了明 确活动的相互之间的逻辑关系。
4. 时差：
按性质可以分为作业的总时差R（i,j）和作业的自由 时差F（i,j）。 总时差：在不影响任务总工期的条件下，某工作（i,j） 可以延迟其开工时间的最大幅度。 这是网络上 多 于一项作业共同拥有的机动时间，并非为某项作业单 独拥有。
R( i , j ) t LF ( i , j ) t EF ( i , j ) t LS ( i , j ) t ES ( i , j )
五、PERT图的计算
1.工作时间tij的确定:
确定型: 利用已知的工时定额资料给出。 概率型：对于开发性任务，或对工作所需的工时 难以准确估计时，可采用三点时间法来确定工作 的工时。
设：a是最乐观的时间估计值，m是最可能的估计值， b是最悲观的时间估计值
则实际计算中，完成一项作业的期望工时t(i,j)按如 下公式计算：
递推公式为：
t ） t L ( n) 总工期（或E ( n) t ( i ) mint ( j ) t ( i , j ) L L j
3. 工作的时间参数确定： 1。作业的最早可能开始时间（ES） 是指作业最早可能开始的时间，是它的各项紧前 作业最早结束的时间中最大的一个。 2。作业的最早可能结束时间（EF） 是指作业按最早开工时间开始所能达到的完工时间。
此处为 1 2 3 4 5 6 7 9 10 2，比较总时差和自由时差的关系：
工作（1，7）有自由时差13，若把它拖至13周开工， 对它后面的工作的最早开工时间及时差等都没有影响， 对整个工期也没有影响。而只有总时差没有自由时差 的工作则不然，若工作（7，8），总时差为1，自由时 差为0，如果让它推迟1周开工，虽然总工期不受影响， 但其后面的工作最早时间及时差都要受影响。所以使 用时差来调整工作时，应尽量先用自由时差。
递推公式：
t E (1) 0 t ( j ) max t ( i ) t ( i , j ) E E i
t E (n) ：整个工程的总最早完工期
（2）节点的最迟时间：t L ( j ) 它表明在不影响任务总工期的条件下，以它为始点 的各工作最迟必须开始的时间， 也表明以它为终点的各工作的最迟必须完成时间。 由于，一般都把任务的最早完工时间作为任务的总 工期，所以结点的最迟时间
例：某项工程任务经分解后，确定由9项作业构成， 各项作业的代号、紧前作业及作业时间 如表所示，画出网络图
作业 A 名称 紧前 作业 作业 15 时间 D
B A
C A
D
E
F D
G D
H
I
15
14
B， B C 10 6
6
1
E， F， G H 30 8
E 3 B 6
15
6
H 30 I 7 F 8 6 8