挖掘中点-构造中位线

挖掘中点，构造中位线

济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继春 （适用于鲁教版 初三版 12月刊）

三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理，它既反映了线段之间的位置关系，又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时，经常要联想到三角形的中位线定理，利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作.

但是，在解题时往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点，自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法，供同学们学习时参考.

一、直接取中点.

例1、已知：如图，AD 为ABC V 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 中点， 求证：1

2

DM AB =

证明：取AC 中点N ，连结MN ，则MN ∥AB , 且12

MN AB =,∠NMC =∠B

又Rt ADC V 中，N 为斜边AC 中点，∴DN NC = ∴∠NDC =∠C ,

又∵∠NMC =∠B =∠NDC +∠DNM =2∠C ∴∠DNM =∠NDC ,∴DM MN = ∴12

DM AB =

【感悟】：此题中，DM 和AB 位置较远，不易推导关系.通过添中位线把1

2

AB 转化成MN ,MN 在DM 和

1

2

AB 之间架起了一座桥梁，问题迎刃而解.

二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点.

例2、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,E 为BC 的中点，求证：DE ∥AB. 证明：延长CD 交AB 于F ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD ＝∠CAD ∵CD ⊥AD

∴∠ADC ＝∠ADF ＝90 ∵AD ＝AD

∴△ACD ≌△AFD （ASA ） ∴CD ＝FD ∵E 是BC 的中点 ∴DE 是△BCF 的中位线 ∴DE ∥AB

【感悟】：本题关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图若我们延长CD 交

AB 于带点F ,根据题中条件容易证得

AFD V ≌ADC V ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点；

又E 为BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB P P 即.

三、利用平行四边形的对角线的交点找中点

例3、如图，,ME AB ME AB =P ，D 为线段EC 的中点,A M D 、、三点在同一条直线上. 求证：MD ∥BC.

证明：连结BE ，交AM 于O. ∵,ME AB ME AB =P ， ∴四边形ABME 为平行四边形. ∴点O 为BE 的中点. 又∵D 为CE 的中点， ∴OD 为△BCE 的中位线， ∴OC ∥BC, 即MD ∥BC.

【感悟】要证明MD ∥BC.除了以前常用的方法外，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径. 根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =P 可以得出：四边形ABME 是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在

EBC V 中，根据三角形的中位线定理可以得出OC ∥BC ，即

D B

E

C

A F

A

D

C

B

M

E

O

MD∥BC.

总之，隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一等等知识点.

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