圆的切点弦方程

合集下载

切点弦方程_中学教育-中学课件

切点弦方程问题1：过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程（直线称作切点弦）．解：如图所示，设切点的坐标为，切点的坐标为．因为圆的方程是①所以过圆上一点所作的切线的方程为②由于在直线上，所以③同理，根据点M在切线BM上，得④③④表明，点和点都在下面的直线上⑤因为过两点只有一条直线，所以⑤就是直线的方程．即点的切点弦方程为：．问题1解法的基本思想是设而不求．设了点和点的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用它们的形式，把最终的问题解决．从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想．下面看一个与之相关的问题．问题2：设是圆内的一点，但不是圆心．过点任意作两条不通过圆心的弦和，分别过点、作圆的切线相交于点，过点、作圆的切线相交于点．求直线的方程．解：如图，设点的坐标为，点的坐标为．因为圆的方程是①、是过圆外一点所作圆的切线，、是切点，所以切点弦的方程为②同理切点弦的方程为③因为在直线上，所以④同理在直线上，所以⑤④⑤表明点，点和点都在下面的直线上⑥因为过两点只有一条直线，所以⑥就是直线的方程．不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题１的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下：一般地，已知圆和平面内的任意点，只要不是圆心（0，0），总可以作出对应的直线．这样得到的直线叫做点关于圆的极线（当在圆外时，也叫切点弦），点叫作直线的极点．问题1 是点在圆外时的情况，问题2是点在圆内时的情况，并且同时也给出了作相应极线的几何作图方法．当然，点在圆上时，它的极线就是过点的圆的切线．三种情况的极线方程都是，这种高度的统一性真是妙不可言．其实极点、极线的概念就是切点、切线概念的推广，它们还有很多重要的性质，高等几何里有详细研究．。

切点弦方程公式

切点弦方程公式
切点弦方程公式是一种广泛应用于数学分析中的概念，它的概念能够帮助我们更准确地研究几何形状的属性。

它的发明主要是为了解决在几何学中某些问题而发明的。

这个公式的发明者是古希腊的几何学家启发，他在研究几何形状的问题时发明了这个公式，以便更准确地研究几何形状的属性。

切点弦方程公式是由等式弦长与弦的两点的切点的距离的四次平方关系组成的，公式为：D=k^2+m^2+n^2，其中，D为两点切点的距离，k，m，n分别为弦的长短三边长度，用英文字母呈现出来就是：D=k^2+m^2+n^2。

该方程式与弦理论有着紧密的联系，用它来求取等腰三角形弦（Chord）长度可以更加准确，简单，有效地解决等腰三角形弦长度问题。

在将这个方程式应用到等腰三角形中时，只要将三角形其中两点的坐标求出，,然后将它们的绝对值相加即可得出弦的长度。

此外，这个公式也可以应用于圆形的情况，当今，它也被广泛应用在机器学习、计算机视觉等方面，用来检测物体形状和求取物体距离。

切点弦方程公式可以用来检测两个点之间的距离，也就是说，如果给定两个点的位置，那么就可以用切点弦方程求出它们之间的距离。

归纳起来，切点弦方程公式是一种比较简单的数学方程，它有着广泛的应用范围，可以用来求取几何形状的属性以及实现机器学习的检测等功能。

此外，它也可以帮助我们更好地理解距离的概
念。

从这些例子中我们可以看出，切点弦方程公式为几何学和机器学习等研究提供了极大的帮助。

圆的切点弦方程及其应用

中学生数学 ·２０１１年７月上 ·第４２１期（高中）
１．结论
浙江省湖州市第五高级中学高二（５）班（３１３０００）周请指导教师施悦２ｘ０Ｙ０＋５一ｒ一ｒ一ｚｊ，
当点Ｍ（ｘ０，Ｙ０）在（三）０：Ｘ＋Ｙ。一ｒ外时，
．。．（ｚｏ＋Ｙｏ）一２ｒ，
ｒ，故点Ａ（ｚ，Ｙ），Ｂ（ｚｚ，Ｙ）都在直线Ｉｚ。ｚ＋
Ｙ。 —ｒ上，所以切点弦ＡＢ的方程为ｚ。－ｚ＋
Ｙｏ＝＝＝ｒ．显然它与（９Ｏ：３７＋。一ｒ相交．
３．应用
从解法比较中体会应用圆的切点弦方程
的好处．
中学生数学 ·２０１１年７月上 ·第４２１期（高中）
寸
审
考题
学
安徽省安庆市第一中学高三（１１）班（２４６００４）王荥
生
指导教师洪沮宝
在最近的一次联考中，有下面一道问题．
· ’ ｚ与圆。＋ｙ２＝＝＝ａ干２ｂｚ相切
．
习
Ｙｏ一，
设Ａ（ｘｌ，Ｙ１），贝４ｚｏｚ１＋ｏ１一ｒ。，由（ｋ１＋１）（志２＋１）一０和 ·ｋ１一一１，得Ｙ１一ｚｌ，
代入ｚｚ＋ｚ—ｒ。，得一ｚ一± ｒ，
代人ｚ０ｚｌ＋０Ｙ１一ｒ。得ｏ＋一±√２ｒ．
例２由动点Ｍ引ｏ０：ｚ＋Ｙ。一ｒ的两条
．．．忌。＝：＝
；
一ｌＭＮｌ一ｌＮＡｌ，记Ｍ（ｘ。，Ｙ。），
．一·．辫ｚ —ｒ＋ｚ一ｒ一，

第七章第5节圆的切线、切点弦结论-解析版

第5节圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.2求过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r -+-=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=典型例题【例l 】圆()22:14C x y -+=在点(3P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()01134x --+=，化简得：330x -+=.【答案】330x -+=变式1 圆22:230C x y x +--=在点()2,3P -处的切线方程为______. 【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为2232302xx +-⋅-=，化简得：350x --=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】350x --=变式2 已知圆()22:14C x y -+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P -的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =-与圆C 不相切，故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=2221k k k +=+，解得：25k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)252y x =+；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x -=-，即130mx y m -+-=21321m m m +-=+，解得：34m =-，所以该切线的方程为()3134y x -=--，化简得：34130x y +-=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +-=. 【答案】（1）)252y x =+；（2）3x =或34130x y +-= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +-= 【答案】2340x y +-=变式1 已知圆22:2410C x y x y +--+=外一点()2,1P -，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y -++-+-⋅-⋅+= 化简得：310x y +-=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y +得到.【答案】310x y +-=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PAOB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=- 由题意，22412PO -=，解得:210PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则()224PO m m =++()224210m m ++，解得：6m =-或2，当6m =-时，()6,2P --，此时直线AB 的方程为624x y --=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +-=，所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +-=【答案】320x y ++=或320x y +-=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PO AO PO =-=-所以四边形PACB 的面积212242S AP AO PO =⨯⋅=-PO 最小时，S 也最小，此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y -=，联立20260x y x y -=⎧⎨++=⎩解得：65x =-，125y =-，所以612,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y --=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（）A.22B.3217 D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++-=，所以直线AB 过定点()1,1Q -，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫- ⎪⎝⎭2为半径的圆，显然点()4,0T -在该圆外，所以min222TMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +-=在点(3P 处的切线方程为（） A.320x y +-=B.340x y -=C.340x +=D.320x -+=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为113402xx y +⋅-⋅=，化简得：320x -+=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +-=，则：（1）圆C 的过点()0,2P -的切线方程为______；（2）圆C 的过点()1,1Q -的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x --=-，即20kx y --=21211k --=+，解得：22k =±C 的过点P的切线方程为22y x =±-；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x --=-，即10mx y m ---=21111m m ---=+，解得：34m =-，所以该切线的方程为()()3114y x --=--，化简得：3410x y ++=，综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++= 【答案】（1）22y x =±-；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y -+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______. 【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y --+=，化简得：230x y +-=. 【答案】230x y +-=4.（★★）已知圆()()22:129C x y -+-=外一点()4,2P -，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y ---+--=，化简得：45x =-.【答案】45x =-5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +---=外一点()4,1P --，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y -----⋅-⋅-=，化简得：5320x y +-=.【答案】5320x y +-=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 由题意，23912PC -，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m --，则()()22122PC m m -+---()()221225m m -+---，解得：4m =-或1，当4m =-时4,2P -，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y -++-+-⋅-⋅-=，化简得：45x =-，当1m =时，()1,3P -，此时直线AB 的方程为133244022x yx y +-+--⋅-⋅-=，化简得：15y =，所以直线AB 的方程为45x =-或15y =.【答案】45x =-或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()222224429x y x y y +---⇒+-=⇒圆心()1,2C ，半径3r =. 如图，2229AP PC AC PC =--所以四边形PACB 的面积212392S AP AC PC =⨯⋅=- 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥，故PC 的方程为21y x -=-，即10x y -+=，联立1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得：32x =-，12y =-，即31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y -+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______. 【解析】如图，2224AP PM AMPM =-=-所以四边形PAMB 的面积212242S AP AM PM =⨯⋅=- 所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =-+=-+=-+，故当2t =±PM 取得最小值，此时(2,22P ±，所以直线AB 的方程为()()244224x --±=，化简得：220x ±-=.【答案】220x +-=或220x =-=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +---=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=⇒圆心()1,2C ，半径3r =，设(),2P m m --，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y --+----=，化简得：()140m x y x y -+--=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2241921255CK ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为22111111*********GT ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭min 122TQ GT GK =-=.2。

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

结论 3.过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P( x0 , y0 )
作与圆相切的两直线的切点弦所在直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
2 2 2
且与圆相切的直线方程为
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2 .
变式训练 1 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切的直线方程.
变式训练 2 求过点 P(2,6) 且与圆 x2 y 2 8 相切直线有两条，切点分别为 A，B，求过 A，B 两点的直线方程。
6.2.1
圆的切线方程和切点弦方程
例 1.求过点 A(2, 2) 且与圆 C : x2 y 2 8 相切的直线 l 的方程.
变式 1-1.求过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与
2 2 2
圆相切的直线方程.
变式 1-2. 求证 : 过圆 C : ( x a)2 ( y b)2 r 2 上一点
（2015 重庆）若点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________．
2 （2013 山东）过点（3，1）作圆 x 1 y 1 的两条切线， 2
切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 A． 2 x y 3 0 C． 4 x y 3 0 B． 2 x y 3 0 D． 4 x y 3 0
结论 1.过圆 x y r (r 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 且与圆相
2 2 2
切的直线方程为 x0 x y0 y r 2 .

切线方程和切点弦所在直线方程

（一）圆的切线方程1. 过圆上一点的圆的切线方程方法：设圆心为C ，切点为),(00y x P ，根据CP ⊥切线，便可得到切线的斜率，再根据“点斜式”，即可求出切线方程.【例1】过点)1,1(P 作圆2:22=+y x O 的切线l ，求l 的方程【例2】求过点)2,1(A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程【推广结论】过圆222r y x =+上一点),(00y x A 的圆的切线方程为2. 过圆外一点的圆的切线方程方法：设出切线方程，由“圆心到切线的距离等于半径”，可解出斜率.注：先考虑切线的斜率是否存在！【例2】求过点)32-(，A 的圆9)1()1(:22=++-y x C 的切线l 的方程（二）圆的切点弦所在直线方程1. 什么叫“圆的切点弦”？如图，过圆C 外一点P 作圆C 的切线，切点为B A ,，则称“AB ”为圆C 的切点弦.2. 如何求“圆的切点弦”所在直线方程？以P 为圆心，PA （PB ）为半径作圆P ，则AB 可以视为圆P 与圆C 的相交弦，于是我们只需求出圆P 的方程，再将它与圆C 的方程相减，即得直线AB 的方程.【例3】已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x Q ，PB PA ,是圆Q 的切线，求直线AB 的方程.【例4】（山东高考）过点1)1()1,3(22=+-y x 作圆的两条切线，切点分别是B A ,，则直线AB 的方程是（）34 )( 034 )(032 )( 032 )(=-+=--=--=-+y x D y x C y x B y x A【例5】已知圆044222=---+y x y x 为，点)1,4(--P ，过点P 作圆的切线PB PA ,，求直线AB 的方程.。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程222)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：200))(())r b y b y a x a x =--+--（（；在一般方程022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）下过圆上一点),00y x P （的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dyy xx 。

2、两相交圆011122=++++F y E x D y x （0412121>-+F E D ）与022222=++++F y E x D y x （0422222>-+F E D ）的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

3、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。

4、过圆022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）外一点),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221111=++++++F y y E x x Dyy xx （在圆的一般方程下的形式）。

二、题目已知圆044222=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。

切点弦过定点公式

切点弦过定点公式接下来，我们来寻找切点和弦的关系。

1.切点公式：首先，我们找到圆上与点P连线垂直的切点T。

切点T与圆心O连线与切线PT垂直。

我们可以使用向量的方法来表示切点的坐标。

假设切点T的坐标为(Tx,Ty)。

首先，我们求出圆心O与切点T之间的向量，根据勾股定理可知：OT的模长=rOT的单位向量=(TxOx,TyOy)/r根据切线与半径垂直的条件，可以得到：OT与PT的点积=0(TxOx,TyOy)·(PxOx,PyOy)=0根据点积的定义，我们可以将上式展开计算得到：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0进一步化简就可以得到切点T的坐标(Tx,Ty)。

2.弦过定点公式：接下来，我们来寻找过定点P的弦与切点T的关系。

假设弦与切线PT的交点为Q，弦的两个端点分别为A和B。

我们要求的就是点Q的坐标(Qx,Qy)。

首先，我们将弦PA的斜率表示为k1，弦PB的斜率表示为k2，这里k1和k2可以通过两点间的斜率公式计算得到。

我们可以得到以下关系式：k2=k1设弦PA的方程为yPy=k1(xPx)设弦PB的方程为yPy=k2(xPx)将k2替换成k1，并将yPy移项整理得到：k1xy+(Pyk1*Px)=0由于弦过切点T的坐标为(Tx,Ty)，我们可以通过将坐标代入上述方程得到：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0解上述方程可以得到k1的值，进而可以计算得到点Q的坐标(Qx,Qy)。

综上所述，切点弦过定点的公式如下：切点T的坐标(Tx,Ty)：(TxOx)*(PxOx)+(TyOy)*(PyOy)=0点Q的坐标(Qx,Qy)：k1*TxTy+(Pyk1*Px)=0。

圆的切点弦公式

圆的切点弦公式在几何学中，圆的切点弦公式是指通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等的关系。

这个公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

下面我们将详细介绍圆的切点弦公式，并通过具体例子来说明其应用。

让我们来了解一下圆的基本概念。

圆是由一条固定点到平面上所有与该点的距离相等的点组成的图形。

圆上的每个点都可以看作是圆心到该点的半径的终点。

圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。

圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。

接下来，让我们来探讨圆的切点弦公式。

假设有一个圆，其中O表示圆心，AB是该圆上的一条弦，P是弦AB上的一个切点。

根据圆的性质，切线与半径垂直，因此OP与弦AB垂直。

设弦AB的长度为a，切点P到圆心O的距离为h，OP的长度为x。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)其中，r是圆的半径。

这个公式可以通过几何推导得到，但为了避免使用数学公式，我们在此不做详细介绍。

这个公式的含义是，通过圆的切点的弦长与切点所在弦的两个弧的乘积相等。

下面，我们通过一个具体的例子来说明圆的切点弦公式的应用。

假设有一个半径为5cm的圆，弦AB的长度为12cm，求切点P到圆心O的距离。

根据圆的切点弦公式，我们可以得到以下等式：x * x = h * (2r - h)代入已知条件，可以得到：x * x = h * (2 * 5 - h)x * x = h * (10 - h)由于弦AB的长度为12cm，根据圆的性质，弦的长度等于半径与切点到圆心距离之间的距离的两倍。

因此，我们可以得到以下等式：2 * x = 12x = 6将x = 6代入上述等式，可以得到：36 = h * (10 - h)通过解这个二次方程，我们可以得到h的值。

求解过程略去，在此不再详述。

最终解得h的值为4cm。

因此，切点P到圆心O的距离为4cm。

通过这个例子，我们可以看到，圆的切点弦公式可以帮助我们计算圆的切点位置和相关的几何量。

切点弦定理

切点弦定理切点弦定理，是初中数学中的重要定理之一。

它是指在一个圆上，如果有一条弦，那么这条弦所在直线与圆的交点，以及这条弦所在直线上离圆最近的点，这两个点所构成的线段，其长度相等。

这个定理的证明可以采用相似三角形的方法。

我们先将圆心与这条弦所在直线的交点连接起来，然后可以得到两个相似的三角形。

其中一个三角形的底边是弦，另一个三角形的底边是切线，而且这两个三角形的顶角相等。

因此，我们可以得到这样一个方程：弦的长度/切线的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离/圆心到弦中点的距离。

由于圆心到弦中点的距离是常数，因此我们可以得到：弦的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离×2。

这个定理有很多应用。

其中一个应用就是求解圆内接四边形的对角线长度。

我们可以先连接对角线，然后将对角线所在直线与圆相交，可以得到四个交点。

根据切点弦定理，我们可以得到对角线长度相等。

另外一个应用就是求解圆外接四边形对角线长度之积。

我们可以将这个四边形分割成两个三角形和一个内接四边形。

由于内接四边形的对角线长度相等，因此我们只需要求解两个三角形的斜边长度即可。

我们可以连接两个顶点和圆心，然后根据切点弦定理求解出斜边长度。

除了初中数学中的应用之外，切点弦定理在高中数学和大学数学中也有很多应用。

例如，在高中数学中，我们可以利用切点弦定理来证明某些三角函数恒等式；在大学数学中，切点弦定理也有很多应用，例如在微积分中，我们可以利用切点弦定理来证明某些导数公式。

总之，切点弦定理是一个非常重要的定理，它不仅有着广泛的应用，而且还是许多高级数学知识的基础。

在学习数学时，我们应该认真掌握这个定理，并善于运用它来解决各种问题。

圆内一点代入切点弦方程

圆内一点代入切点弦方程当我们在学习圆的相关知识时，我们往往会遇到一个需要用到“圆内一点代入切点弦方程”的问题。

今天，我们就来探讨一下这个问题。

首先，我们需要知道什么是切点弦。

在圆的内部随机取一点，连接该点和圆心，并在圆上任取一点作为另一个端点，连接这两点所形成的弦就称为切点弦。

我们可以发现，圆的所有切点弦都会经过圆心。

现在，我们需要求解的是，在圆内某一点与圆相切时，切点弦的方程。

解决这个问题的关键在于找到圆的切点。

我们可以通过以下步骤来实现：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径；2. 假设点P(x1,y1)在圆内，且到圆心的距离为r；3. 根据两点之间的距离公式，我们可以列出方程：sqrt((x1-a)^2 + (y1-b)^2) = r；4. 将上式平方化简，得到(x1-a)^2 + (y1-b)^2 = r^2，即点P在圆上；5. 求出圆心到点P的斜率k = (y1-b)/(x1-a)；6. 我们已经知道切线的斜率为-k，通过点斜式可以得到切线方程为y-y1 = -k(x-x1)；7. 再次假设圆上某点为Q(x2,y2)，则切点弦的端点分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)；8. 利用两点式可以求出切点弦的方程为(y1-y2)x + (x2-x1)y + x1y2 - x2y1 = 0。

现在，我们已经得到了圆内某一点的切点弦方程，可以用它来解决一些实际问题，例如求解动点在圆内的轨迹问题等。

总的来说，“圆内一点代入切点弦方程”是圆的常见问题之一，它们的解决方法需要我们掌握点斜式、两点式等相关知识。

通过不断练习，我们不仅能够理解圆的相关概念，还能够熟练运用相关知识实现圆的求解。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。

圆切点弦方程公式

圆切点弦方程公式
圆切点弦方程公式是指在圆上取一点作为圆上的切点，连接该点和圆上的任意一点，得到的线段称为弦。

圆切点弦方程公式可以用来描述弦的几何性质，即弦的长度、斜率、截距等。

其中，圆切点弦方程公式的基本形式为：
y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)
其中，(x1, y1)为圆的切点坐标，(x2, y2)为圆上的任意一点坐标，x和y分别表示弦上任意一点的坐标。

此外，根据弦的对称性，可以得到另一种形式的圆切点弦方程公式：
(x-x1)^2 + (y-y1)^2 = r^2
其中，r为圆的半径。

以上两种形式的圆切点弦方程公式都具有广泛的应用价值，在几何学、物理学、工程学等领域都有着重要的应用。

- 1 -。

7圆的切线方程

1、过圆上一点的切线方程：
结论一：
过圆 x y r 上一点 M ( x0 , y0 ) 切线方程
2 2 2
是 x0 x y0 y r .
2
y
M ( x0 , y0 )
OxBiblioteka 结论二：过圆( x a) ( y b) r 上一点( x0 , y0 )的切
2 2 2
( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r . 线方程为：
y
解：圆心到直线y kx b 的距离 |b| d r. 1 k 2 b r 1 k .
2
y=kx+b
O
x
直线 l 的方程是 y kx r 1 k 2 .
已知斜率为 k的圆的切线有两条：y kx r 1 k .
2
例3 : 设圆的方程为x y 13, 它与斜率
o
x
练习：求过圆( x 1) y 2 13外一点P 5,9 ，
2 2
且与圆相切的直线方程。
解：设所求圆的切线方程为y 9 k ( x 5) 即kx y 5k 9 0 圆心到该直线的距离等于半径，
1 k 2 2 解得k 或k 18 3 所求圆的切线方程为 k 2 5k 9 13
待定 k; 联立方程组消去一元后判别式等于零 (2) 利用 _______________________________ 待定 k; 注：此时切线一般有两条，故 k 有二解， k 不存在若只求出一解，需考虑 ___________
例2 : 求过点A(2,4)向圆x y 4所引
2 2
的切线方程。

圆的切点弦方程之欧阳光明创编

圆的切点弦方程欧阳光明（2021.03.07）【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222r y x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究：一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。

二、当点M 在圆O 外时，1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之：∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=,由),(00y x M 在圆O 外,得ry x >+202∴r d <，故直线L 与圆O 相交.2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L 的特征：易知：OM ⊥L 。

2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B,则直线MA:211r y y x x =+，直线MB:222r y y x x =+.∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程, ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2010220101r y y x x r y y x x ,由此可见A 、B 的坐标均满足方程200r y y x x =+，由于两点确定一条直线 ∴直线AB 的方程为200r y y x x =+。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明：∵圆心O 到L 的距离为222y x r d +=，由),(00y x M 在圆O 内,得ry x <+202∴r d > 故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线L ⊥OM ，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ），从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

圆的切点弦方程

切点弦方程_中学教育-中学课件

切点弦方程公式

圆的切点弦方程及其应用

最新圆的切点弦方程

第七章 第5节 圆的切线、切点弦结论-解析版

6.2.1圆的切线方程和切点弦方程

切线方程和切点弦所在直线方程

圆的切点弦方程的九种求法

切点弦过定点公式

圆的切点弦公式

切点弦定理

圆内一点代入切点弦方程

圆的切点弦方程的九种求法

圆切点弦方程公式

7圆的切线方程

圆的切点弦方程之欧阳光明创编

第七章第5节圆的切线、切点弦结论-解析版