OneWayANOVA单因素方差分析.ppt
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件
r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
研《单双因素方差分析》课件
法，以更全面地考察数据特征和研究问题。
06
CATALOGUE
实验设计与方差分析的关联
实验设计原则
随机化原则
通过随机化分配实验处理，减少非处理因素对实验结果的影响，提高实验的可靠性和重复 性。
局部控制原则
通过分组、分区等方式，使实验单元间的差异最小化，减少实验误差。同时，通过控制实 验条件等方式，使实验处理间的差异最大化，增加实验的灵敏度。
如何优化实验设计以提高方差分析效率
合理选择实验因素和水平
根据研究目的和实际情况，选择对实验结果影响显著的因素和合适 的水平范围，减少不必要的因素和水平，降低实验的复杂性和成本。
确定合适的重复次数
根据实验条件和实际情况，选择合适的重复次数进行实验，平衡实 验的可靠性和经济性。
控制实验过程中的变异
通过严格控制实验条件、提高实验操作规范等方式，减少实验过程 中的变异，提高实验的稳定性和精度。
研《单双因素方 差分析》课件
目 录
• 引言 • 单因素方差分析 • 双因素方差分析 • 方差分析的进阶技术 • 方差分析的应用与解读 • 实验设计与方差分析的关联
contents
01
CATALOGUE
引言
课程目标
01
02
03
04
理解单因素和双因素方差分析 的基本原理和假设
学习如何进行单因素和双因素 方差分析的计算和解读结果
THANKS
感谢观看
生物学研究 在生物学研究中，方差分析可用于研究不同处理组与对照 组之间的差异，例如药物疗效、基因表达等研究。
社会科学研究 社会科学研究中常常需要比较不同群体之间的差异，方差 分析可用于分析调查问卷数据，研究不同社会因素对人们 态度、行为等的影响。
One-WayANOVA单因素方差分析ppt课件
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
单因素方差分析 (2)
单因素方差分析1. 引言•单因素方差分析（One-way ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
•在实际研究中，我们经常需要比较不同组之间某个变量的均值差异，例如不同教育水平对收入的影响，不同药物对疾病的治疗效果等。
•单因素方差分析提供了一种统计方法，可以判断不同组之间均值差异是否由随机因素引起，还是由于真正的因素差异引起。
2. 基本概念•因素（Factor）：需要比较不同组之间的变量，也称为自变量或分类因素。
•水平（Level）：每个因素具有的不同取值或组别，也称为处理或条件。
•观测值（Observation）：每个组内的单个实验结果或数据点。
•总平均（Grand Mean）：所有组的观测值的平均值。
•组内平均（Group Mean）：每个组的观测值的平均值。
•组间平均（Between-group Mean）：所有组的观测值的平均值。
3. 假设检验•零假设（H0）：不同组的均值之间没有显著差异。
•备择假设（H1）：不同组的均值之间存在显著差异。
4. 单因素方差分析的步骤1.收集数据：按照分类因素进行分组，获得每个组的观测值。
2.计算总平均：计算所有观测值的平均值。
3.计算组内平均：计算每个组的观测值的平均值。
4.计算组间平均：计算所有组的观测值的平均值。
5.构造统计模型：建立协方差矩阵和方差矩阵之间的关系。
6.计算平方和：计算组内平方和和组间平方和。
7.计算均方差：计算组内均方差和组间均方差。
8.计算F值：计算F统计量，用于检验组间均值差异是否显著。
9.假设检验：比较F值与临界值，确定是否拒绝零假设。
5. F分布与p值•在单因素方差分析中，我们使用F分布来进行假设检验。
•F分布是一种连续概率分布，取值范围大于等于0，且分布形状根据自由度的不同而变化。
•在单因素方差分析中，我们计算出的F值可以与F分布表中的临界值进行比较，以确定是否拒绝零假设。
•p值是统计假设检验中的一个重要指标，表示在零假设成立的情况下，观察到的样本数据或更极端结果出现的概率。
One-WayANOVA过程--单因素方差分析
SPSS--One-Way ANOVA过程--单因素方差分析One-Way ANOVA过程该命令用于两组及多组独立样本平均数差异显著性的比较，即成组设计的方差分析。
还可进行随后的两两成对比较。
1界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（因变量）。
【Factor框】选入需要比较的分组因素，只能选一个。
【Contrast钮】弹出Contrast对话框，用于对精细趋势检验和精确两两比较的选项进行定义，该对话框比较专业，也较少用，这里做简单介绍。
∙Polynomial复选框定义是否在方差分析中进行趋势检验。
∙Degree下拉列表和Polynomial复选框配合使用，可选则从线性趋势一直到最高五次方曲线来进行检验。
∙Coefficients框定义精确两两比较的选项。
按分组变量升序给每组一个系数值，注意最终所有系数值相加应为0。
如果不为0仍可检验，只不过结果是错的。
比如说在下面的例2要对一、三组进行单独比较，则在这里给三组分配系数为1、0、-1，就会在结果中给出相应的检验内容。
【Post Hoc按钮】弹出Post Hoc Multiple Comparisons对话框，用于选择进行各组间两两比较的方法：∙EquaL Variances Assumed复选框：当各组数据方差齐性时的两两比较方法，共14种。
其中最常用的为LSD和S-N-K 法。
∙EquaL Variances Not Assumed复选框:当各组方差不齐性时的两两比较方法，共4种，其中以Dunnetts's C法较常用。
∙Significance Level框定义两两比较时的显著性水平，默认为0.05。
【Options按钮】弹出Options对话框，用于定义相关的选项：∙Statistics复选框：选择一些附加的统计分析项目，有统计描述（Descriptive）和方差齐性检验（Homogeneity-of-variance）。
单因素方差分析-SPSSppt课件
Post Hoc Multiple Comparisons 对话框
6
Option对话框
7
点击“OK”，运行结果
8
➢ 结果输出
9
基本统计描述
标准误
最小值
均数
例数
标准差
均数95%可信区间
最大值
10
方差齐性检验
Levene
统计量
自由度
P值
11
方差分析表
组间
平方 和
自由 度
均方
F值 P值
组内
单因素方差分析
1
SPSS单因素方差分析过程名
完全随机设计方差分析：
Analyze →Compare Means→One－Way ANOVA
2
完全随机设计资料的方差分析One-Way ANOVA
对不同年级，学生的学习策略水平（测评之和）进 行单因素方差分析，并进行多种比较。
3
4
One-Way ANOVA 对话框
12
多重比较பைடு நூலகம்LSD法）
均数差值
P值
13
多重比较（SNK法）
均数
P值
14
表1 不同年级学生的学习策略水平单因素方差分析
15
单因素方差分析(详细版) ppt课件
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
单因素方差分析 PPT课件
解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
《方差分析单因素》PPT课件
-0.541 -5.13
刘海燕
0.0001
Pr>F
0.0001
Std Error of Estimate 0.0759 0.1033 0.1054
^
Y 4.53 0.72Z1 0.54Z2
1 线性回归与方差分析的联系 2 是否还有其他因素产生相应影响，比如Gender？
刘海燕
Party Identification
（一）从t检验到方差分析 t检验与方差分析的比 较
t检验：比较两个子总体的样本平均值
方差分析（analysis of variances ANOVA ）：比较多个子总体的样本平均值
刘海燕
例：贫困程度对青少年犯罪的影响
贫困程度分为严重、中度、轻度 T检验：3个t值
t1: 严重和中度 t2: 严重和轻度 t3: 中度和轻度
Party
1
2
Sum of Squares
85.382
Mean Square
42.691
F Value 25.55
1570.837 1.671
1656.218
Estimate 4.534
T for H0: Pr>|T| Paramete r=0
59.73 0.0001
-0.717 -6.94
0.0001
Error
939
1569.525 1.671
Total
942
1656.218
Source DF
Party
2
Type III SS Mean Square
84.256 42.1258
平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为： 2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，
第五章方差分析
MSA SSA/(r 1) F MSE SSE /(n r ) ～F(r-1,n-r)
培训例
⒈ 计 算 水 平 均 值 和 总 均 值
i 1 2 3 4 5 ® ½ ù µ Ë Æ ¾ Ö Û â µ ö ý ¹ ² Ö ¸ Ê Ü ù µ ×¾ Ö
j
A¿ ³ Î Ì 2058 2176 3449 2517 944
2
3 …
x21
x31
x22
x32
x2j
x3j
x2r
x3r
i
…
xi1
…
xi2
…
xij
…
xir
…
xn11 xn2 2
xn j j
x nr r
方差分析步骤
计算各水平均值和 总均值
计算离差平方和：S
F检验
计算检验统计量F
计算均方和： S/自由度
⒈计算水平均值和总均值
因素水平 1 试验次数 1 2 … x11 x21 2 x12 x22 3 … j x13 x1j x2j … r x1r x2r
SST SSE SSA
证明：
( xij x) 2 (( xij x j ) ( x j x)) 2
2 ( x
r nj j 1 i 1
( xij x j ) 2
ij
( x j x) 2
x j )(x j x)
nj
( x
观测条件不同（影响因素）引起试验结果有所不同
此结果差异是系统性的 此结果差异是系统性的——干扰：其他条件不变 此差异是偶然性的
其他影响因素不同引起试验结果有所不同
实用生物统计唐志宇-第12讲 单因素方差分析 71页PPT文档
1k
= ki1
i
k
i i i 0
i1
xij i ij
ij
~
N(0, 2 )
H0 :1 2 k; HA :i不全相等
H0:1 2 k 0; HA:i不全为0
28
两两均值间的比较
A
B
C
实验中变化的条件 观测值，实验结果，指标
处理方式
肿瘤重量(g)
生理盐水A1 3 . 6 4 . 2 3 . 7 7 . 0 5 . 0 4 . 5 4 . 4 5 . 6 4 . 1 4 . 5
剂量A2 3 . 0 2 . 4 4 . 0 2 . 7 2 . 6 2 . 3 1 . 1 3 . 7 1 . 9 1 . 3
n 1n2n3n 4n
24
•记号：总样本量、均值、方差
饲料
日增重（g ）
A 55 49 62 45 51
B 61 58 52 68 70
C 71 65 56 73 59
D 85 90 76 78 69
Nn 1n 1 nk
1 k ni
x..
N
i 1
xij
j 1
s.2.
17
二、单因素方差分析解决的问题 one way ANOVA
例1 用A、B、C、D4种不同的配合饲料喂养30 日龄的小鸡，10天后计算平均日增重. 问4种饲 料的效果是否相同？
18
例1-描述性统计
A
B
C
D
平均 标准误差 中位数 众数 标准差 方差 峰度 偏度 区域 最小值 最大值 求和 观测数
52.4 2.9
1k
N1i1
生物统计学-单因素方差分析PPT课件
由英国统计学家R.A.Fisher首创，
为纪念Fisher，以 F 命名，故方 差分析又称 F 检验 （F test）。
用于推断多个总体均数有无差异
精选ppt
5
一. 方差分析的基础 二. 完全随机设计的单因素方差分析 三. 多个样本均数间的多重比较 四.方差分析的假定条件
a
SS组间
ni (Yi Y )2
i 1
v组间 a 1
精选ppt
11
组内变异（variation within groups): 各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差
SS 组内
a
n
(Yij
Yi ) 2
i 1 j 1
v组内 N a
v组内 ( ni 1) i
精选ppt
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水
平(level)（精也选p称pt “处理组”， a个处理组）,各重复n次。
7
1. 方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个 部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异 是否具有统计学意义。
为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全
精选相ppt同。
21
三.平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足
分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？
需要进一步作多重比较。
精选ppt
22
H0: μi= μj H1: μi ≠ μj 事先指定的两个组(i,j)进行比较： 一类错误的概率为： 比较性错误率 （comparison-wise error rate, CER)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性统计模型：
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数，称为 第i次处理效应(treatment effect)。εij是随机误差， 是服从N(0，σ2)的独立随机变量。
方差分析原理
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
C x2 16822 113164.96
na 55
an
SST
xi2j C 113312.28 113164.96 147.32
i1 j1
SSA
1 n
a i1
xi2
C
5664835.5 5
113164.96
131.74
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
H0 :1 2 ... a 0; H A :i 0(至少有一i) 方差分析表
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
(One-Way ANOVA)
当比较的平均值的数目K≥3时，不能直接应 用t测验或u测验的两两之间的假设测验方法
1、当有k个处理平均数时，将有 个CK2差数， 要对这诸多差数逐一进行检验，程序繁琐。 2、试验误差估计的精确度降低。 3、两两测验的方法会随着K的增加而大大增 加犯I型错误的概率。
固定因素：
①因素的a个水平个水平。
固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。
随机因素：
①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。 ②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该
因素的所有水平上。
随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。
固定效应模型
xi x
xij xi 0
i1 j1
i1
j1
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
固定效应模型
a
n
2
a
xij x n
a
xi x 2
n
2
xij xi
i1 j1
i 1
i1 j1
SS SS SS 平方和
的分割
=
T 总平方和
MS A MSe
若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都
只反映随机误差( 2 )的大小，此时处理均方 ( MSA)和误差
均方(MSe)大小相当，F 值则接近1，各组均数间的差异没
有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅
包含随机误差，还有处理效应引起的变异
(
n
2 a
)，此时F
值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F
第八章 单因素方差分析
Chapter 8: One-factor Analysis of Variance
方差分析：从总体上判断多组数据平均数 （K≥3） 之间的差异是否显著
方差分析将全部数据看成是一个整体，分析构成变 量的变异原因，进而计算不同变异来源的总体方 差的估值。然后进行F测验，判断各样本的总体 平均数是否有显著差异。若差异显著，再对平均 数进行两两之间的比较。
固定效应模型
平方和与自由度的分解
an
2
an
2
xij x
xij xi xi x
i1 j1
i1 j1
a n
2
an
an
2
xij xi 2
xij xi xi x
xi x
i1 j1
i1 j1
i1 j1
an
a
n
xij xi xi x
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
70.0
66.8
69.1
+
A处理平方和
e误差平方和
df 自由度
的分割
T
=
总自由度
an 1
df df A
+
处理自由度
e 误差自由度
a 1
an a
MSA SSA /df A
处理均方
MSe SSe / dfe
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
处理效应对均方的贡献
固定效应模型
方差分析统计量：
Fdf A ,dfe
(by RA Fisher)
例 调查5个不同小麦品系株高是否差异显著
1 2 3 4 5 和 平均数
I 64.6 65.3 64.8 66.0 65.8 326.5 65.3
II 64.5 65.3 64.6 63.7 63.9 322.0 64.4
品系
III
IV
67.8
71.8
66.3
72.1
67.1
70.0
66.8
69.1
68.5
71.0
336.5 354.0
67.3
70.8
V 69.2 68.2 69.8 68.3 67.5 343.0 68.6
•因变量(响应变量):连续型的数值变量株高 •因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件
•一个因素：“品系” 单因素方差分析 •水平(Level)：因素的不同等级 不同“处理”
值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。
固定效应模型
平方和的简易计算
a n
SST
i1 j1
xij x
2
a i 1
n j1
xi2j
x2 na
a
SSA n
i1
xi x
2
1 n
a i 1
xi2
x2 na
C x2 na
减少计算误差 利于编程
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
xij i ij
i 1, 2, , a
j
1,
2,
,
n
其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离 差的正负值相抵，因此
n
i 0
i1
如有果一不个存α在i≠处0。理因效此应，，零各假αi设都为应：当等于0，否则至少 H0：α1＝α2＝ … ＝αa＝0
备择假设为：
HA：αi ≠ 0（至少有一个i）
•五个水平：品系I-V •重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验
•五次重复
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
n
xi xij ,
j 1
xi
1 n
xi ,
i 1, 2,, a
a n
x
xij ,
i 1 j1
x
1 an
x
方差分析原理