第二章 静电场中的导体和电介质：习题课

0 d1
+ Dr1 S2 r2 1
B
+
+ S 1 + E1 E 2
d1 d2
S1
S2
D2
q = S
σ d1 d 2 ) E1d1 E2 d 2 ( ) ( 1 2 ε0 ε r 1 ε r 2
d1 d2
q ε r 1 ε r 2 ε0 S εr 1 εr 2 d 0S (3) C C0 U A U B d1 d 2 εr 2d1 εr 1d 2 εr 2d1 εr 1d 2
+Q1 +Q2
可见，若UAB不变，则E1=E2=E，D1<D2，Q1<Q2
(2)电量Q不变
UA + + + + + A 0 E D d 1 UB – – – – – B
–Q +Q
U'A + + + + + A E2 D d U'B – – – – – B
–Q
+Q
Q 由介质中的高斯定量得 D1 D2 D S D2 Q D1 Q , U AB E1d , U E2d E1 , E2 AB S 0 0S
E3
0 r
D3

0 r
D1

E1
r
例5、一平行板电容器，两极板间的距离d＝ 5.00mm，板面积100cm2，以300V电源使之充电。 (1)两板间设为真空，求此电容器的电容，板上电 荷面密度及两板间场强。 (2)该电容器充电后，从电源拆下，保持其电量不 变，今在两板间插入厚5.00mm的玻璃片(相对电容率 为5.00)。求电容以及两板间场强与两板间电势差。 (3)该电容器充电后，仍与电源相接，保持其电压 不变，今在两板间插入上述玻璃片。求电容以及两板 间场强与两板上的电荷。 解: (1) C0= 0S/d = 1.77×1011 (F) E0=U0/d=300/(5×103)=6×104 (V/m) 0 =D0=0E0=5.31×107 (C/m2)
解：在两极板间分别作 三个圆柱形高斯面 A S 3
S1 Q
S1 D d S2
由对称性可知两板间 l D垂直于极板且均匀 d2
d1
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S3 r S
3
S1
D由A指向B
B
S2 Q
S2

S1
D dS D1 S1 S1
A S 3
S1 Q
S1 D d S2
可见，若Q不变，则E1>E2，D1=D2=D， UAB>U'AB
例4、一平行板电容器极板面积为S，间距为d， 其中平行放置一层厚度为l的电介质，其相对电容 率为r，介质两边都是相对电容率为1的空气。已 知电容器两极板接在电势差为U的恒压电源的两 端，并忽略平行板电容器的边缘效应。求两极板 间的电位移D和场强E的分布，并求出极板上的电 量Q和电容C。

S2
D dS D2 S2 S2 D dS D3 S3 S3
d1
l
d2
B
S3 S r
3
S1

S3
S2 Q
S2
Q D1 D2 D3 S D1 Q E1 E2 0 0 0S D3 Q E3 0 r 0 r 0 r S
(2) C =rC0= 5×1.77×1011 =8.85×1011 (F)
U = q/C = q/(rC0 ) = U0/ r = 300/5 = 60(V)
E =U/d = U0/(rd) =E0/ r = (6×104)/5=1.2×104 (V/m)
(3) C′= C = 8.85×1011 (F) E′= U0/d = E0 = 6×104 (V/m) q = CU0= 8.85×1011×300 = 2.66×108 (C)
解 : ∵两极板与电源连接，两者
电势差U恒定
r1
r2
U ∴ E1 E2 , d ∵ D1 r 1 0 E1 , D2 r 2 0 E2 , 且 r 2 r 1
∴ D1 D2
例7、平行板电容器在接入电源后，把两板间距 拉大，则电容器( D ) (A)电容增大； (B)电场强度增大； (C)所带电量增大 (D)电容、电量及两板内场 强都减小。 解: 由 C
–q
q E 4πε ε r 2 er 0 r
0
0
( r R1 ) ( R1 r R2 ) ( r R2 )
U 12
R2
R1
E dl
dr q( R2 R1 ) R1 r 2 4 0 r R1 R2 4 0 r q
R2
4 0 r R1 R2 q C U12 R2 R1
D dS D1S2 D2 S2 0 D1 D2
S2
D1
d1
d2
由 D1 1 E1 , D2 2 E2 得 A D1 E1 1 r 1 0 D2 E1 2 r 2 E2 且有 2 r 2 0 E2 1 r1 d1 d2 d1 ( 2) U A U B E1 dl E 2 dl
C0
εo S C0 Q C U 1 l ε r 1 d 1 l ε r 1 d εr d εr
0S
d
特例 : 当l d时, C r C 0
S
d
ε0 SU Q CU l ε r 1 1 d ε d r ε0U Q D1 D2 D3 σ l ε r 1 S 1 d ε d r U D1 E1 E2 ε0 l r1 1 d d r
0S
d V 不变，若 d 增大，则C 减小， E 减小，q 减小
，V=Ed , q = CV可见，接入电源后,
r1 r2
C0 ε0 S / d
例2、一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半 径为R2，两球壳间充满了相对电容率为r的各向同 性均匀电介质，设两球壳间电势差为U12，求(1)电 容器的电容；(2)电容器储存的能量。 解(1)设内、外球壳带电分别为q和–q由球对称性和 介质中的高斯定理 0 , ( r R1 ) 2 D dS DdS D4r q , ( R1 r R2 ) ) 0 , ( r R2 ) (S (S) D 0 ( r R1 ) q S q ( R1 r R2 ) D O r 2 r 4r R2 ( r R2 ) R1 0
=q/S = 2.66×108/0.01= 2.66×106 (C/m2)
或 =D = E0= r 0E0 = r 0= 2.66×106 (C/m2)
例6、如图，在与电源连接的平行板电容器中， 填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中 的场强相等，电位移不相等。(填相等或不相等)
例1、一平行板电容器，其极板面积为S，间距为d， 中间有两层厚度各为d1和d2，相对电容率分别为r1和 r2的电介质层（且d1＋d2= d）。两极板上自由电荷面 密度分别为±，求： (1)两介质层中的电位移和电场强度； + Dr1 S2 r2 - B A 1 (2)极板间的电势差； S2 + S1 (3)电容 D2 + S 1 解：(1) D dS D1 S1 S1 + E1 E 2 S1
2 2 0 r R1 R2U 12 1 2 (2) W CU12 R2 R1 2
例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质 时的电位移和场强：(1)电势差不变；(2)电量不变。 解：(1)电势差不变:UAB= UA–UB
UA + + + + + A UA + + + + + A 0 E D1 d E D2 d UB – – – – – UB – – – – – B B –Q1 –Q2 d d U AB 0 E dl 0 Edl Ed E U AB d U AB 0U AB D1 0 E , D2 E d d Q1 1S D1S , Q2 2 S D2 S
d1 d1 l d U A E dl E1 dl E 3 dl E 2 dl
B
0 d1 d1 l
E1d1 E3 l E2 d 2 E1 ( d l ) E3 l
Qd Q Q (d l ) l 0S 0 r S 0S l ( r 1) 1 d r